Оптимальное восстановление производных на соболевских классах

Рассматривается задача, оптимального восстановления производных функций из Соболевских классов на. Ж6* по неточной информации об их преобразовании Фурье. Доказано, что существует область fi0 С Ж6* такая, что информация о преобразовании Фурье в любой области, содержащей По, не ведет к уменьшению оптимальной погрешности восстановления.

В данной работе рассматривается задача оптимального восстановления производных функций из Соболевских классов на IR^d по информации о преобразовании Фурье самих функций, заданном приближенно. Перед постановкой задачи приведем некоторые определения. Пусть a = (ад,... , аД G Ж^. Для функции ж(-) G ГДЖ¹') через Р“ж(-) будем обозначать производную порядка а по Вейлю, определяемую равенством

D^ax^ = —i-y I(ДДЕх^е¹^ dT, где

(гтД = (zti)"1 ... (гтдД4, Д,^ = тД1 + ... + Tdtd, а Еж(-) — преобразование Фурье функции ж(-). Соболевское пространство 'НДЖ1') определяется как совокупность функций ж(-) G ГДЖД таких, что

/                                      \ 1/2

h(')h;(B^d) = I ^р ] (! + WY |Еж(/)|²йИ   < оо,

\ кд                      )

где ||t||2 = t2 + ... + t^. Соответствующим Соболевским классом назовем множество

Я2Д^) = {жОе?Д(^):||жО||^(К^

Задача оптимального восстановления оператора D^a на классе НДЖ¹') по преобразованию Фурье функции ж(-) G НДЖ¹'), заданному с погрешностью б > 0 в метрике ГДЖ¹), ставится следующим образом. Мы считаем, что для каждой функции ж(-) G НДЖ¹') нам известна функция уД G ГДЖД такая, что

\\Р$И - УИ\\ьдж») С 5.

В качестве методов восстановления будем рассматривать всевозможные операторы р;Ь₂^Ж^а>) —> Ь₂^Ж^ау Погрешностью данного метода у назовем величину

e(D“,H^,5,^ = sup ^“x^-^HW^w д^ПцО, yeM

Нас будет интересовать погрешность оптимального восстановления, определяемая равенством

Е^П“,Н^Ж^ауб^ = inf е^Щ^ЛрУ        (1)

у:£2^Н-ЫкА а также метод, на котором достигается нижняя грань, называемый оптимальным методом восстановления.

Впервые задача оптимального восстановления для функционалов по конечномерной информации была поставлена С. А. Смоляком [1]. Впоследствии эта постановка обобщалась и развивалась в разных направлениях (см. [2-6]). Подход к задачам восстановления, основанный на общих принципах теории экстремума, который мы здесь также используем, развивался в работах [7-10].

В данной работе мы сначала решаем задачу (1), а затем обсуждаем некоторый эффект, связанный с тем, что знание преобразования Фурье лишь на некотором подмножестве Rd обеспечивает ту же погрешность оптимального восстановления, что и на всем пространстве.

Теорема 1. Пусть а = («1,... , а^ G R^, а ^ 0, г > 1 и а = Хд = 1 ^aj < ^r-Положим

Л (2тг)^/2’ л° ( г /    ’ Р           '

Тогда, если 0 < б < (2тг)с,/2Ао, то а метод

E(,D“,H^Vy6^

(1 - Д2Л' тО"/2            \

D“^^i-

Rd 1 +

,И?\„ . (1 + МТ /■(△о⁷ - А²/’’)

(1т

является оптимальным. Если б > (2тг)^сг72До, то

Е^Н^^ = ^т - а^'2,

а D^ax^ ~ 0 — оптимальный метод.

< Нетрудно показать, что имеет место следующее неравенство

E(D“,H^T₂^^ay5^ sup \\D“x^\\_L2W.

II FA ') II l₂ (R^) ^^

Действительно, для любого метода у при всех ж(-) G ЯДКД таких, что ||Еж(-) Ц^^д) С 5 (учитывая, что -ж(-) Е Щ^Ж^а^, имеем

2\\D“aO\L2W С \\П“х^-(р^^\\ьд^

+ || - D“x^ - y(0)(-)||_L2(Kd) С 2e(D“^(R^d),M-

Следовательно, для любого метода у е(Я“,ЯДКДД,у) > sup \\D“x^\\L2W..

1ЯЯ) L2 (ntd ) ^

откуда сразу же вытекает оценка (2).

Экстремальная задача в правой части неравенства (2) может быть записана в виде (для удобства мы ищем квадрат значения этой задачи)

P^UIlLfRdj ^ max, ||M')llL₂(R^d) ^ 5, ||ж(-)||_Иг_(к^) ^ 1.          (3)

В силу равенства Парсеваля

1И-)11^) = (^)Л^ж(Д|2^

полагая

Д.) = (2тг)->ж(.)|2, задача (3) в образах Фурье запишется в виде j \t\2au(t) dt —> max,

Rd

ju(t)dt^A², I (1 + ||t||²)^ru(t)^ C 1, u(t) > 0 п. в., (4)

Rd                Rd где l|2a = H|2ai . ..|Д|2ад. Можно показать, что в этой задаче нет решения. Поэтому расширим ее, заменяя функции положительными мерами. Итак, рассмотрим следующую задачу j \t\2a dp^ —> max,

Rd

j dp^< A², Rd

У (i + ||t||²)^r^(t)^i, dpl^O.

Rd

Это выпуклая задача. Ее функция Лагранжа имеет вид

ОДДДАщА^Аг)

У (^оД²“ + Ai + Аг (1 + ||^||²) ) dp(t\

Rd

Если dp^-) — решение задачи (5), то согласно теореме Куна — Таккера (см., например, [8]) найдутся такие Aq СО, Ai, А₂ ^ 0, не равные нулю одновременно, что

и

Кроме того, если для допустимой в (5) меры dp^ выполняются условия (6) и (7) с Aq< 0 и Ai,A2 ^ 0, то фи(-) — решение задачи (5). Действительно, для любой допустимой меры dp^ имеем (используя последовательно допустимость этой меры и неотрицательность Aj, г = 1,2, условие (6) и условие (7))

Предъявим dp(-) ^ 0 и Aq< О, Ai, Аг ^ 0, для которых будут справедливы равенства (6) и (7). Введем следующие обозначения А = min(A², Aq),

I А-Or _ i 1/2              ] Т tj = \ ----------а/, 7 = 1,..., а, t = (Н,... ,td)

и положим Aq = — 1,

• - pIA"^yI^t -i д-'л'-'/'' Ao = --------------;---------

• TO0 1

и dp^ = AS^—t), где Д-) —дельта-функция в нуле. Легко видеть, что Ai Д О (Ai = О, когда А = Aq) и Аг > 0. Непосредственная проверка показывает, что мера dp^ допустима и справедливы равенства (7). Для доказательства равенства (6) достаточно доказать, что функция

G(t) — — Д2“ + Ai + Аг (1 + ||£||2)

неотрицательна и в точке t обращается в ноль. Предположим сначала, что «j >0,7 = 1,... , d. Сделаем замену переменных Д = 2 In\tj , j = 1,... , d, в функции \t\^-2aG^, \t\ > 0. Тогда получим функцию

F^ = -1 + е"^ (М ₊ А₂ (1 + е^ + ... + e^f) , £ = (^,... , ^).

Нетрудно убедиться, что эта функция выпукла, F^ = 0, где £ = (£i,... , ^), £7 = 2 In \tj\, 7 = 1,... , d, и, кроме того, градиент этой функции в точке £ равен нулю. Это означает, что F^ ^ 0 при всех £ G R^d. Отсюда, возвращаясь к старым переменным, получаем, что 0(1) ^ 0 для всех t G R^d и G(t) = 0. Если среди ctj есть нули, то аналогичные рассуждения приводят к тому же выводу для функции О( ), зависящей лишь от тех переменных, для которых соответствующие ctj > 0. Добавляя оставшиеся переменные в функцию G^ легко убедиться, что полученная функция по-прежнему останется неотрицательной, а 0(1) = 0. Тем самым имеет место равенство (6), и значит, dp(t) — решение задачи (5). Для ее значения имеем

R := J |1|²“ ^(1) к^д

^Д²(1-^/»-) (1 - Д²Лу ,  5< ^тгД^До,

^-^-у          5 > (27г)^й/²Д₀.

Эта величина дает оценку снизу для значения задачи (4), а, следовательно, и для квадрата значения задачи (3). Но эта оценка точна, так как можно выбрать последовательность допустимых в (3) функций ж„(-) G £2(Rd) таких, что ^л-Д^жД-)!2 —> АД- — 1) при п —> оо. Итак, получена оценка снизу к^пун^уй) > Vr.

Для получения оценки сверху рассмотрим экстремальную задачу llsa^(-)llL2(R-i) -^ max,

(2^ И-^МОИлдка) + A2|M-)||^r(Kd) < АХД2 + А2.   (8)

Переходя к образам Фурье, а затем расширяя задачу, переходя к мерам, получаем следующую задачу (здесь опять для удобства рассматривается квадрат значения задачи (8))

j 1|²“ фи(т) -д max,

КД

j d^F\₂ I (1 + ||1||²)^г^(1)

кд

кд

< АхД2 + А2

Пользуясь теми же соображениями, которые применялись ранее, нетрудно показать, что dp^ = АД- — т) является решением и этой задачи. Таким образом, значение задачи (8) равно тоже VR.

Рассмотрим теперь такую задачу: для фиксированной функции у(-) G Г^ЖУ найти величину

)™К«) ( (2тг)й ^^  ^'^МВД) + МИ')1|^(ВД)

Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция жу(-) такая, что

F^W

-— ----- WY

Ат + А2 (1 + ||1||2)

Введем в линейном пространстве Н = L₂(R^d) х ^(R^) полускалярное произведение

(zV)_H = ^|р У (Ai^(t)^(t) + Аз (1 + \\t\\²Y Fz^Fz²^ dt кд

(здесь г¹ = (z^ (•), ^(J), z² = (z²(-), z^-))) и соответствующую полунорму обозначим через || • ||я- Тогда задача Н может быть записана в следующем виде

||(Еж(-),ж(-)) - (у(-),0)||я ^ min, ж(-) е T/afR6').                 (10)

Поскольку жу(-) — решение задачи (10), то производная минимизируемого функционала в этой точке равна нулю, т. е. для всех ж(-) G T/at^) имеет место равенство

((Яжу(-),жу(-)) - (у(), 0), (Еж(-),ж(-)))н = 0.

Отсюда следует, что

||(^ж(.),ж(.)) - (у(-), 0) ||^ = ||(Еж(-),ж(.)) - (Ежу(.),жу(.))||2я

+ II (^жу ("), жу (")) - (у('),0)11н- (11)

Если ж(*) G Я^(R^d) и ЦРж(-) - у^\\ь₂ ^^^^ ^ 6. то из (11), полагая А(-) = ж(-) — ^(О? получим

II (-^('), ^('))Ия ^ ||(Еж(.),ж(.))-(у(.),0)||2я < А1А2 + А2.

Поэтому для всех ж(-) G Я^К^) таких, что ||Рж(-) — у(-)ЦщкД) С 5, имеем

\\D“x^-D“xy^\\M

с sup{ ||П“ж(-)||²_2(кй) : ^7||Еж(-)||²_2(кй) + А₂||ж(-)||^_(кй) ^ AiA² + А₂ j> = Vk.

Тем самым доказано, что метод

D“x^ ~                       -----тДтУ^ Дт,

У                    А1 + А2(1 + ||т||2)’-^ '

кд является оптимальным. Остается лишь подставить выражения для Ai и А2. >

Предположим теперь, что преобразование Фурье функции известно с ошибкой не на всем пространстве Rd, а на некотором измеримом множестве Q С R^. Тогда соответствующую погрешность оптимального восстановления определим равенством

E(D“,HU<^dV5,^=mi sup ||Р“ж(-) - ^(y)(-)||_L2m,

V _$(..KHU<^d'_l, yEL.W 1Я^(-)-у(-)||ь₂₍е)^5

где нижняя грань берется по всем операторам у: L2(Q) —> L2(Rd). Нетрудно убедиться, что при Qi С П2

Е^Па,Н^<У,б,О^ > E^Da,H^

Оказывается, что существует множество По С R^d такое, что для всех измеримых П, для которых Qq С П С R^d, имеет место равенство

Е(,Па,Н^Жа),5,0) = E^D^H^VVY

Иными словами, для максимально точного восстановления производной порядка а в метрике пространства L₂(R^d) достаточно знать преобразование Фурье на множестве Qq,^а использование приближенной информации о преобразовании Фурье в более широких областях не приводит к уменьшению погрешности оптимального восстановления. В одномерном случае этот эффект был обнаружен в работе [10].

Точный результат здесь формулируется следующим образом.

Теорема 2. В условиях и обозначениях теоремы 1 положим

По = е Rd : .        > ~fl - А2/ГГ 1 А2^"^) У

I (1 + lkll2) г^"1 \         /J

Тогда для всех измеримых П таких, что По С П С R^d, имеет место равенство

E^^H^V^S,^ = 5(D“,H’'(Rrf),5), а метод

D ЗСД) ~ /п ха ----------ГД^

л 1 + ~ТД7---ГДТТ (Х +)

г A - А2А является оптимальным.

• < Схема доказательства этой теоремы та же, что и предыдущей. Остановимся лишь на некоторых отличиях. После перехода к образам Фурье функция Лагранжа расширенной задачи будет иметь вид (считаем сразу, что Aq = — 1)

C^dp^Y Ai, А2) — J f—11|2“ + АхуцД) + А2 (1 + ||Д2) ^ dp^tY кд где %q(-) — характеристическая функция множества И. В силу доказанного в теореме 1, определения множества По и того, что По С И, имеем

^-И²“ + Aixq(£) + А₂ (1 + ||t||²) > 0

при всех t t Л. Далее доказательство оценки снизу проводится так же, как и в теореме 1.

При оценке сверху надо рассмотреть линейное пространство Н = L₂(H) х У/ДК^). Полускалярное произведение в нем следует определить равенством

(Л^2)я

^~^А1 у ^(1)^(1)^ +А₂ у (l + ||t|| ) Fz^BjFz^Bjdt. Q                  КД

В остальном доказательство то же, что и в теореме 1. >

Рассмотрим теперь несколько примеров для случая d = 2.

Пусть а = (1,0) и г = 2. Иными словами, рассматривается задача восстановления частной производной ж41 (-, •) на классе К^^2)- Из теорем 1 и 2 получаем, что при 0 < б < я е^°\н2^2^^ = J-V№^7), множество насыщения Qq представляет собой два круга с центрами в точках EaJtv ,б и радиусами у/л/б — 1, а метод

^t^H,^) ~

^1

Qo

гтху(т1, -7-2)е1(т1*1+т2*2)

1 +

б2

4тг(тг — 5)

dTi dr^

О+т2+т^

является оптимальным.

Вид множеств насыщения Qq Д^ля рассматриваемой задачи при ряде значений б представлен на рис. 1.

1+р2 <

1 -

-1/4

pV|sin2?|.

Эти множества при ряде значений б представлено на рис. 2.