Оптимальное восстановление семейства операторов по неточным измерениям на компакте
Автор: Сивкова Е.О.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.25, 2023 года.
Бесплатный доступ
Для однопараметрического семейства линейных непрерывных операторов T(t): L2(Rd) ^ L2(Rd), 0 < t < то, рассматривается задача об оптимальном восстановлении значений оператора T(т) на всем пространстве по приближенной информации о значениях операторов T(t), где t пробегает некоторый компакт K С R+ и т / K. Найдено семейство оптимальных методов восстановления значений оператора T(т). Каждый из этих методов использует приближенные измерения не более, чем в двух точках из K и линейно зависит от этих измерений. В качестве следствия найдены семейства оптимальных методов восстановления решения уравнения теплопроводности в данный момент времени по неточным его измерениям в другие промежутки времени и решения задачи Дирихле для полупространства на гиперплоскости по неточным его измерениям на других гиперплоскостях. Задача оптимального восстановления значений оператора T(т) по указанной информации сводится, в основной своей части, к нахождению значения некоторой экстремальной задачи на максимум с континуумом ограничений типа неравенств, т. е. к нахождению точной верхней грани максимизируемого функционала при данных ограничениях. Эта, довольно сложно устроенная задача, редуцируется, в свою очередь, к бесконечномерной задаче линейного программирования на векторном пространстве всех конечных вещественных мер на а-алгебре измеримых по Лебегу множеств в Rd. Данную задачу уже удается решить, используя некоторое обобщение теоремы Каруша — Куна — Таккера, и ее значение совпадает со значением исходной задачи.
Оптимальное восстановление, оптимальный метод, экстремальная задача, преобразование фурье, уравнение теплопроводности, задача дирихле
Короткий адрес: https://sciup.org/143180458
IDR: 143180458 | УДК: 517.9 | DOI: 10.46698/b9762-8415-3252-n
Optimal recovery of a family of operators from inaccurate measurements on a compact
For a one-parameter family of linear continuous operators T (t) : L2(Rd) ^ L2 (Rd ), 0 < t < to, we consider the problem of optimal recovery of the values of the operator T(t) on the whole space by approximate information about the values of the operators T(t), where t runs through some compact set K C R+ and t / K. A family of optimal methods for recovering the values of the operator T(t) is found. Each of these methods uses approximate measurements at no more than two points from K and depends linearly on these measurements. As a consequence, families of optimal methods are found for restoring the solution of the heat equation at a given moment of time from its inaccurate measurements on other time intervals and for solving the Dirichlet problem for a half-space on a hyperplane from its inaccurate measurements on other hyperplanes. The problem of optimal recovery of the values of the operator T(t) from the indicated information is reduced to finding the value of some extremal problem for the maximum with a continuum of inequality-type constraints, i. e., to finding the least upper bound of the a functional under these constraints. This rather complicated task is reduced, in its turn, to the infinite-dimensional problem of linear programming on the vector space of all finite real measures on the a-algebra of Lebesgue measurable sets in Rd. This problem can be solved using some generalization of the Karush-Kuhn-Tucker theorem, and its the value coincides with the value of the original problem.
Список литературы Оптимальное восстановление семейства операторов по неточным измерениям на компакте
- Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 5-ое. доп.—М.: УРСС, 2020.—176 с.
- Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах.—М.: Мир, 1974.—331 с.
- Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Дисс... . к.ф.-м.н.—М.: МГУ, 1965.
- Micchelli C. A., Rivlin T. J. A survey of optimal recovery // Optimal Estimation in Approximation Theory / Eds. C. A. Micchelli and T. J. Rivlin.—N. Y.: Plenum Press, 1977.—P. 1-54.
- Melkman A. A., Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SIAM Journal on Numerical Analysis.—1979.—Vol. 16, № 1.—P. 87-105. DOI: 10.1137/0716007.
- Micchelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on Optimal Recovery // Numerical Analysis Lancaster / Eds. Turner P. R.—Berlin: Springer-Verlag, 1985.—P. 21-93.—(Lecture Notes in Mathematics; Vol. 1129). DOI: 10.1007/BFb0075157.
- Traub J. F., Wozniakowski H. A General Theory of Optimal Algorithms.—N. Y.: Academic Press, 1980.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его прил.—2003.—Т. 37, № 3.—С. 51-64. DOI: 10.4213/faa157.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям // Мат. сб.—2009.—Т. 200, № 5.—С. 37-54. DOI: 10.4213/sm7301.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функц. анализ и его прил.—2010.—Т. 44.—C. 76-79. DOI: 10.4213/faa2999.
- Magaril-Il'yaev G. G., Sivkova E. O. Optimal recovery of the semi-group operators from inaccurate data // Eurasian Math. J.—2019.—Vol. 10, № 4.—P. 75-84. DOI: 10.32523/2077-9879-2019-10-4-75-84.
- Абрамова Е. В., Магарил-Ильяев Г. Г., Сивкова Е. О. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихле для полупространства по неточным измерениям // Журнал вычисл. матем. и матем. физ.— 2020.—T. 60, № 10.—С. 1711-1720. DOI: 10.31857/S0044466920100038.
