Оптимизация параметров комбинации обобщенных линз для формирования теневых ловушек с высоким контрастом световых барьеров

DOI https://di.or10.18469/1810-3189.2026.29.3.35-45

В последние десятилетия в фотонике и лазерной физике наблюдается устойчивая тенденция к освоению методов высокоточного контроля пространственной конфигурации световых пучков [1–6]. Среди множества исследуемых типов структурированного света особое место занимают так называемые световые «оптические бутылки» [7–9] (области низкой интенсивности, окруженные областями более высокой интенсивности, которые представляют собой световые барьеры). Формирование таких структур, представляющих собой трехмерные «ловушки» для частиц или атомов, особенно актуально в задачах манипуляции деликатными биологическими образцами или объектами, чувствительными к нагреву. Известны работы, рассматривающие формирование теневых ловушек на основе пучков Эйри [10; 11], бездифракционных пучков Бесселя [12; 13], много-

кольцевых и многоконтурных пучков [14], пучков с винтовой фазовой сингулярностью [15; 16] и др.

Существующие методы генерации таких барьеров с одним пучком часто сопряжены с ограничениями по энергоэффективности или сложностью управления геометрическими параметрами (размером, формой и «глубиной» темной области) [17– 19]. Известны способы генерации очень компактных световых и теневых ловушек [20–22], представляющих собой световой шар или полую сферу радиусом менее 0 , 5λ с практически равномерным распределением интенсивности во всех направлениях. Однако сформировать такие ловушки можно только в условиях острой фокусировки, причем с использованием двух встречных пучков, требующих точной юстировки.

В данной работе исследуются свойства распространения пучков на основе обобщенных элементов, включающих аксиконы, параболические

^^ш © Дюкарева О.А., Устинов А.В., 2026

линзы и их гибридные модификации, для формирования теневых ловушек с высоким контрастом световых барьеров. Обобщенные линзы занимают важное место в современной фотонике, поскольку сочетают уникальные свойства формирования световых полей с относительной простотой технологической реализации на основе дифракционной оптики [23–28]. Рассматриваются возможности оптимизации параметров комбинации обобщенных линз в параксиальном и непараксиальном приближениях.

1. Теоретический анализ

Рассмотрим пучки, формируемые дифракционными оптическими элементами (ДОЭ) со следующей комплексной функцией пропускания:

т ( r ) = exp - i ( k a₀ r ) ‘ q

, r <  R ,

где k = 2п / X - волновое число для лазерного излучения с длиной волны X ; а₀ и q - положительные действительные безразмерные величины. Параметр q определяет тип ДОЭ, в частности, при q = 1 выражение (1) соответствует линейному аксикону, при q = 2 – параболической линзе.

Поскольку в комплексной функции пропускания параболической линзы фокус удобнее задавать явно, то выражение (1) с q = 2 представляется в виде

l ( r ) = exp

ikr2 "I

Из    формулы    (3)    можно    заметить, что наиболее контрастный барьер будет возникать при I →0 (K = 1), однако очевидно, что это условие не является достаточным, поскольку не учитывает непосредственную энергетическую эффективность барьера.

Другим важным параметром оптимизации является объем удержания, то есть геометрические размеры зоны с пониженной интенсивностью, определяющие размер захватываемой частицы. Очевидно, объем удержания должен быть сопоставим с размером рассматриваемой частицы, но при этом барьеры ловушки достаточно непроницаемы.

С классической точки зрения частица, находящаяся внутри энергетического барьера, имеет меньшую энергию и «заперта» в нем. Для того, чтобы частица оказалась по другую сторону барьера, необходимо сообщить ей энергию, равную или большую разности высоты барьера и ее собственной энергии. Однако под проницаемостью можно понимать зависимость энергии частицы не только от высоты, но и от ширины барьера, то есть совокупную энергию, необходимую на преодоление барьера некоторой толщины.

Тогда непроницаемость светового барьера как параметр оптимизации теневой ловушки обеспечивает «равномерность» ловушки во всех направлениях от центра и может быть представлена как

X

где f – фокусное расстояние линзы.

Под оптической бутылкой (оптической теневой ловушкой) понимается область пространства

S min

^ 1, max

с локальным минимумом интенсивности света, окруженная областями высокой интенсивности. Основные параметры, определяющие ее эффективность, включают размер области низкой интенсивности (объем «бутылки»), глубину минимума интенсивности (контраст), градиент интенсивности вокруг минимума.

Контраст, определяющий различие/градиент между высокой интенсивностью стенок и низкой интенсивностью внутри, в общем случае может быть определен как

где S – площадь по полуспаду пика интенсивности на оптической оси.

Вместо оценки только максимальной энергии I , которую частица должна превзойти, чтобы пересечь барьер, возможно учитывать и его «толщину», чтобы оценить равномерность оптической бутылки. Вычисление площади по полуспаду связано с известным понятием длины по полуспаду (FWHM – full width at half maximum). Таким образом, рассматривается не весь участок, где I > 0, а промежуток, где интенсивность принимает «бо-

лее значимые» значения.

I -I • max min max min

Элемент радиусом R , имеющий функцию пропускания cos ( a r ) (может рассматриваться как сумма двух аксиконов exp ( i a r ) + exp ( - i a r ) ), допол-

где I   – осевой минимум интенсивности пуч ка в окрестности фокуса; I – осевой максимум интенсивности.

ненный линзой с фокусным расстоянием f :

g ( ^r ) = exp

X

ikr ²

2 f ,

cos ( a r )

в фокальной плоскости формирует электромагнитное поле, описываемое преобразованием Фурье от cos ( a r ) :

F f ( р ) = k [ cos ( a ^r ) J 0 ^f kr T "I ^{rdr .}

J 0            \ J J

Чтобы оптическая бутылка, формируемая тандемом элементов (5), имела высокий контраст, нужно обеспечить в центральной точке р = 0 ну- левую интенсивность.

В статьях [29; 30] для интеграла (6) при р = 0 было получено явное аналитическое выражение:

ik ^R

Ff (р = 0) = —[cos(ar)rdr = f0

a k { R sin ( a R ) -[1 - cos ( a R ) ] / a } ,

где a = k aQ имеет размерность мм 1; aQ - безраз- мерная величина.

Из выражения (7) видно, что амплитуда поля, а значит, и интенсивность будет равна нулю при двойном условии:

F f ( 0 ) = 0 ^ sin ( a R ) = 0 о cos ( a R ) = 1 .            (8)

Из условий (8) следует ограничение на соотношение радиуса и параметра аксикона, обеспечи- вающее нулевую интенсивность в центре оптической бутылки:

a R = 2п n , n - целое число

Кроме того, есть более слабое условие (с учетом малости второго слагаемого), которое обеспечивает пусть ненулевое, но малое значение интенсивности в центре бутылки:

F f ( 0 ) = маёо ^ sin ( a R ) = 0 ^a R = п n .         (10)

Очевидно, для минимизации размера оптической ловушки a должно быть как можно меньше.

С учетом выражения (10) при R = 3 минимальное a = п / 3 .

Для выполнения (9) минимальное a = 2п / 3 (контраст должен быть лучше, но размер бутылки больше).

Таким образом, получены аналитические выражения (9) и (10) на соотношение радиуса и параметра аксикона, обеспечивающие минимум на дне бутылки.

Отметим, что фокусное расстояние линзы не включено в полученные условия и может быть использовано как дополнительный параметр.

Известно, что радиус светового кольца для гладкого аксикона в фокальной плоскости определяется следующим образом [31]:

р₀ =a f / k . (11)

При использовании бинарного аксикона вместо одного яркого кольца будет формироваться раздвоенное кольцо, средний радиус которого определяется той же формулой (11).

Это кольцо формирует боковые световые стенки ловушки. Из выражения (11) очевидно, что ра- диус светового кольца уменьшается пропорционально уменьшению параметра аксикона и фокуса. Отметим, что отсутствует зависимость от радиуса элемента.

В работах [29; 30] также было получено выражение для значения поля на кольце р = р0 (раздвоенном для бинарного аксикона) в фокальной плоскости, которое формирует боковые световые стенки ловушки:

ik R ^{3 / 2}

^F f ^(р = ^р 0 И - -^.                       ⁽¹²⁾

f 3Vna

Из выражения (12) следует, что величина боковых световых барьеров будет увеличиваться с уменьшением a и увеличением радиуса R , а также уменьшением фокуса f . Причем увеличение радиуса R более существенно, так как имеется нелинейная зависимость (степень больше единицы).

Увеличение радиуса R и уменьшение фокуса f оз- начает переход к существенно непараксиальным параметрам оптических элементов.

Для анализа продольного сдвига осевых стенок ловушки можно использовать результаты, полученные в работе [32]. В ней было показано, что дополнение линзы аксиконом смещает положение фокуса на следующую величину:

z ax ~        ,                                               (13)

f   1 + 5f где 5 - некоторая малая величина.

С учетом малости 5 перепишем выражение (13) в более удобном виде zf “ f (1 -5^) “ f (1 -5f).                         (14)

• ^{1    -(5} f )

Полагая 5 = a / (kR), получаем смещение вдоль оси

A z ax «± — f ² .

f kRJ

Отметим, что, в отличие от радиуса светового кольца в фокальной плоскости (11), продольное смещение (15) имеет квадратичную зависимость

Рис. 1. Амплитуда ( а ), фаза ( б ), распределение интенсивности на оптической оси ( в ) и распределение амплитуды в продольной плоскости ( г ) ( R = 3 мм, f = 1000 мм, а = 2п / 3)

Fig. 1. Amplitude ( а ), phase ( б ), on-axis intensity distribution ( в ), and amplitude distribution in the longitudinal plane ( г ) ( R = 3 mm, f = 1000 mm, а = 2п / 3)

в                                             г

от фокуса f и обратную от радиуса оптического элемента R .

Чтобы достичь одинакового расстояния между поперечными и продольными стенками ловушки, нужно выполнить следующее соотношение:

O f = А f ² ^ R = f .                        (16)

k kR

Соотношение (16) также означает переход к существенно непараксиальным параметрам оптических элементов.

• 2 . Численное моделирование

  • 2.1.    Расчет в условиях параксиальной модели

    Параметры расчета при моделировании параксиального распространения: длина волны освещающего пучка X = 0 , 532 мкм. R = 3 мм, f = 1000 мм.

Параболическая линза (2) формирует один выраженный пик (фокус) интенсивности на оптической оси в плоскости z = f . Комбинация бинарного ак-сикона с параболической линзой (5) трансформирует поведение пучка следующим образом: вместо схождения лучей в одну точку фокуса на оси формируются два световых отрезка, один из которых образован собирающей компонентой бинарного аксикона, второй – рассеивающей.

Рассмотрим случаи дифракции светового пучка на элементе (5) с различными параметрами акси-кона а . Анализ распределения интенсивности в параксиальной области выполняется вычислением преобразования Френеля методами численного интегрирования с использованием квадратурных формул.

Для всех а, удовлетворяющих «сильному» условию (9) формирования нуля в фокальной плоскости, контраст (3) тождественно равен 1. С ростом а, когда увеличивается размер бутылки, снижается не только значение осевого максимума интенсивности I , но и значение поперечного максимума в фокальной плоскости. Это оказывает скорее негативное воздействие на световой барьер, поскольку протяженность ловушки, удовлетворяющей условию высокого контраста (8), с минимальным параметром а = 2п / 3 примерно равна 196,2 мм, что значительно превышает размер любой потенциальной частицы (рис. 1).

Смещенные максимумы, формируемые бинарным аксиконом, не являются симметричными, поскольку один (тот, что ближе ко входной плоскости) формируется собирающим аксиконом (поэтому оптическая сила линзы увеличивается), второй – рассеивающим аксиконом. Осевой световой барьер, находящийся ближе к входной плоскости, имеет большую интенсивность, но меньшую протяженность. С точки зрения создания равномерного светового барьера с одинаковым значением максимальной интенсивности необходимо нивелировать разницу между пиками. Вариация параметров линзы или бинарного аксикона в этом случае не приведет к искомому результату, однако возможно перераспределение интенсивности в пиках за счет неравенства «весов» при соответствующих компонентах. Для этого бинарный аксикон cos ( а r ) представляется как два отдельных акси-кона, причем вес рассеивающего аксикона должен быть больше:

g ⁽ r )

— exp s

' - ikr ² ' . 2 f ,

- i а r ) + c ₂ exp ( i а r

N s ±'

n =1

Результаты моделирования влияния совокупности аксиконов с а = 2п и неравными весами ( c = 1 и c = 1,8) представлены на рис. 2, ( а – в ). Максимальная интенсивность в первом максимуме равна 389,4 усл. ед., во втором – 388,6 усл. ед., то есть значения практически идентичны. В то же время, согласно оценке (4), действие оптического элемента (5) обеспечивает достаточную непроницаемость, что показано на рис. 2, ( г – e ). Голубым

а                    б                                 в

г                       д                                     е

Рис. 2. Амплитуда ( а ), фаза ( б ) и распределение интенсивности на оптической оси для оптического элемента (17) ( в ) с параметрами a = 2п, ( а - в ) q = 1 и с ₂ = 1,8; ( г - е ) с^ = 1 и с ₂ = 1

Fig. 2. Amplitude ( а ), phase ( б , and on-axis intensity distribution for the optical element (17) ( в ) with parameters a = 2п, ( а - в ) c^ = 1 and c = 1.8; ( г – е ) c = 1 and c = 1

цветом представлена визуальная оценка площадей. Площадь области под первым максимумом равна 46 635 усл. ед., под вторым – 48 194 усл. ед. Отношение площадей равно 0,967. Площади сопоставимы, и, согласно критерию (4), такая бутылка близка к равномерной в продольном направлении. При этом в обоих случаях в поперечной плоскости фокуса теневая область ограничена двойным кольцом, максимальная интенсивность которого не превосходит 40 усл. ед. Качественное сокращение     разрыва    между    максимальной поперечной и продольной интенсивностью возможно только при значительном сокращении размера теневой области.

Для других значений параметра а , удовлетворяющих «слабому» условию формирования низкой интенсивности в фокальной плоскости, контраст, который вычисляется по формуле (3), является стабильно высоким, а также увеличивается при возрастании значения а . Для a = п , а = 5п / 3 ,    а = 7п / 3 контраст K равен 0,987,

0,998 и 0,999 соответственно. Учитывая, что с увеличением объема ловушки значение максимума интенсивности I падает, высокий контраст связан с уменьшением значения в центре теневой области I _min.

Здесь необходимо отметить, что минимальный параметр a = п / 3 для R = 3, удовлетворяющий условию (10), в рамках численного моделирования имеет контрастность существенно меньше ожидаемой. Согласно расчетам, I    = 462,6 усл. ед.;

I _max = 794,5 усл. ед., K = 0,264.

Полученное распределение не позволяет говорить о формировании качественного барьера ловушки меньшего объема, поэтому для возможности значительного уменьшения размера ловушки стоит рассмотреть также третье условие, основанное на аналитическом выражении (7):

R sin ( a R ) = [1 - cos ( a R ) ] / a .                       (18)

Так как a ^ 0 , а sin(^) и cos(^) являются периодическими функциями, решением уравнения (18) будет совокупность значений a , причем наиболее интересным с точки зрения уменьшения объема теневой области является минимальное положительное a . Очевидно, что серия a R = 2п n , n е Z , является решением (18), однако неполным. Другая серия решений, не описывающаяся элементарными функциями и сопряженная с пересечениями графиков не на оси абсцисс, может быть для удобства найдена численно. Минимальное положительное значение a R ® 2 , 33 ^a® 0 , 776 . Результаты моделирования представлены на рис. 3.

Проведем оценку согласно обозначенным оптимизационным критериям. Первый осевой максимум интенсивности в положении z = 925,5 мм равен 438,8 усл. ед. Второй осевой максимум в положении z = 1083,3 мм равен 320,5 усл. ед. Расстояние между максимумами (следовательно, и объем удержания) сокращено с 196,2 мм до 157,8 мм по сравнению с a = 2п / 3 (рис. 1) при фиксированном фокусном расстоянии и радиусе оптического элемента. Из осевых графиков видно, что интенсивность в пиках сократилась почти вдвое, однако в продольной плоскости становится хорошо различима поперечная стенка те-

Рис. 3. Амплитуда ( а ), фаза ( б ), распределение интенсивности на оптической оси ( в ) и распределение амплитуды в продольной плоскости ( г ) ( R = 3 мм, f = 1000 мм, а = 0,7766)

Fig. 3. Amplitude ( а ), phase ( б ), on-axis intensity distribution ( в ), and amplitude distribution in the longitudinal plane ( г ) ( R = 3 mm, f = 1000 mm, а = 0.7766)

а                                б                               в

Рис. 4. ( а ) Распределение интенсивности на оптической оси и ( б ) в поперечной плоскости фокуса, ( в ) распределение амплитуды в продольной плоскости ( R = 3 мм, f = 100 мм, а = 0,7766)

Fig. 4. ( а ) On-axis and ( б ) focal plane intensity distributions, ( в ) amplitude distribution in the longitudinal plane ( R = 3 mm, f = 100 mm, а = 0.7766)

невой области. Для улучшения полученных результатов справедливы рассуждения, описанные в теоретическом разделе: для большего сокращения объема теневой области и увеличения интенсивности в поперечных стенках при фиксированном а возможно уменьшение фокусного расстояния (рис. 4).

Подводя итог формирования теневых ловушек в параксиальной области, можно отметить, что существует ряд ограничений, препятствующих созданию более эффективных и оптимизированных вариантов. Показано, что создание жестких ловушек (с интенсивностью в стенках, сопоставимой с осевыми пиками) является затруднительным. Кроме того, существует минимальный предел размера ловушки, который значительно превышает размер одной или нескольких микрочастиц, использующихся в задачах захвата и перемещения.

Однако, как следует из сравнения результатов, приведенных на рис. 3 и 4, уменьшение фокуса (что соответствует увеличению числовой апертуры) в 10 раз привело к сокращению длины ловушки в 100 раз. Этот факт хорошо согласуется с теоретическим анализом, а именно, с выражением (15). При этом поперечный размер ловушки уменьшился только в 10 раз в полном соответствии с формулой (11). Таким образом, увеличение числовой апертуры показывает путь для дальнейшей оптимизации характеристик «оптических бутылок». Но дальнейшее увеличение числовой апертуры требует перехода к непараксиальной модели расчета.

• 2.2.    Расчет в условиях непараксиальной модели

Численный расчет распространения света в свободном пространстве в непараксиальной области выполняется с помощью скалярного интегрального преобразования Рэлея – Зоммерфельда. Параметры расчета при моделировании непараксиального распространения: длина волны освещающего пучка X = 1 мкм, с учетом условия (16) радиус и фокус были выбраны равными R = f = 10X .

В непараксиальной области наилучшее качество фокусировки обеспечивает не параболическая, а «идеальная» линза. Поэтому комплексная функция пропускания рассматриваемого оптического элемента представляется в виде [33]: g ( r ) = exp ^- ik^r ² + f ² j cos ( а r ) .                    (19)

Возможность варьирования числовой апертуры линзы оказывает существенное влияние на осевое распределение интенсивности. Рассмотрим случаи дифракции светового пучка на элементе (19) при R = f = 10 мкм с различными параметрами ак-сикона а (рис. 5).

Отметим, что условия (9), (10) и (18) были получены в параксиальном приближении, поэтому могут не выполняться в рассматриваемой ситуации.

В первом случае а = 2п / 10 , протяженность области захвата на оси составляет 6,21 мкм. I _min = 3,90 усл. ед.; I _max = 136,25 усл. ед., K = 0,944. Протяженность захвата в поперечной плоскости – 3,02 мкм. Во втором случае а = 3п / 10 , протяженность области захвата на оси составляет 9,1 мкм.

к

Рис. 5. ( а ) Амплитуда, ( б ) фаза, ( в ) распределение интенсивности на оптической оси и ( г ) в плоскости фокуса, ( д ) распределение амплитуды в продольной плоскости: R = f = 10 мкм, а= 2п /10 ( а - д ), а = 3п /10 ( е - к )

Fig. 5. ( а ) Amplitude, ( б ) phase, ( в ) on-axis and ( г ) focal plane intensity distributions, and ( д ) amplitude distribution in the longitudinal plane: R = f = 10 pm, а= 2п /10 ( а - д ), а = 3п /10 ( е - к )

I _min = 0,01 усл. ед.; I _max = 144,70 усл. ед., K = 0,999. Протяженность захвата в поперечной плоскости – 4,24 мкм.

По результатам расчетов можно отметить, что отношение продольного и поперечного размеров формируемых теневых областей значительно отличается от параксиального случая – с текущими параметрами длина области захвата всего в два раза больше ее ширины. При этом настолько малый размер ловушки является гораздо более предпочтительным в практических приложениях. Отметим, однако, что высота поперечного барьера значительно меньше осевого. Решение этой проблемы будет рассматриваться в дальнейших исследованиях.

Заключение

В работе аналитически и численно рассмотрено влияние входных параметров обобщенных линз на формирование световых полей с заданным трехмерным распределением интенсивности в виде теневой ловушки с высоким контрастом световых барьеров. Показаны возможности оптимизации параметров комбинации обобщенных линз в параксиальном и непараксиальном приближениях.

Для параксиальных систем установлено, что для обеспечения нулевой интенсивности в фокусе параметр аксикона и радиус оптического элемента должны соответствовать условию a R = 2п n, n – целое число. Для более слабого барьера, когда интенсивность в центре не равна нулю, но имеет малое значение, aR = пn. Также в параксиальном случае определено значение a®0,7766, не кратное п, которое является наиболее эффективным с точки зрения предложенных критериев. Несмотря на достаточно обширные возможности контроля распределения интенсивности, создание теневых областей с равномерными «жесткими» барьерами является затруднительным при рассматриваемом подходе с одним пучком.

Теоретически и численно показано, что в параксиальном случае числовая апертура линзы оказывает существенное влияние на размеры теневой области. А именно, имеется квадратичная зависимость длины и линейная зависимость ширины ловушки от фокуса, что приводит к кратному изменению пропорций размеров ловушки. При существенном увеличении числовой апертуры (вплоть до f = R ) и переходе к непараксиальной модели было получено соотношение длины ловушки к ее ширине, примерно равное двум, что является предпочтительным в практических приложениях.

Результаты численного моделирования согласуются с аналитическими расчетами, учитывая приближенность оценок. Полученные результаты могут быть использованы в областях микроманипуляции и микроскопии высокого разрешения.

Финансирование

Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект № 25-12-20007) в части численного моделирования и в рамках выполнения государственного задания НИЦ «Курчатовский институт» в теоретической части.

Funding

The study was carried out with the support of the Russian Science Foundation (project No. 25-12-

20007) in terms of numerical modeling and as part of the implementation of a state assignment to the National Research Center "Kurchatov Institute" in the theoretical part.