Оптимизация дивидендной политики

На новом этапе развития России существенно меняется целевой показатель: предстоит задача формирования и увеличения стоимости бизнеса (для Советского периода формальным показателем являлась прибыль, для бурных 1990-х - денежный поток). Эта задача существенно более сложная, так как требует управления гораздо более широким перечнем параметров.

В данной работе рассматривается модель стоимости по дисконтированным дивидендам в прогнозный период и поиск оптимального решения по выплате дивидендов.

1.    Постановка задачи. Математическая модель

Рассмотрим упрощенную модель развития бизнеса без заемных средств за счет реинвестирования части прибыли после налогов, описываемую уравнением (конечно-разностный вариант)

ДА = ил = и(тА — F)                  (1.1)

где А — активы, л — чистая прибыль, и — доля чистой прибыли на накопление (играет роль управления), m — маржинальная рентабельность активов, F — постоянные затраты.

Стоимость бизнеса для акционеров определяется дисконтированным денежным потоком для акционеров [1], т.е. выводом чистой прибыли для потребления (дивиденды). Предполагается, что менеджмент должен максимизировать стоимость для акционеров. Рассмотрим модель стоимости на прогнозном периоде (непрерывный вариант модели (1.1)):

Tr(l-u)(mA -F)    Тг г ,

V = --------’-dt = Ldt —> max

(1 + ^         0J                                  (1.2)

dA

— = u(mA-F\ 0

dt где /о — функция потребления (дивиденды), г — ставка дисконтирования. Далее предполагается г - 0, т > 0, F > 0. Для компактности введём следующие обозначения х^= А, х^ = -V (см. (1.2), (1.3)). В этих обозначениях оптимальная задача примет вид (х =dx/dF xx=, х2 = -(тхх - F)(l - и),

O = t_oх > F > 0, х₂ = 0, 0 <  и < 1, х₂ (7) —> min.

(1.5)

(1.6)

(1.7)

2.    Теоретико-групповой анализ модели

Подвергнем систему (1.4) теоретико-групповому анализу [2]. Уравнениям (1.4) соответствует семейство операторов дифференцирования по t в силу этой системы:

Х(и) = иХх +Х2, где обозначено

Х_х = (тх_х - F)

Га а Г

ОХ^ 5x^2 /

Х2 = Ч™Ч дх2

(2.1)

Вычисление коммутатора приводит к результату

|F|.F2| = -m(mX|

5х2

Таким образом, операторы (2.1) есть базис алгебры Ли с структурными постоянными2 С^ =т, а система (1.4) является групповой. По уравнениям системы вычисляется 2-параметрическая группа (vb v2 —параметры):

= xf - — eV1 -1 , m x2 = x2 - mx^-F v2----

И

— группа сдвигов вдоль решений системы (1.4). Выбор управления u(f) и интервала [0,7] опре деляет преобразование пространства состояний: начальные состояния хг° решения х, (/) перено- сят в состояния х, (7). Описанное преобразование есть преобразование группы (2.2) при некотором выборе параметров v1, v2.

Так как количество (два) параметров в группе (2.2) совпадает с размерностью (два) пространства состояний, то система (1.4) является не только групповой, но в терминологии [2] и 7 -системой. 7-системы размерности п кроме и-параметрической группы сдвигов вдоль решений (в данном случае (2.2)) допускает и-параметрическую группу симметрий. Для её подсчёта нужно сначала вычислить коэффициенты соответствующего группе оператора

. а . .а

(2.3)

У = 77i(x_bx₂)— + 77₂(xi,x₂)—.

Оператор симметрий (2.3) связан с операторами (2.1) следующим образом Х_ъ¥ =0. Раскрыв коммутаторы, получим следующие уравнения для функций 7/₁(х₁,х₂) и т/₂(х₁,х₂):

(m^-F)       V т^ = 0,

0X2 /

+            = 0,

СХ2 J

-(тхх        =

Эх2

~(тх_х - F) ^2. _{+ тТ}]^ = о.

дх2

Уравнения без труда решаются, что приводит к общему решению (q, с₂ — произвольные постоянные):

71 = —q (гпх_х - F),       т/2 = -qmx₂ + ^c2 •                 (² -⁴)

Полагая q = 1, c2 = 0 и q = 0, c2 = 1, приходим к двум операторам симметрий

= -(mx_x-F)^--mx₂^-,     ^У2=^"        (²-⁵)

— базису алгебры Ли операторов симметрий. Отметим, что для приведённых операторов выполняется [J),^] = т¥₂ , то есть алгебра Ли операторов симметрий имеет те же структурные постоянные С^ = т , что и алгебра сдвигов вдоль решений.

Для перехода от операторов (2.5) к уравнениям группы симметрий нужно по коэффициентам (2.4) оператора построить систему dx

• —¹ = —q Qnx_x - F),    q (0) = Xj,

ат dx2 ~~ ™

• — - -qwx₂ + c₂ , x₂(0) - x₂, ат

решить её и ввести обозначения с_хт = q :

Xj = Xj + г ,

TH

(2.6)

x2 - x2e + r2• ттх

Польза от группы симметрий заключается, в частности, в том, что если любое решение x_z- (/) системы (1.4) при некотором допустимом управлении иД^ подставить в уравнения группы (2.6), то получится 2-параметрическое семейство решений x_z (^,q,r₂), соответствующих тому же управлению w(Z) .

уравнения Гамильтона

F = р_х(mx_x -F) + р₂(тх_х -F) и - р₂(тх_х -F),

■      9Н       ,        X

Р1=-— = ~т (Р1+Р2)и~Р2 ,

• 9Н о

Р2 = -Т— = 0, дх₂

условия трансверсальности (1.7):

(ЗЛ)

(3.2)

(3.3)

Вследствие того, что система (1.4) является L -системой, для системы (1.4), (3.2) по коэффициентам (2.4) оператора симметрий (2.5) строится семейство первых интегралов [2]

w(q ,с₂) = р_х (-с_хтх_х +F) + p₂ (-с_хтх₂ + с₂ ).

В семействе выделяется базис wT = w(-l, 0) = Py (тхх - F) + р2тх2,                    ^ 4

w2 =w(0,l) = p2.                                         '

Полагая в (3.4) t = T,c учётом (3.3) получим выражения (введено обозначение х₂ (Г) = х₂)

Ру (тху - F) + р₂тх₂ = -тх₂,

Р2 = из которых следует

Py(mxy-F) = m(x2-x2),     P2=-V

Учёт этих зависимостей в (3.1) приводит к формуле

Н = т(х2 -х2)-тху +F и+ тху -F или

Н = m{x₂-Xy+a)u + mxy-F,                     (3.5)

F ~ обозначено а =--х2 . В силу принципа максимума с учётом ограничения (1.6) для оптимального т управления получаем необходимое условие

_ J 0 при х₂ - х₁ + а < 0,

II — л------------------------- (3.0)

[ 1 при х₂ - Xj + а > 0.

Из условия видно, что по одну сторону прямой х₂ — Xj + а = 0 управление принимает значение и = 0, а по другую и = 1. Рассмотрим варианты в зависимости от начальных условий.

• 1.    Ху>а, В силу (3.6) при / = 0 выполняется w = 0, а в силу уравнений (1.4) при />0: х₁ (/) = xf, х₂ (t) = —(шх^ - F)/, то есть условие, приводящее к и = 0 продолжает выполняться, и к моменту t — Т функционал достигает своего минимального значения х₂ = —(шх^ — F)T.

• 2.    xf <а, х₂ = 0. В силу (3.6) при / — О выполняется и = 1, а в силу уравнений (1.4) при t >0: тху — F = (шх^ — F)e^mt , х₂(/) = 0. Пусть в момент (0<^<Т) выполнилось Ху=а и произошло переключение. При t > ty справедливо и = 0 и в силу уравнений (1.4):

тху -F = (тху -F^e™^ , ^2(^М ⁼ -(^1° - F)e^mtx Q-ty).

Спрашивается, в какой момент ty (0 <  ty < Т ) должно произойти переключение, чтобы функционал x₂(T,ty) = -(mx^-F)e^mt4T-ty)                      (3.7)

достиг своего минимального значения. Исследование на экстремум приводит к соотношению

= (тху - F)emtx )-т(Т - ty) +1} = О dty и к нужному результату ty^T-—.                                (3.8)

т

Для того, чтобы результат не покинул границы 0Х.                              (3.9)

В противном случае минимум будет достигаться на границе ty = 0, что соответствует варианту 1. Подставим результат (3.8) в функционал (3.7)

х₂ (Т, ty) = -(тху - F)—е^тГЧ. m

Несложный анализ показывает, что это значение при условии (3.9) лучше, чем граничное значение х₂ = -Qnxy - F)T.

4. Содержательное обсуяедение результатов

Практика дивидендной политики для 2622 компаний США по итогам 2009 года, котирующихся на бирже [4], приведена в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Данные компаний США, 2009 г.

Категория надежности	А++	А+	А	В++	В+	В
Количество компаний	52	73	257	526	902	812
Маржинальная рентабельность активов3т, О/ /О	41	41	37	35	31	30
Доля чистой прибыли на накопление и, %	63	62	58	54	63	68

Оптимальный режим для развития компании на 10 лет выглядит следующим образом:

• -    интенсивное развитие в течение t\ = max( О, Т — 1 / т) . Для данных компаний США это составляет 7 лет;

• -    последние 3 года вся чистая прибыль направляется на дивиденды.

Длительность периода развития зависит от срока анализа и маржинальной рентабельности активов. Для низкорентабельных компаний этап начального развития сокращен, целесообразен вывод прибыли.

Около 2/3 прибыли компаний США направляется на развитие. Такая практика свидетельствует о компромиссной дивидендной политике (между получением дивидендного денежного потока и реинвестированием), а не оптимизацией расчетной стоимости компании. Данная статистика может свидетельствовать о том, что большинство компаний США находятся в «постпрогнозном» (инерционном) росте.

Выплаты дивидендов в России находятся на относительно невысоком уровне. Основными причинами являются реинвестирование прибыли в развитие (оптимально для быстрого развития) и оптимизация налогов (на прибыль, на дивиденды4).

В России выплаты дивидендов определяются скорее практиками корпоративного управления для компаний на фондовой бирже, чем оптимизацией богатства акционеров. Большинство российских компаний платит дивиденды в размере 1-5% чистой прибыли, некоторые (Лукойл, Сбербанк) - 15-20%, подавляющее меньшинство (МТС) - 60-90%. Дивидендная доходность 10-15% (к цене акций) считается редкой и очень хорошей.

Заключение

Исходя из представленного в работе исследования видно, что одним из основных параметров управления стоимостью компании является коэффициент реинвестирования прибыли.

Результаты моделирования показывают целесообразность активного развития на начальном этапе и вывода прибыли на этапе зрелости компании.

Оптимизационная дивидендная политика компаний в прогнозный период для максимизации акционерной стоимости не подтверждается практикой (фактическими данными) крупнейших компаний США.

Данный результат показывает или необходимость уточнения модели (что будет проходить из-за уточнения различных факторов), или инерционность (компромиссность, а не оптимальность) действий менеджмента.

Для дальнейших исследований целесообразно развитие модели:

• -    Анализ влияния ставки дисконтирования. Ставка дисконтирования принята нулевой для упрощения получения оптимального решения. Дисконтирование будущих денежных потоков только усилит эффект ускоренного потребления.

• -    Анализ заемной политики, влияния структуры капитала на стоимость компании и оптимальную дивидендную политику.