Оптимальное восстановление вторых производных от аналитических функций по их значениям в конечном числе точек

DOI:

Пусть K = { z : | z | < 1 } - единичный круг, а Г = { z : | z | = } - единичная окружность. Обозначим через B ¹ ( K ) = { f ( z ) :| f ( z )| <  1, z е K } - множество аналитических функций, заданных в круге K . Пусть также z ₀, z 1,. . , z n - заданные различные точки, лежащие в круге K .

Если S(t1,.,tn,tn + 1,tn + 2) - любая комплексная функция n + 2 комплексных переменных, то погрешностью приближения методом S второй производной f ''(z0) по информации о значениях f (z1),., f (zn), f (z0), f'(z0) называется следующая величина rn+2 ( S )= sup If " ( z 0 ) — S ( f ( zl ) ,. , f ( zn ) , f ( z 0 ) ,/(z 0 ))|. f ( z )e B 1( K)                                                                                 1

Согласно работе К.Ю. Осипенко [1] существует линейный наилучший метод приближения

n

S 0 = ^{a f} ( ^z 0 ) ⁺ c 0 f ( ^z 0 ) ⁺ E c k f ^{( z}k ) k = 1

(здесь a, c0, ck - комплексные числа), для которого имеют место следующие равенства rn+2 ( S0 ) = inf rn + 2 ( S )=           sup           I f"( z0 ) I                           (1)

S                             f ( z ) e B ¹ ( K )

^f ( ^z 1 ) =.= ^f ( ^zn ) = ^f ( ^z 0 ) = ^f ' ( ^z 0 ) = ⁰

В дальнейшем погрешность наилучшего метода приближения обозначаем r₂(z 0 ,z₁, ^ ,z n ) (то есть ^r2 ( Z 0 , Z , , _ , ^z _B ) = Г_п + 2 ⁽ 5 0 )) .

Заметим, задачи оптимального восстановления изучались в работах [1; 2]. Напомним теперь некоторые результаты из работ [3] и [4].

Если rn ( z ) - суммируемая на Г функция, то выполняется соотношение двойственности

sup I J f ( £ ) ® ( £ ) d Z I = min Л^ю( £ ) -ф ( £ )| d Z| , f е B ^j( K ) Г                          ^фе H ¹ Г

где H ₁ – класс Харди. В рассматриваемом случае существуют экстремальные функции f * ( z ) е B ¹ ( K ) и ф * ( z ) е H ₁ для равенства (2). Причем функция f * ( z ) единственна с точностью до множителя е* ^ц ( ц е R ), а ф * ( z ) - единственна. Кроме того, функции f * ( z ) е B ¹( K ) и ф * ( z ) е H 1 являются экстремальными тогда и только тогда, когда почти везде на Г выполняется соотношение

f • (Z)[®(Z)-Ф* (Z)] d Z = ee|®(ZH’ (Z)| ds,

где 8 - действительная константа. В работе [3] доказано, если ro ( Z ) является граничным значением на Г мероморфной в K функции ю ( z ) c полюсами Р ₁, _ , в m (каждый полюс повторен столько раз, какова его кратность), то произведение

R (z ) = f * (z)[®(z )-Ф* (z)                                        (4)

является аналитической функцией (за исключением полюсов) вплоть до Г и имеет в K

M = m - 1                                    (5)

нулей.

1. Вычисление погрешности наилучшего метода приближения

Теорема 1. Погрешность наилучшего метода приближения определяется по формуле

2 B ( z 0 )

r 2 ^{( z} 0 , ^z j , ^ , ^z n ) =          2^.                                           (6)

^{1 -}l ^z ol /

Экстремальная функция f * ( z ) задачи (1) единственна с точностью до множителя е * ⁸ , где

8е R .

Доказательство . Обозначим

A = {f (z ) : f (z ) е B1 (K ). f (z 1 ) = - = f (zn ) = f (z 0 )= f'(z 0 ) = 0}-

семейство аналитических функций. Пусть f ( z ) е A . Рассмотрим функцию

g(z ) =

f ( z )

zr^^ I

1 ^{1 - z} 0 ^z J

B ( z )

где

n

B (z ) = n k=1

z -4

^{1 - z} k ^z

конечное произведение Бляшке. Если | z | = 1 , то | g ( z )| = | f ( z )| <  1.

Отсюда, если f ( z ) e A, то

f(z ) =

( 1 - z 0 z

B(z) g(z),

где g ( z ) e B ¹ ( K ) . Нетрудно подсчитать f " ( z ₀ ) = 2 Если g ( z ) e B ¹ ( K ) , то | g ( z ₀)| <  1 , и поэтому

B ( ^z 0 ) g ^{( z} о ) ( 1 -l z .12 ) ²

sup | g ^{( z} 0 ) <  1.

g ( z ) e B ¹( K )

Так как g * ( z ) = e ⁸ e B ¹ ( K )( Se R ) , то

suP |g(z0) ^1.

g ( z ) e B 1 ( K )

Откуда

suP |g( z 0) = 1.

g ( z ) e B 1 ( K )

Экстремальные функции этой задачи имеют вид g * ( z ) = e‘ ⁸( 8e R ) В самом деле, если g *( z ) e B ¹ ( K ) и | g *( z ₀ ) = 1 , то по принципу максимума модуля g *( z ) является постоянной, и поэтому g * ( z ) = е ' ⁸( 8e R )

Поэтому

r 2 ⁽ z 0 , z 1

■.z. )=

2IB (z. )l sup UU «   2|B(z о >1

(         \2 ^SUp l ^{g (} z 0 )=/       <\2 .

(1 -|zo| ) g(z)eB1(K)              (1 -|zo| )

Понятно, что экстремальная функция f ^*( z ) задачи (1) единственна с точностью до множителя e ' ⁸ , где 8 e R . Теорема доказана.

Следствие. Так как f ^*( z ) является экстремальной функцией задачи (1), т о ( f *)"( z ₀) = r ₂ ( z ₀, z 1 ,..., z n ). Отсюда следует, что f *( z ) является экстремальной функцией задачи

n r2 ( z 0,z 1,., z„ )= sup f"( z 0 )-af( z 0 )-c 0f ( z 0 )-Tckf ( zk ) f e B 1( K)                                                 k=1

= sup Jto(Z) f (Z)dZ , fe B 1( K) Г

n где af (z0) + c0 f (z0) + ^ckf (zk) - любой из линейных наилучших методов приближения (если их к=1

много), а

™(е)

г

1        2

a

2п'((Z-zо)3 "(Z-zо)2

n

-Ё

к = 0

. 2

ck

Z-zk J

Следовательно, экстремальная функция задачи (7) имеет вид е ' ⁸ f * ( z ), где 8e R .

2. Вычисление коэффициентов линейного наилучшего метода

n

Теорема 2. Линейный наилучший метод приближения af' (z0)+ c0 f (z0 )+Ё ckf (zk)- един- k =1

ственен, а его коэффициенты находятся по формулам:

c

• 0 =

z 0 B ( z 0 ) + (1 -I z op ) B '( z 0 ) a = 2------:-----------

( 1 -I z op ) B ( z o )       ,

( 1 -I ^z оГ ) ^B ( ^z 0 ) ^B "( ^z 0 )^{- 2} ( ^z 0 ^B ( ^z 0 ) ⁺ ( 1 - l ^z оГ ) ^B ( ^z 0 ) ) ^B ( ^z 0 )

( 1 -I- - 0I² ) ^{B 2} (- - 0 )

,

c = 2 B ( z 0 ) k z 0Г- 1

(1 -| z_k I²)(1 - z 0 z_k )

П ^П =        ( z k - z 0 ) 3

,) * k ^{1    z} j^k

( k = 1,

n ) .

Доказательство. Рассмотрим интеграл

J =

1 r      ² B ( ^z 0 ) ( 1 ^{- z} 0 ^z )

^{2 n} i { ( 1 -I z 0p ) B ( z )( z - z 0 ) ³

где f ( z ) e B ¹ ( K ) Оценим интеграл по модулю

I J I =

1 г     ^{2 B} ( ^z 0 ) ( 1 ^{- z} 0 ^z )

^{2 n} i { ( 1 -| z 0^ ) B ( z )( z - z 0 ) ³

f ( z ) dz

1 Г      2| ^B ( z 0 )|

^{2 n} r ( 1 -| z 0^)| z - z 0^

1 ²1 ^B ( z 0 )| 1 fl -I z 0Г dj = ²I ^B ( z 0 )| 2   1 -I z 0Г 1 -I z 0Г i z - z 0^ ¹ ( 1 -I z 0^ )²

Подсчитаем интеграл. Для этого рассмотрим функцию фМ = —1_zz— () B (z )(z - z 0 )3

Разложим Φ( z ) в ряд Лорана

A-zz С C

^{1 z} 0 ^z =       - 3 J        - 2

^B ( ^z )( ^{z - z} 0 ) ³ ( ^{z - z} 0 ) ³ ( ^{z - z} 0 ) 2

+ - C ^^ + ф ( z ) , ^{z - z} 0

где ф ( z ) - аналитическая функция; z e K . Найдем коэффициенты С _-3; С _-2; С _-1. Сначала найдем коэффициент С _–3. Имеем:

C ₃ = lim ( z - z ₀ ) 3 Ф ( z ) = lim ( z - z ₀ ) 3---- —^{Z o -}—_k =    L⁰^

z ' z 0 ^{(       0} ) ⁽ ) z ' z 0 ^{(       0} ) B ( z )( z - z 0 ) ³      B ( z 0 )

Найдем коэффициент С_{– 2}. Так как

.

то

'

( ( ^{z - z} 0 ) ^Ф ( ^z ) ) =

^{- z} 0 ^B ( ^z )^- ( 1 ^{- z} 0 ^z ) ^B '^{( z} )

B ²( z )

C ₂ = lim( ( z - z ₀ ) ³ Ф( z )) ' = lim z ^ z 0                       ^z ^ ^z 0

^{- z} 0 ^B ( ^z )^- ( 1 ^{- z} 0 ^z ) ^B '^{( z} )

B ² ( z )

^z 0 ^B ( ^z 0 ) ⁺ ( 1 ^-| ^z 0I² ) ^B '( ^z 0 )

B^y(z 01

Найдем коэффициент С_{– 1}. Так как

-зА3       ~ [- z 0 B( z )+ z 0 B (z )-(1 - z 0 z )B( z )]B2 (z )

((z  z0) Фz)) =                  B4 (z)

[- z 0 B (z )- (1 - z 0 z B( z )]2 B (z )B'( z )B4 (z)             ’™

C , = -lim

2 ^z ^ ^z 0

(-z0B (z) + z0B (z) - (1 - z0z) B (z)) B2(z)

V

2 (-z 0 B ( z )-(1 — z 0 z ) B'( z )) B3(z)7

1 -| z 0I ) B ( z 0 ) B ( z 0 ) - 2 ( z 0 B ( z 0 ) + ( 1 -I z 0I ) B ( z 0 ) ) B X z 0 ) 2 B ³ ( z 0 )

Обозначим

, .     2 B (z 0)     , , , ,P(z)=тт7ф (z) f(z),

1 -i z 0I

C k = res²") ( k = 1,..., n ) .

z=zk     lz0I -1

Тогда (см. (14)–(18))

res z=z 0

P (z ) = ^b Jp (z) dz = ^fT^f^zP 2ni2ni

Y                   Y V-   0 0 /

dz +

² B ⁽ z 0 ) C - 2 r f ( z )         ² B ⁽ z 0 ) С - . _f f ( z ) ₌

1 -I z 0I² 2 n i j ( z - z 0 ) 2       1 -I z 0pn\z - z 0 =

= f "( ^z 0 )^{-a f} ( ^z 0 )^- c 0 ^f ( ^z 0 ) ,

где Y — некоторая окружность с центром в точке z ₀, принадлежащая K (внутри Y и на самой окружности не лежат простые полюсы z ₁, ^ , z n ), а

а =

2 B ( z 0 ) 1 -I z 0Г

С с

- 2 , c 0

—

2 B ( z 0 ) _C

1 -I z 0Г ",

и поэтому (см. (16), (17)) вычисляются по формулам (9) и (10). Отсюда (см. (12), (20), (19)) по теореме о вычетах

n

J=f"(z 0)- аf (z 0)- c 0 f(z 0)- E ckf(zk )• k=1

Итак, получается

2 I B ( z 0 ) | ( 1 - z 0p )²

n

| f"(z0 )-аf'(z0)- c0f(z0 )-Eckf (zk ) I- k=1

n для всех f (z) e B1 (K). Отсюда и вытекает, что метод аf (z0) + c0f (z0 )+E ckf (zk) является ли-k =1

нейным наилучшим методом приближения.

Подсчитаем коэффициенты c_k . Имеем:

= ² B ( z 0 ) res _ф ( z ) = ² B ^{( z} 0 ) l _i m ^{(1 -} z k z ^{)(1 - z} 0 ^z )    = ² B ^{( z} 0 )     ⁽¹ -I z k |²⁾⁽¹ - z 0 z k )

z .r - 1-       I z ,r - 1 z - - _n - =^ ( z - z 0 ) ³   Ы^{- 1} _n - = , ^ 0. ( Z k - z 0 ) ³

j*k 1 - zjz                           j*k 1 - zZk где k = 1,.,n.

В заключение убедимся в том, что линейный наилучший метод приближения единственен. n

В самом деле, если af (z0)+^ckf(zk) является линейным наилучшим методом приближения, k=0

то выполняются равенства (7) и (3), где to(Z) определяется по формуле (8). Заметим, что функ ция R(z) = f * (z)[to(z)-ф*(z)] в рассматриваемом случае не имеет нулей в K (см. (5)).

Предположим, что существует еще один линейный наилучший метод приближения

n

af'(z 0 )+Е ckf(zk )

k = 0

Тогда sup I J to, (Z) f (Z)dZ |= r2 (z0, z,,..., zn ), feB '( K) г где to,

^{( Z )} 2 П ( Z- z 0 ) ³    ( Z

A a

-

z 0 ) ²

n z£ 1

k = 0     ^k

и (см. (3))

f * ( Z ) [ to , ( Z ) - Ф * ( Z ) ] d Z = e to , ( Z ) - Ф * ( Z ) | d Z I,                                (22)

где 5 , - вещественная констант а (ф * ( z ) е H , ; см. (2)). Обозначим чере з R , ( z ) = f * ( z ) [ to , ( z ) -ф * ( z ) ] . Рассмотрим функцию

Q ^{( z} )

e6 to, (z )-Ф*(z) to(z)-ф*(z) , где 9 = 5-5,. Проверим ее аналитичность в точке z0. В самом деле (см. (21), (8)),

Q ( z ₀ ) = lim Q ( z ) = e « l,m ^{( z} " ^z ” ^ ^{( z ) -ф} * ^{( z} ) ) = e «. ^{z - z 0              z - z 0} ( z - z ₀ ) ( to ( z ) -ф ( z ) )

Очевидно, что функция Q ( z ) аналитична в K вплоть до границы Г.

Кроме того, функция Q ( z ) принимает положительные значения на окружности Г (см. (22), (3)). Тогда Q ( z ) = C ( С - константа; C >  0 ).

Так как Q ( z ₀ ) = e ⁹ , то e ⁹= 1. Следовательно, Q ( z ) = 1, и поэтому = a , c ₀ = c ₀, . , £ _n = c n . То есть линейный наилучший метод восстановления единственен.