Основные и сопряженные уравнения переноса и задачи оптимизации

значимых зон с таким условием, чтобы суммарное годовое их загрязнение от вредных промышленных выбросов не превышало допустимых санитарных норм, и чтобы общая экологическая нагрузка на весь регион за счет его загрязнения быта минимальной или в пределах глобальных санитарных нор мЩ .

Пусть промышленное предприятие выбрасывает на высоте "h вредный аэрозоль с интенсивностью О, которой затем переносится воздушными массами и диффундирует под влияние мелкомасштабной турбулентности. Предположим, что источник аэрозоля располагается в окрестности точки гД^^с,). Тогда он может быть описан функцией

/(^} = ^(^-'о):

и мы приходим к уравнению —+cfivuy+6g>= -^-v-^+ytAc + OJ (г -^)                (1)

Эс                                      "

с краевым условиями у =0 со — =а<р С-^=0 CZ

™     У :

пр»       - = 0,                         (2)

при       - = А-

Решение задачи будем искать на множестве достаточно гладких периодических футпщней с периодом Т по переменной г

^(лЛ='р(лО).

Прн решении задачи о переносе и диффузии загрязняющих субстанций компоненты вектора скорости вычисляются из решения задачи пограничного слоя в заданном регионе. Компоненты скорости ветра зависят от внешних параметров: стратификации температуры и от числа Россби, которые, в свою очередь, требуют решения уравнения теплового баланса земной поверхности. Чтобы избежать решения сложных дифференциальных уравнений, воспользуемся климатическими данными для рассматриваемого региона. Будем считать, что u. у. лх-const на каждом временном интервале ГО.

у= е

при v=const приходим от уравнения (1) к уравнению с<р ci

NT

52р     . _   "

= V—y+/iA^ + e

g^O -^)

С краевым условиями р =0

.—= д^

МД

1фН

7=0.

^ = 0

тр»

где

Задачи (4)-(5) решаетсявыше рассмотренными алгоритмами, и с помощью (3) от функции ^(ху^м) переходим к р(х,У*-^) решению (1X2)-

Задача (4)-(5) решается разностным методом, сеточная область состоит из 21x21x5 число точек х, у, z. Источник Q находится в точке (х=2Ьз, х=1 Ihi, У=11112,111=112=Ьз=200 м).

Загрязняющее средство Q выбрасывалось в течение времени

Полученное решеюаеинтегрнруч в пределах 0<^<Г для рассматриваемой области получим количество аэрозоля

J = J JJJ

t \dxdyckdt

I] D представлены поля изолиний функции <р| х,у,2,/) в момент времени ti, tj, tj при следующих значениях компонент скорости ветра и=-5 1

v = -2 ;           ^[0^], w = 0,13'

u=-5 1

v = 2   •          'e(^L            (6)

w = 0;13'

u= 5

v = -2          M^ti-

»=олз|

В течение времени [0. til скорость ветра была направлена на севере-запад, в I ti. t-O на юго-запад, в 11т. til на северо-восток. Из рисунков следуют, что при распространении загрязняющего средства большую роль играют компоненты скорости ветра[3].

Зная решение задачи, можно вычислить функционал   J. = Г<#| PtpdD, который допускает самое различное физическое содержание в зависим ости от функции Р(х, у, z, t).

Сопряженная задача, соответствующая задаче, будет

-----cftvit

<р‘ = 0, на ^

^— = аф’    грн     -=0,(8)

^- = 0       при      - = ^т

^(г,Л = ^(^°)

Известно, что двойственный функционал имеет вид

<=s£'

Этот функционал параметрический зависит от местоположения гу eD промышленного объекта[4].

Для решения (7)-(8) введем новую переменную t_x=T-t, /₍ е[0,Г]

при этом задача (7)-(8) перейдет в задачу

^—<Й¥иф*+оф*           Ар + Р,(9)

Ф* = 0. на V

—— = а-ф     прис =0,

44_ = 0         при       - = А,

<р*(г,0) = 0 грн ^ =0

Задача (28X29) решается аналогично задаче. Приведена поля изолиний функции ф*(х, у, z,t) В момент времени ti(a), ti(b), t$(c) при значениях и, v, if рассмотренных в (б), где

|L G(0<х<10-7^.0<у сЮ /д.Ос s<2 Д.Ос/j < 5-Дг1}

[О, вне G

Задавая функцию Р, можно получить значение функционала, использующегося для решения различного характера оптимизационных задач, связанных с оптимальным размещением пр о мыш ленных предприятии До сих пор предполагали, что на границе области D плотность аэрозолей равна нулю. Во многих случаях это условие неоправданно, поскольку через границу £ аэрозоли одного региона могут транспортироваться в другой. Поэтому учет этого фактора описывается следующим уравнением

—-<я?у?/р+стр = —у—+ ^-Аф+д+О-J (г -г₀)                  (И)

dr                   dz dz             " "

с краевыми условиями

• 9    = J-. наX

— = a-p    при s = 0,        (12)

5s               "

— =0      при -=l^

6g s>

Задача (11)-(12) и соответствующая сопряженная задача легко решаются выше рассмотренными методами. Пусть на заданном регионе G с границей S в точках£.(1=1,2,..., п)расположено п промышленных объектов Ai, выбрасывающих Qi (i=l, 2,..., п) аэрозолей, состав которых для простоты будем считать одинаковым.

Дано уравнение диффузии субстанции от индустриальных объектов:

—-<йумр+стр = —i/—+/t-Ap+£ О ■ J (г -г₀ )        (13)

При условии

• 9    = А-, на У

• =а-р на      г = Ум ’       (14)

^=° ™ ==£» -

Коэффициент а характеризуют вероятность выпавшей на поверхность земли субстанции аэрозоля для того, чтобы попасть в атмосферу, а f^ - источники на У.

Рассмотрим функционал

JK = J^J Р

Приведены поля изолиний функции q>(x, у, z, t) в момент времени Г/, t;, h, где в точках Ai (х=5 -hi, у=5 -hi z=5 -Ьз), Аз (х=1 б-hi, у=1 6h;, х=2-Ьз) с мощностью Qi, Q; выбрасываются в атмосферу загрязняющие средства. Счета проводились при u=v=w=0 и при значениях u(t), v(t), w(t), задаваемых в виде (25), а приведены изолинии когда в момент времени г?, t?, tj, выбрасываются в атмосферу из трех источников, находящихся в точках Ai, А2, А2 (x=5-hi, у=5 h₂₁ z=5 Ь_э).

По заданному Р и ©(х. у. z, t) можно вычислить количество выпавшего аэрозоля на поверхность земли или в области G.

Задача состоит не только в определении выпавшего аэрозоля на поверхность земли или в области 5, а найти такую совокупность планируемых выбросов аэрозолей Qi, которую обеспечивала бы среднегодовые предельно допустимые дозы аэрозольного загрязнения

Л<С„ А'=1,2,..,™,                        (15)

при минимальных экономических затратах на технологическую реконструкцию предприятий, обеспечивающую установленный объем выпуска продукции при заданном уменьшении выбросов.

В данной задаче кроме условия.(______Х~~не обходим о ввести в рассмотрение минимизирующий функционал: в качестве такого примем /=±;(ё-й).

где 5 -исходная, а О-планируемая мощность выбросов, коэффициент £ определяет капитальные вложения в технологию, обеспечивающую выпуск того же объема продукции выбросов. Тогда функционал I представляет полные затраты, необходимые для улучшения технологии всех предприятий Ai при переходе от выбросов О к планируемым выбросам О .

В результате приходим к задаче о нахождении в (13)-(14) таких выбросов О , чтобы выполнялись условия

/-X£(£ -£)=min: O6)

Jk

Задачу (13), (14), (15), (16) можно свести к задаче линейного программирования. Эта задача поставлена н решена в работе.

При решении этой задачи возможны различные подходы, которых можно реализовать с помощью основных и сопряженных уравнений. Мы рассмотрим лишь решение основных и сопряженных уравнений, которое используется при решении оптимизационной задачи.

Решение задачи (13X14) можно свести к решению элементарных задач:

где

^^^Н^О'-0)

Задачи (17), (18) решаются выше рассмотренными методами.

Рассмотрим функционал

Л = pJ P ?cKi=YO.a^             (19)

где a^ =/^/ P' яМ^

^л = p J P ^M'^ /=L2,..^?i            £ = t,2,„-,m.

• q, = О, -О, > 0, R, = Vd^ - О + b_K - с_к

Оптимизационную задачу можно решить с помощью сопряженной задачи, соответствующей (13)-(14)

- ^— - alV н ф_к + сг^_г =--V ^— + // - Др_г + Д. (г), 6с                   6с 6 с

< = °т На X

^-«Фк   на    .-2.,              (20)

^=0     на    ==2„ ,

^■(^П=^(^)

Задачу (20) решаем разностным методом и, зная р', введем функционал л-ёй-4+»;                         (21)

b*K = ]'^Рл <=G I] fi

<Ъ ^^UM.

Уд’ -О +bl ^с,- К=LX....m

Итак, задача оптимизации выбросов при загрязнени промышленными объектами сводится к решению основных н сопряженных уравнений диффузии и задачи линейного программирования.

Литературы