Орторешетки конгруэнции унаров

В [1] дано описание унаров - алгебр с одной унарной операцией, решетка конгруэнций которых является решеткой с дополнениями или булевой алгеброй. В работах [2;3] приводятся описания унаров, решетка конгруэнций которых является решеткой с псевдодополнениями и копсевдодополнениями. Ниже дано описание унаров, решетка конгруэнций которых - орторешетка.

Решетка (L, л , v ,1, О, I) с нулем 0 и единицей 1, а также унарной операцией J-называется орторешеткой, если для любых a,beL выполняются условия а л а1 = 0; a v а т = 1; а1 1 = а; (а лЬ)1= a1 v b1; (a-vb)1— а^лЬ1.

Элемент а¹ называется ортодополнением элемента а.

Очевидно, что любая орторешетка является решеткой с дополнениями и на ней истинно квазитождество

(VY у)(х<у -> yi

Через ConU будем обозначать решетку конгруэнций унара ( U,f). Результат л-кратного применения операции f к элементу х обозначается через f"(x), при этом предполагается, что f° (х)=х. Унар, порожденный элементом а с определяющим соотношением f ^w (a)=f¹ (д) (5>0, /X)), обозначается через С,'. Унар С” называется циклом длины t. Элемент унара называется циклическим, если подунар, порожденный им, является циклом. Множество всех циклических элементов унара ( U,f) обозначим через C(U).

Объединение непересекающихся унаров { A,f) и < B,f) обозначается через А+В, при этом А и В называются компонентами унара А+В. Если унар не представляется в таком виде, то он называется связанным.

Наименьшая конгруэнция, «склеивающая» элементы непустого множества X данного унара, обозначается через ^(Х).

Лемма 1. Если ConU - решетка с дополнениями и унар ( U,f) имеет более одной связной компоненты с неодноэлементным циклом, то ConU не является орторешеткой.

Доказательство. Предположим, что ConU является орторешеткой. По теореме 1 [1, с. 28] все циклы унара ( U,f) имеют одну и ту же длину п (л свободно от квадратов) и f(x)eC(U) для любого xeU. Коатомы решетки разобьем на два непересекающихся класса.

• / класс - конгруэнции, каждый смежный класс которых содержит элементы каждого цикла унара ( U,f).

• // класс - конгруэнции вида ^(Х) v 9 ХЕ где U=X+Y.

Из квазитождества (*) следует, что ортодополнениями коатомов решетки ConU являются ее атомы, и только они.

Пусть унар ( U,f) содержит элементы а^Ь такие, что f(«)=f(Z>). Рассмотрим конгруэнцию а = 9(а,ЬЕ Она является атомом решетки ConU и, очевидно, а = Р -конгруэнция класса I.

С другой стороны, а < у для любой конгруэнции у класса I. Следовательно, P = avP = ava^L=\. Равенство р=\ противоречит тому, что р - коатом.

Таким образом, все связанные компоненты унара ( U,f) являются неодноэлементными циклами длины л, где л свободно от квадратов. Возможны такие случаи:

• 1)    л - составное число. Рассмотрим атом 5 = 9(а,Ь) решетки ConU, где а^Ь -элементы, принадлежащие одному циклу унара ( U,f). Тогда 5 ¹- конгруэнция класса I. В решетке ConU найдется конгруэнция Ц из класса II такая, что 5 < Ц . Имеем равенства l=0^J =( с>¹ л М )^{± =} 5 ^{1 1}v 9 ^L = 5 v И С Заметим, что конгруэн-

• ИЗВЕСТИЯ ВГПУ

ция // ¹ имеет вид 9(х,у), где х,у - элементы различных компонент унара ( U,f). Так как п - составное число, то конгруэнция 5 не «склеивает» все элементы цикла, порожденного элементом а. Следовательно, равенство 5 v Р=\ невозможно.

• 2)    п - простое число. Тогда конгруэнция б , введенная выше, «склеивает» все элементы цикла, порожденного элементом а. Ортодополнением 5 является конгруэнция вида 6* (X), где X - минимальное множество порождающих унара ( U,f). Следовательно, если зафиксировать элемент и унара ( U,f), то каждому минимальному порождающему множеству (содержащему элемент и) соответствует атом решетки ConU -ортодополнение конгруэнции, определенной этим множеством. Непосредственной проверкой устанавливается, что это соответствие не может быть взаимно однозначным.

Таким образом, решетка ConU не является орторешеткой.

Лемма 2. Если ConU - решетка с дополнениями и связанный унар U,f имеет более одного нециклического элемента, то ConU не является орторешеткой.

Доказательство. Предположим, что ConU является орторешеткой. Пусть а,b - различные нециклические элементы унара ( U,f). Возможны такие случаи.

• 1)    f(a)=f(6). Рассмотрим конгруэнцию а = 9 (а,Ь\ Ортодополнением а является одна из двух конгруэнций: Р , - «склеивающая» все элементы унара, кроме элемента а; р ,- «склеивающая» все элементы унара, кроме элемента Ь. Среди этих же конгруэнций находятся ортодополнения конгруэнций а ₁ = 9(а,с~) и a _г = 9Ц),с\ где с - циклический элемент унара такой, что f(c)=f(a). Получили противоречие.

• 2)    f(n)^f(Z?). Рассмотрим конгруэнции а = 9^а,Ь\ р = 9 (U\{a,6}), y = av р, 5 = #(U\{a}), а = y(U\{6}), а =(а,с), =(Ь,сГ), где c,d - циклические элементы унара такие, что f(c)=f(n) и f(,cf)=f(.b'). Конгруэнции у, 3, а являются коатомами в решетке ConU, ортодополнения которых лежат в множестве {а, ,аД. Получили противоречие. Следовательно, ConU не является орторешеткой.

Лемма 3. Если ConU - решетка с дополнениями и унар U,f имеет более двух компонент, множества циклических элементов которых одноэлементны, то ConU не является орторешеткой.

Доказательство. Пусть U=A+B+D, где С(А) и С(В) - одноэлементные циклы. Предположим, что ConU является орторешеткой. По теореме 1 [1, с. 28] циклическая часть любой связанной компоненты подунара D,f одноэлементная. Разобьем множество всех коатомов решетки ConU (так же, как в лемме 1) на два непересекающихся класса. Если любой элемент данного унара циклический, то класс I будет пустым. В противном случае, любая конгруэнция из класса I «склеивает» все элементы унара U,f, кроме одного нециклического элемента.

Если класс I - пустой, то решетка ConU изоморфна решетке разбиений множества, содержащего более двух элементов, и поэтому не является орторешеткой.

Если класс I - непустой, то между атомами этой решетки и ее коатомами не может быть установлено взаимно однозначное соответствие, поскольку каждый коатом класса I имеет единственное дополнение во множестве атомов. Взаимно однозначное соответствие между остальными атомами и коатомами класса II не может быть установлено по причинам, изложенным в предыдущем абзаце. Следовательно, ConU не является орторешеткой.

Теорема. Решетка ConU конгруэнций унара ( U,f) является орторешеткой тогда и только тогда, когда ( U,f) - подунар одного из унаров: С® + С ]; С*₇, где п свободно от квадратов.

Необходимость. Если унар( U,f) связанный, то по теореме 1 [1, с. 28] он либо является подунаром унара С [, либо его цикл имеет длину п (п свободно от квадратов) и f(x)eC(U) для любого xeU. Из леммы 2 следует, что он имеет вид С;', (sп свободно от квадратов. Если унар не является связанным, то (по леммам 2 и 3) имеет только две компоненты, циклы которых одноэлементны. Поскольку решетки конгруэнций унаров такого вида устроены достаточно просто, то прямая проверка показывает, что эти унары являются только подунарами унара С°+ С{.

МАТЕМАТИКА

Достаточность. Из теоремы 2 [1, с. 39] и того факта, что любая булева решетка является орторешеткой, следует, что решетки конгруэнций подунаров унаров С° + С J; С„(и свободно от квадратов) являются орторешетками.

Следствие 1. Решетка ConU конгруэнций унара ( U,f) является орторешеткой тогда и только тогда, когда она булева.

Орторешетка ( L, л , v ,¹, 0, 1 ) называется ортомодулярной решеткой, если для любых a,be L из условия а<Ь следует ^(а¹ лб) = Ь.

Следствие 2. Решетка ConU конгруэнций унара ( U,f) является ортомодулярной тогда и только тогда, когда ConU булева.

Следствие 3. Класс орторешеток, изоморфных решеткам конгруэнций унаров, совпадает с классом булевых решеток, изоморфных решеткам конгруэнций унаров.