Оптимальное восстановление семейства операторов по неточным измерениям на компакте

Для однопараметрического семейства линейных непрерывных операторов T(t): L2(Rd) ^ L2(Rd), 0 < t < то, рассматривается задача об оптимальном восстановлении значений оператора T(т) на всем пространстве по приближенной информации о значениях операторов T(t), где t пробегает некоторый компакт K С R+ и т / K. Найдено семейство оптимальных методов восстановления значений оператора T(т). Каждый из этих методов использует приближенные измерения не более, чем в двух точках из K и линейно зависит от этих измерений. В качестве следствия найдены семейства оптимальных методов восстановления решения уравнения теплопроводности в данный момент времени по неточным его измерениям в другие промежутки времени и решения задачи Дирихле для полупространства на гиперплоскости по неточным его измерениям на других гиперплоскостях. Задача оптимального восстановления значений оператора T(т) по указанной информации сводится, в основной своей части, к нахождению значения некоторой экстремальной задачи на максимум с континуумом ограничений типа неравенств, т. е. к нахождению точной верхней грани максимизируемого функционала при данных ограничениях. Эта, довольно сложно устроенная задача, редуцируется, в свою очередь, к бесконечномерной задаче линейного программирования на векторном пространстве всех конечных вещественных мер на а-алгебре измеримых по Лебегу множеств в Rd. Данную задачу уже удается решить, используя некоторое обобщение теоремы Каруша — Куна — Таккера, и ее значение совпадает со значением исходной задачи.