Оптимизация измерения времени задержки в интерферометре Хонга–Оу–Манделя на основе анализа информации Фишера и экспериментальных данных

Последние два десятилетия можно отметить рост приложений эффекта Хонга–Оу–Манделя (ХОМ) [1] в оптической квантовой метрологии [2]. Установки на основе данного эффекта используются для измерения смещения (достигнуто разрешение 1,26 нм [3]), угловой скорости (минимально регистрируемая скорость вращения порядка 3 мРад/с [4]), регистрации колебаний с малой амплитудой (колебания оптической задержки порядка 0,4 мкм [5]), регистрации малых изменений показателя преломления среды (вплоть до изменений на величины ~10-6 [6]), измерения направления линейной поляризации (с разрешением 0,01 градуса [7]).

Измерения, проводимые с использованием интерферометра Хонга–Оу–Манделя, являются косвенными: о значении физической величины (смещения, угловой скорости, температуры и т. д.) судят по разнице времени прибытия т на делитель пучка двух фотонов (образованных в ходе параметрического рассеяния света в нелинейном кристалле), которая, в свою очередь, оценивается по данным со счетчика совпадений. Счетчик совпадений измеряет число одиночных и двойных срабатываний однофотонных детекторов (см. схему на рис. 1) в заданном интервале времени. Точность оценивания времени задержки по данным со счетчика совпадений зависит от величины самой задержки. В качестве положения рабочей точки датчика удобно выбрать такую величину задержки, которая обладает минимальной неопределенностью при оценивании ее по данным со счетчика совпадений.

В данной работе рассматриваются данные с ХОМ-интерферометра, построенного на синхронизме второго типа. Целью данной работы является разработка подхода для выбора рабочей точки ХОМ-датчика, основанная на экспериментальных данных со счетчика совпадений.

Оценка точности измерения времени задержки с использованием границы Крамера–Рао

Для определения верхней границы среднеквадратичного отклонения оценки времени задержки использовалась граница Крамера-Рао [5]:

^ ^T CCR = 1/ 4 NFC F ,                                 ⁽¹⁾

где F CF – классическая информация Фишера, которая была определена с помощью модели, предложенной в работе [8]. Согласно данной модели вероятности P 0 ( τ ), P 1 ( τ ) и P 2 ( τ ) того, что соответственно не сработает ни один из детекторов, сработает только один детектор и сработают два детектора при задержке между прибытием фотонов, равной τ , определяются следующим образом:

P T		V 2          V 2
РТ)	-	2 v (1 -v )    1 -v
P 2 T ) .		1 - 2 v (1 -v ) -v 2 0

P cc T ) .P ncc ^{( т )}

где ν – вероятность потери фотона в интерферометре, величина P cc ( τ ) – вероятность одновременного срабатывания двух детекторов в случае отсутствия потерь ( P n cc ( τ ) = 1 – P cc ( τ )), определяемая в случае второго типа синхронизма следующим выражением [9]:

PT) -1

cc 2

(

1 - a exp

I

( a ® )² t ^{2 л}

где A® - ширина спектра бифотонного поля, а параметр а моделирует видность кривой совпаде- ний. Для данной модели в работе [10] авторами данной статьи было получено выражение для

классической информации Фишера:

(1 - v ² ) a ² ( А ® )⁴ т ² exp

F CF -

( /А       7 \

(-(^)

21+V1 -v

^{1 - a e}xp

к к

(А®)2т

2 »

Г         (

^{1 - a e}xp к         к

^{( А} ® ) ^т

последнее выражение было использовано для нахождения времен задержек τ , обладающих минимальными относительной и абсолютной погрешностями. За величину абсолютной погрешности принималась верхняя граница среднеквадратичного отклонения τ согласно Крамера–Рао (1).

Получение и обработка экспериментальных данных

Экспериментальные данные были получены на установке, оптическая схема которой показана на рис. 1. В качестве накачки использовался гелий-кадмиевый лазер с длиной волны 325 нм. Излучение фокусировалось на 4 мм кристалле ВВО, вырезанном под второй тип синхронизма.

Рис. 1. Оптическая схема эксперимента: He-Cd лазер с длиной волны 325 нм (IK3501R-G, 50 мВт, Япония); Ф 1 – ультрафиолетовый фильтр (полоса пропускания 320–370 нм); Л – собирающая линза; вырезанный под второй тип синхронизма кристалл ВВО толщиной 4 мм (угол реза 55,2 град.); Ф 2 – UFM-зеркало (отражающее накачку, но пропускающее излучение 650 нм); ПСД – поляризационный светоделитель; Ф 3 – интерференционный фильтр на 650 нм (FWHM – 10 нм); λ/4 и λ/2 – четвертьволновая и полуволновая пластинки на 650 нм; одно из устройств ввода излучения в одномодовое волокно помещено на транслятор, смещение которого обозначено x; СД – волоконный светоделитьель; Д1, Д2 – детекторы одиночных фотонов (SPCM-AQRH-13, Excelitas Technologies, Канада; временное разрешение регистрации одиночных фотонов (джиттер) ~ 350 пс; квантовая эффективность ~ 70% при λ = 650 нм; мертове время – 22 нс); счетчик совпадений (Qubitekk CC1, США), подсчитывающий совпадения сигналов от детекторов (временное окно – 3 нс) и одиночные срабатывания

Куц Д.А., Ушаков В.Л., Подошведов М.С., Столяров Ю.Н., Подошведов С.А.

Оптимизация измерения времени задержки в интерферометре Хонга–Оу–Манделя…

Фильтр Ф 2 отсекал излучение накачки после кристалла. Далее сигнальная и холостая моды разделялись на поляризационном светоделителе и направлялись в устройства ввода в одномодовое волокно (4 мкм, NA = 0,12). Одно из устройств ввода в волокно располагалось на моторизированной подвижке, которая использовалась для изменения оптического пути одного из каналов интерферометра. Сигналы с лавинных однофотонных детекторов передавались на счетчик совпадения, размер временного окна равен 3 нс. Далее данные со счетчика передавались на компьютер. Число совпадений N 2 ^exp , зарегистрированное в эксперименте, в зависимости от положения подвижки показано на рис. 2. Экспозиция для каждого положения подвижки составляла 40 с.

По полученной экспериментально зависимости N 2 ^exp ( x ) была построена модельная кривая N 2 ^fit ( x ). Для этого по экспериментальным данным с помощью метода наименьших квадратов были определены коэффициенты C 1 , С 2 и С 3 для модельной кривой N 2 ^fit ( x ):

Nf (x ) = С1

(

1 - С 2 exp

I I

_ 2 /       \2 A A

С 3 ⁽ x - ^x 0 )

>7

.

Сравнивая последнее выражение с получаемым из (2) выражением для P 2 ( τ ):

P2 (t) = 1 (1 -V)2

f

^{1 -} a exp

I к

(MT

можно определить величины α и Δ ω ( α = С = 0,985; Δ ω = с*С 3 = 12,45 ТГц). Величина вероятности потери фотона в схеме интерферометра v также была определена из описанной выше модели. Для этого были определены экспериментальные значения числа одиночных срабатываний N 1 (сумма одиночных срабатываний обоих детекторов) и числа совпадений N 2 вдали от «провала ХОМ», в этом случае из выражения (2) можно получить [8]:

v = ( N i — N 2 ) / ( N 1 + 3 N 2 ) , (7)

для рассматриваемой оптической схемы получаем: ν = 0,849 ( N 1 = 4 009 272, N 2 = 170 367).

После определения величин α, Δω и ν, используя выражение (4) для классической информация Фишера FCF, были определены положения точек A и C (см. рис. 2, а), отвечающих соответственно минимальной абсолютной и относительной погрешности для модельной системы (ин- дексы L и R обозначают положение на левой и правой стороне «провала»). Точка B – это точка

Рис. 2. а) Зависимость числа совпадений N 2 ^exp от положения подвижки, N 2 ^fit – интерполяция экспериментальных данных; т. A соответствует максимуму информации Фишера, т. B – точка перегиба функции N 2 ^fit , т. C – минимум относительной погрешности, точки D L и D R соответствуют минимальному отклонению числа совпадений N 2 ^exp от модели ( N 2 ^fit ); б) относительное отклонение числа совпадений от модельной кривой в зависимости от положения подвижки, на которой установлено устройство ввода излучения в волокно

Рис. 3. Зависимость оценки смещения подвижки от величины смещения подвижки

На рис. 2, б приведено относительное отклонение модельной функции N 2 ^fit ( x ) от экспериментально полученных данных. Можно видеть, что относительное отклонение модели вдали от положения минимума числа совпадений не превышает 3 %. В точках же максимума информации Фишера, которые расположены вблизи минимума функции числа совпадений, можно наблюдать высокое относительное отклонение модельной функции кривой совпадений от экспериментальной (см. рис. 2, б ). На рис. 3 приведено сравнение оценки смещения, полученной в данном эксперименте с помощью описанной в [8] методики, с известным смещением механической подвижки, на которой было установлено устройство ввода излучения в волокно: отклонение оценки от величины смещения в интервале 15–50 мкм не превышает 3 мкм, а сам график на этом интервале имеет близкий к единице угловой коэффициент. Таким образом, оптимальным положением для выбора рабочей точки становится диапазон между точками D L (отвечает минимуму отклонения модельной зависимости числа совпадений от экспериментальной) и C L (минимум относительной погрешности). Для точки D L величина границы Крамера–Рао согласно модели определится выражением

δ x CCF = 532,57 (мкм) / N ^1/2,                                 (8)

где N – число измерений.

Выводы

На примере экспериментальных данных, полученных на оптической схеме ХОМ-интерферометра с коллинеарным синхронизмом второго типа, рассмотрена проблема выбора положения рабочей точки датчика, обеспечивающей минимальную относительную погрешность оценки времени задержки (смещения). Показана необходимость учета отклонения модельной функции числа совпадений от экспериментально наблюдаемой.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-22-20063,