Оптимальное восстановление гармонической функции по коэффициентам Фурье
Автор: Близнюк Станислав Викторович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.6, 2004 года.
Бесплатный доступ
Решается задача восстановления в некоторой фиксированной точке единичного круга значения гармонической в круге функции, не превосходящей на этом круге по модулю единицы, по 2n+1 коэффициенту Фурье граничного значения функции. Также вычисляется точность оптимального восстановления и предъявляется оптимальный метод восстановления для n=1,2,3,4, а также метод расчета для любого n.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318124
IDR: 14318124
Текст научной статьи Оптимальное восстановление гармонической функции по коэффициентам Фурье
Владимиру Михайловичу Тихомирову к его 70-летию с благодарностью от ученика
Решается задача восстановления в некоторой фиксированной точке единичного круга значения гармонической в круге функции, не превосходящей на этом круге по модулю единицы, по 2n + 1 коэффициенту Фурье граничного значения функции. Также вычисляется точность оптимального восстановления и предъявляется оптимальный метод восстановления для n = 1, 2, 3, 4, а также метод расчета для любого n.
Постановка задачи. Пусть X , Y — нормированные пространства, C ⊂ X — некоторый класс элементов, F — непрерывное отображение из X в Y , x ∗ — непрерывный функционал на X. (x * , C, F)-задачей восстановления называется проблема восстановления значения h x ∗ , x i линейного функционала x ∗ на элементе x, про который известно, что x G C, а также известен вектор F (x), который называется информационным оператором. Любая функция m : F (C) ^ R называется методом восстановления. Требуется найти величину точности оптимального восстановления
E(x*, C, F) = inf sup |hx*, xi — m(F(x))| m x∈C и оптимальный метод восстановления m такой, что sup |hx*, xi — m(F(x)) | = E(x* ,C,F).
x ∈ C
С (x * , C, F )-задачей оптимального восстановления связана следующая экстремальная задача:
hx*, xi ^ max, x G C П ker F называемая ассоцированной задачей. Подробнее о задачах восстановления см. [1].
Формализация задачи. Обозначим через r ^ (D) класс функций двух переменных (р, у) ^ u(p, у), 0 6 р 6 1, — п 6 у 6 п, гармонических внутри единичного круга и ограниченных внутри круга единицей. Наша цель — исследовать (u(r, 0), r ^ (D), Fourn), 0 6 r < 1, где Four n — информационный оператор, сопоставляющий функции u( ^ , • ) коэффициенты Фурье (а о ,..., a n , b i ,..., b n ) функции x0 = u(r, • ), являющейся ограничением на окружность р = r функции u( ^ , • ).
Функции из r ^ (D) представимы в следующем виде:
, . 1 Г 1 - Р2 _
и ( Р, у) = ^ ;—5----л--- fTd, (t) dt,
2п J- n 1 - 2р cos(t - y) + р2
где
f
(t
) —
««граничное значение» функции, т. е. функция
и(р, t)
^
f
(t) для почти всех
t Е
[
—
п,п]), удовлетворяющая неравенству
||
f (
•
)
||
L
^
([
-n
Таким образом, требуется восстановить u(r, 0) функции (р, y) ^ и(р, y), представимой в виде (1), по числам
1 Г X , ao = — J u (1, y )d y,
a k = — [ u(1,y)cos kydy = — [ f (y)cos kydy π - π π - π
и bk =
— I u(1,y)sin kydy = π - π
— Г f (у) sin kydy, 1 6 k 6 n. π - π
Ассоциированная экстремальная задача здесь имеет вид:
u(r, 0) = Л / f(tk 1 r,, 2 dt ^ max, (2)
2n j- n 1 — 2r cos t + r2
( f (t) cos kt dt = 0, 0 6 k 6 n, ( f (t) sin kt dt = 0, 1 6 k 6 n,
- π - π
где | f ( t ) | 6 1 почти всюду.
Функция P r (t) = 2 П • - —2———2. называется ядром Пуассона.
Принцип Лагранжа. Задача (2) является задачей выпуклого программирования, у которой функция Лагранжа имеет вид
L = L(f ( • ), A o , P o ,P i , ...,P n ,v-,.. .,V n )
=л a o
1 — r 2
1 — 2r cos t + r 2
n
+ Po + ^^(p k cos kt + V k sin kt)^ f (t) dt.
k =1
Задача (2) является задачей на максимум, поэтому коэффициент A o 6 0. Также можно легко показать, что A o = 0 и мы можем считать, что A o = — 1. Таким образом, функция Лагранжа имеет следующий вид:
L = L(f ( • ), — 1,P o ,P i ,... ,P n , v i ,..., V n )
‘7Г
-
7Г
1 1 — r 2
2n 1 — 2r cos t + r 2
n
+ P o + ^^(P k cos kt + V k sin kt)^ f (t) dt.
k =i
Согласно принципу Лагранжа (см. [1]), если f (•) — решение задачи (2), то существуют такие множители Лагранжа po, Pk, Vk, k = 1,..., n, не равные нулю одновременно, что функция L в точке f(•) достигает своего минимума на множестве BL^([—п,п]), где BL^([—п,п]) — единичный шар в L^([—п, п]). Из ограничений (3) следует, что f (•) Е Tn⊥ , где Tn — пространство тригонометрических полиномов степени n. Отсюда следует, согласно критерию наилучшего приближения в Lp (см. [1]), что n
P o + ( P k cos kt + V k sin kt )
k=i является полиномом наилучшего приближения функции Pr (t) = ^П • __L-T—r2 подпространством Tn тригонометрических полиномов степени n в метрике Li([—п,п]).
Таким образом, для решения нашей задачи нам нужно найти тригонометрический полином наилучшего приближения функции P r (t) в метрике L i ([ — п, п]) и тогда
E(u(r, 0), r^(D), Fourn) = d(Pr(•), Tn, Li([—п, п])), где E(u(r, 0), r^(D), Fourn) — погрешность восстановления функции u(r, •) по 2n + 1 коэффициенту Фурье граничной функции, а d(Pr(•), Tn, Li([-п, п])) — расстояние от функции Pr (•) до пространства тригонометрических полиномов степени n в метрике L1([-п,п])1.
Нахождение полинома наилучшего приближения. Так как функция P r (t) четная относительно t, полином наилучшего приближения должен быть четным, а, следовательно, мы можем считать, что все коэффициенты при синусах в полиноме наилучшего приближения этой функции равны нулю, т. е. V k = 0, к = 1,... n. Значит полином наилучшего приближения функции
P (t) =
2п
1 — r 2
1 — 2r cos t + r 2
имеет вид
n
T nr (t) = E ^ k cos kt, k =0
где ^ k = ^ knr , т. е. ^ k еще зависит от n и r.
Рассмотрим выражение вида
1 1 — r 2 n
A(t) = P r (t) — T nr (t) = — • 1 — 2r cos t + r 2 — E ' k cos kt k =0
и докажем, что A(t) может равняться нулю не более чем в n + 1 точке отрезка [0,п]. Используя представление k cos kt = У^ aj cosj t j=i и выражение (4), получаем представление A(t) в виде
1 1 — г2 ”
A(t) = 2 п • 1 — 2r cos t + r 2 — X e k cos t- k =0
Производя замену z = cos t, приходим к равенству
1 1 — r 2
A("ccos 2 ■■ • 1 — 2' + r2 — S ekz - k=0
Продифференцировав n + 1 раз по z, получаем
(1 1 — r2 — X e zk!(n+1) = j^—N^+^d—r!!-у 2п 1 — 2rz + r2 k=0 k у 2п(1 — 2rz + r2)n+2 , а это выражение вообще не имеет нулей на отрезке [0,п], следовательно, по теореме Ролля заключаем, что функция -П • у--—+ r2 — Pn=o вкzk не может иметь более чем n + 1 нуля на отрезке [0, п]. Учитывая строгую монотонность функции t = arccos z, делаем вывод, что выражение
1 1 — r2”
At • 1 — 2r cost + r- -‘ k=0
также не может иметь более чем n + 1 нуля на отрезке [0, п].
Таким образом, если мы найдем такой полином T nr (t) = ^2n=o Ц к cos kt, что
A(tj) = Pr(tj) — Tnr(tj) = 0 только в n + 1 точках to, ti,..., tn,(5)
то, согласно критерию элемента наилучшего приближения в L 1 в случае приближения подпространством (см. [3]), следует, что T nr (t) является полиномом наилучшего приближения для функции P r (t) = - П • ——АО—_ подпространстом T n в метрике L 1 ([—п, п]).
Рассмотрим тригонометрический полином T nr (t) такой, что
P r (t j ) = T nr (t j )
во всех различных точках нулей функции cos nt на отрезке [0,п]. Этот полином удо- влетворяет условию (5) и поэтому является полиномом наилучшего приближения для функции Pr (t). Заметим, что функция cos nt имеет ровно n + 1 корень tj на отрезке
[0, п], где
π πj
tj = - 2(n + 1) + n+1, j = 0,‘“,n-
Для того чтобы построить такой полином нужно решить систему из n + 1 линейного уравнения относительно µ 0 , µ 1 , . . . , µ n- 1 , µ n 1 :
Ц o + Ц 1 cos t o + Ц - cos2t o +----- + Ц п — cos(n — 1)t o + Ц п cos nto = b r 0
< Цо + Ц1 cos t j + ц 2 cos 2t j + • • • + ц п- 1 cos(n — 1)t j + ц п cos nt j = b rj (7)
Решение этой системы в аналитическом виде мы выписывать не будем, но объясним как решать эту систему линейных уравнений численно для любого натурального n > 1.
/ b r 0 \ b r 1
Представим систему (7) в виде Апц = br, где ц = (цo,Ц1, ...,Цп) и br brn
Матрица A n этой системы имеет вид
A n
/ 1 cos t o cos 2t o ... cos nto \ 1 cos t1 cos 2t 1 ... cos n t1
. . . ..
.. . ..
.. . .
\ 1 cos t n cos2t n ... cos nt n J
Определитель этой матрицы не равен нулю, для каждого фиксированного r ∈ (0, 1) и n > 1 все элементы матрицы A n и элементы столбца b r определены, поэтому решением системы уравнений (7) является
µ = ( µ 0 , µ 1 , . . . ,µ n ) = A n -1 b r .
Тем самым мы показали как рассчитать все ( µ 0 , µ 1 , . . . , µ n ), которые являются коэффициентами тригонометрического полинома наилучшего приближения T nr ( t ) = P n =0 ^ k cos kt Для функции 2 п • i-2T — oS t + r 2 ■ Этот способ мы использовали для расчета численных значений коэффициентов µ k для определенных n и r .
Оптимальный метод восстановления. Задачу (2) можно рассматривать как ассоциированную с задачей оптимального восстановления функционала
π2 f(·)→21π -πf(t)1-21rcosrt+ на множестве f(·) ∈ BL1 ([-π, π]) по информации f (•) ^ (— I f (t) dt, — I f (t) cos ktdt, — I f (t) sin ktdt, 1 6 k 6 n). 2π -π π -π π -π
Из теоремы о двойственности для задач восстановления (см. [1]) вытекает, что оптимальный метод для задачи (1) имеет вид
1 π 1 - r 2 n
u(r,0)=2π -πf(t)1-2rcost+r2dt≈k=0µkak, и точность оптимального восстановления равна
π
E nr = E u ( r, 0) , Γ ∞ ( D ) , Four n
-
π
1 1 - r 2
2 π 1 - 2 r cos t + r 2
— T nr
dt.
Расчет оптимального метода и погрешности оптимального восстановления. Все расчеты оптимального метода и погрешности оптимального восстановления производились с помощью математического программного обеспечения Mathematica 4.0, где мы применяли метод (9), описанный выше. Далее приведены расчеты для n = 1 , 2 , 3 , 4 при r = 1 4 , 1 2 , 3 4 . 1
Случай n = 1. При n = 1 мы интерполируем в точках t1 = ( 14π, 34π), вектор b1 = (21π · 1-√1-2rr2+r2, 21π · 1+ 1√-2rr2+r2), а матрица A1 имеет вид

A 1 =
Тогда используя формулу (8), получаем, что µ = ( µ 01 r , µ 11 r ) = A 1 -1 b 1 . Для r = 1 4 , 1 2 , 3 4 получаем соответственно, что
E 1 1 4 = 0 . 07947409722 , µ 01 1 4 = 0 . 1579163832 , µ 11 1 4 = 0 . 07431359201;
E 1 1 = 0 . 3119165215 , µ 01 1 = 0 . 1404308321 , µ 11 1 = 0 . 1123446656;
E 3 = 0 . 6523945232 , µ 3 = 0 . 08264722565 , µ 3 = 0 . 07934133662 .
1 4 01 4 11 4
Случай n = 2. При n = 2 мы интерполируем в точках t2 = 16 π, 12 π, 56 π , вектор b2 = 1
2π
1 - r 2 1
1 - √3r + r 2 , 2π
1 - r 2 1
1 + r 2 , 2π
1 — r2 \
1 + √3r + r 2 ,
а матрица A 2 имеет вид
/ 1 У(3)i
A2 = 1 0 —1.
1 -√2(3)1
Тогда, аналогично, для r = 1 4 , 1 2 , 3 4 получаем соответственно, что
E 2 1 4 = 0.01989274912, µ 02 1 4 = 0.1590772497, µ 12 1 4 = 0.07924727455, µ 22 1 4 = 0.05876490209;
E 2 1 2 = 0.1583336966, µ 02 1 2 = 0.1542578679, µ 12 1 2 = 0.1469122552, µ 22 1 2 = 0.3692307696;
E 2 3 4 = 0.5083036709, µ 02 3 4 = 0.1110621127, µ 12 3 4 = 0.1385390181, µ 22 3 4 = 0.06649872866.
Случай n = 3. При n = 3 мы интерполируем в точках t3 = 18π, 38π, 58π, 78π , вектор b = 1 · 1-r2 1 · 1-r2 1 · 1-r2 1
1 - r 2
1+2 r cos 1 π + r 2 8
3 2π 1-2r cos 18 π+r2 , 2π 1-2r cos 38 π+r2 , 2π 1+2r cos 38 π+r2 , 2π а матрица A3 имеет вид
1 |
cos 1 π 8 |
1 √ 2 |
cos 3 π 8 |
|||
A 3 = |
1 1 |
3 cos 8 π - cos 3 π 8 |
1 2 1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^. ^^^^^^^^^^^^^^^B 2 |
- cos 1 8 π cos 1 π 8 |
||
I |
1 |
- cos 1 8 π |
1 √ 2 |
- cos 8 π |
Тогда, аналогично, для r = 1 4 , 1 2 , 3 4 получаем соответственно, что
E 3 1 4 = 0.004973566675, µ 03 1 4 = 0.1591500860, µ 13 1 4 = 0.07955682940,
µ 23 1 4 = 0.01981635313, µ 33 1 4 = 0.004662671321;
E 3 1 2 = 0.07947409722, µ 03 1 2 = 0.1579163832, µ 13 1 2 = 0.1560585433,
µ 23 1 2 = 0.07431359205, µ 33 1 2 = 0.02972543681;
E 3 3 4 = 0.3901710410, µ 03 3 4 = 0.1301879796, µ 13 3 4 = 0.1783845740,
µ 23 3 4 = 0.1112585701, µ 33 3 4 = 0.05340411362.
Случай n = 4 . При n = 4 мы можем аналогично вычислить точки интерполяции t 4 , вектор b 4 , а также матрицу A 4 , но в данной статье мы приведем только вычисленные µ k 4 r для r = 1 4 , 1 2 , 3 4
E 4 1 4 = 0.001243397598, µ 04 1 4 = 0.1591546395, µ 14 1 4 = 0.0795761813,
µ 24 1 4 = 0.01988949187, µ 34 1 4 = 0.004954159145, µ 44 1 4 = 0.001165684519;
E 4 1 2 = 0.03977579129, µ 04 1 2 = 0.1588443968, µ 14 1 2 = 0.1583785776,
µ 24 1 2 = 0.07825765008, µ 34 1 2 = 0.03726554766, µ 44 1 2 = 0.01490621911;
E 3 = 0.2966583314, µ 3 = 0.1421854074, µ 3 = 0.2033792176,
4 4 04 4 14 4
µ 24 3 4 = 0.1393358858, µ 34 3 4 = 0.08690387937, µ 44 3 4 = 0.04171386190.
Эта работа является первым шагом в исследовании задач восстановления значений гармонических функций на многомерных шарах.
Список литературы Оптимальное восстановление гармонической функции по коэффициентам Фурье
- Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения.-М.: Эдиториал УРСС, 2003.-175 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.-М.: Физматлит, 2001.-Т. 1.-680 c.
- Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения.-М.: Наука, 1976.-320 c.
- Magaril-Il'yaev G. G., Osipenko K. Yu., Tikhomirov V. M. Optimal recovery and extremum theory//Computational Methods and Function Theory.-2002.-№ 2.-С. 87-112.
- Крейн М. Г. К теории наилучших приближений периодических функций//Докл. АН СССР.-1938.-Т. 18, № 4/5.-С. 245-251.