Особенности обнаружения лоцирующих сигналов радиотехническими устройствами охранной сигнализации

, (1)

где θ — случайная величина, принимающая только два значения: при θ = 1 в выходном сигнале присутствуют сигнал u_c(t, X ) и помеха u_n(t) , при 0 = 0 в выходном сигнале присутствует только помеха u_n(t) ; T — время работы охранного устройства.

Лоцирующий сигнал uc(t, X) представляет собой детерминированную и известную функцию аргументов t и λ . Параметры λ = {λ1, λ2, ..., λk} представляют собой параметры, определяющие функционирование системы охраны, которые принято называть существенными параметрами. Для реализации функции охраны объектов рассматривают как параметры самого радиосигнала (амплитуда, частота и т.п.), так и параметры, представляющие объектнаруши-тель (размеры объекта, площадь отражающей поверхности, наличие «блестящих» точек и т.п.) и характер его движения в пределах зоны обнаружения (дальность до объекта, скорость, направление).

Решение задачи обнаружения отраженного от объекта-нарушителя сигнала на фоне помехи (1), а также оценка параметров этого сигнала, позволяют получить структурную схему приемника РУОС и рассмотреть его соответствие типовым схемам оптимальных приемников. Кроме того, может быть определен показатель оптимальности обнаружения устройства, зависящий, в свою очередь, от вероятностей правильного и ошибочного принятия решений.

Предположим, что сигнал u_c(t, X ) = u_c(t) зависит только от одного непрерывного параметра λ , имеющего априорную плотность вероятности P( u_c ). Апостериорная плотность вероятности определяется P( u_c / u_np) и представляет собой апостериорную вероятность отражения лоцирующего сигнала от объекта-нарушителя.

Рассмотрим задачу обнаружения протяженных объектов как задачу обнаружения сигналов с известными (в ограниченном числе случаев) и случайными (в большинстве практических случаев) параметрами.

Первоначально сигнал, отраженный от обнаруживаемого объекта, будем считать детерминированным. В этом случае задача обнаружения сигнала на фоне внутриприемного гауссовского шума формируется в виде, изложенном в [1]. Как отмечено в [2], рассмотрение сигнала с известными параметрами позволяет определить верхние границы характеристик обнаружения.

Пусть сигнал представляет собой согласно (1) произведение некоторой случайной величины θ на известную функцию времени u_С(t) . Допустим также, что сигнал смешивается с аддитивной помехой u_П(t) . По результирующему воздействию необходимо принять решение о наличии или отсутствии сигнала u_С(t) на входе приемника РУОС, т.е. определить наличие объекта-нарушителя. Воздействие (1) на входе приемника с учетом вышеизложенных рассуждений относительно непрерывности единственного существенного, т. е. подлежащего анализу при приеме, параметра представим в следующем виде

u^f) 9uc(t^ + un(t) Q

,                (2)

Условимся, что помеха является белым гауссовским шумом (БГШ), поскольку этот шум является неизбежным следствием того, что существуют неустранимые причины — тепловые и другие шумы приемного устройства и окружающего пространства. Очевидно, что при приеме сигнала из окружающего антенну пространства происходит также и прием шумов окружающего пространства. В результате происходит аддитивное суммирование полезного сигнала, шумов окружающего пространства и шумов приемного устройства. Поскольку шумы приемного устройства значительно превосходят шумы окружающего пространства, примем для упрощения без значительной потери качества решения, что u_П(t) представляет собой внутриприемный шум. Аддитивный широкополосный гауссовский шум можно рассматривать как белый гауссовский шум (БГШ).

Плотность вероятности мгновенных значений внутриприемного шума u_П(t) подчиняется закону нормального распределения вероятностей [3]

, (3)

где β = [1/V 2πσ_П]ⁿ — коэффициент пропорциональности; n — число дискретов, определяющих функцию u_П(t); W_П — мощность помех, приходящаяся на единицу полосы частот.

Определим функцию правдоподобия [2], представляющую собой плотность вероятности того, что на вход приемника РУОС поступает воздействие u_ПР(t) при условии передачи сигнала u_Сi(t), следующим образом: L(u_Ci) = p(u_ПР / u_Сi). При радиолокации u_Ci(t) определяется величиной θ: u_Ci(t) = θ u_C(t). В данном случае согласно (2) u_ПР(t) = u_Ci + u_П; при этом сигнал и помеха считаются взаимнонезависимы.

Если принятое воздействие u_ПР(t) представляет собой непрерывный случайный процесс, наблюдаемый в дискретных временных точках t_i(при i = 1, n ), то возможно перейти к условной плотности вероятности p(u_ПР / u_Ci), которая должна равняться плотности вероятности того, что помеха принимает значение u_П = u_ПР– u_Ci. С учетом последнего замечания функция правдоподобия примет вид: L(u_Ci) = p(u_ПР / u_Ci) = p(u_ПР–u_Ci) = p(u_П).

Тогда, с учетом (3), при наличии во входном воздействии (2) сигнала от объекта-нарушителя u_C1(t) (т.е. при θ = 1) получим:

Uu_aV p exp - —{(«„pCO-WcCOy^dt

При θ = 0 во входном воздействии сигнал от объекта отсутствует и, следовательно,

Z,(«C0) = Pexp -—Ju^^r

Отношение правдоподобия для сигнала определяют выражением

(5) области

где p(u_C0) — априорная вероятность отсутствия сигнала от объекта-нарушителя; p(u_C1)

— априорная вероятность наличия такого сиг- нала.

Если l(u_CП) > γ, то можно считать, что принятое РУОС воздействие u_ПР(t) содержит наряду с помехой u_C0сигнал от объекта-нарушителя u_C1. В противоположном случае u_ПР(t) принадлежит только помехе u_C0.

Отношение априорных вероятностей P(u_C0) / P(u_C1) = γ — это некоторая постоянная величина, представляющая собой порог, относительно которого оценивается функция l(u_ПР), которую по формуле (6) в соответствии с (4) и (5) можно записать в следующем виде:

2 т

exp----J uc (^inP (f)tft,

A

T где Wc = J uP (t^t — энергия лоцирующего 0 сигнала.

Если в выражении (6) отношение правдоподобия окажется больше порога γ, то должен быть сделан вывод о сигнале обнаружения на входе приемника РУОС, т. е присутствии объекта-нарушителя. В соответствии с выбранным критерием обнаружения определяется величина порога γ. Как правило, в системах охраны, как и во многих других локационных приложениях, используют критерий Неймана — Пирсона, который, согласно [3], позволяет получить максимальную вероятность обнаружения сигнала от объекта-нарушителя. Вероятность ложных обнаружений задают постоянной и достаточно малой. Величину δ определяют как цену правильного решения при отсутствии сигнала, причем l(u_ПР) = L(u_C1) / L(u_C0) > δ.

Для решения задачи обнаружения должно выполняться очевидное неравенство l(u_ПР) > γ . Учитывая сказанное и используя результат (7), после преобразования приходим к выражению, определяющему структуру оптимального приемника РУОС:

j uc Q>np ^t > In у + = unop n 0 " , (8)

где u_ПОР— величина порогового уровня, определяемая при выбранном критерии обнаружения заданной вероятностью ложного обнаружения P(u_C1 / u_C0).

Анализ (8) позволяет сделать вывод о полном соответствии структуры приемника РУОС при известной задержке сигнала структуре классического оптимального приемника детерминированных сигналов [4]. В приемнике РУОС устанавливается степень взаимной корреляции между входным воздействием uПР(t) и лоцирующим сигналом uC(t). После этого мера корреляции сравнивается с порогом ограничения uПОР, который определяется в соот- ветствии с выражением (8). Приемник РУОС должен содержать коррелятор, в котором осуществляется перемножение и интегрирование сигналов uС(t) и uПР(t), и пороговое устройство с заданным порогом ограничения uПОР(t). Если напряжение на его выходе превосходит нуль, то принимается решение о наличии сигнала и, соответственно, о присутствии объекта-нарушителя. При напряжении, равном нулю, принимается решение об отсутствии сигнала. Таким образом, можно говорить о приемнике сигналов РУОС как об оптимальном приемнике.

Для определения порога ограничения u_ПОР воспользуемся критерием Неймана — Пирсона. Для этого определим условные вероятности правильного обнаружения P(u_С1 / u_С1) и P(u_С1 / u_С0) ложного обнаружения .

Запишем интересующие вероятности, учитывая (8),

^(^Cl !^uco )⁼ J P^cn !^uco ^^u< n

где

⁼ ^]“СУ)'С77№^?  U,„_lr=H+-^-

;

.

Таким образом, при заданной вероятности ложного обнаружения P(uС1 / uС0) величина uПОР зависит от закона нормального распределения p[ukСП(t) / uC0].

Вероятность правильного обнаружения

P(u_С1 / u_С1) будет оцениваться выражением [3]:

P(u_cl Kx ^-ф{пор [2^c /^o Г⁵ - [2^c ,W₀ J ⁵ )

где W0 — спектральная плотность мощности внутриприемного БГШ; uПОР — величина порогового уровня, определяемая при использовании критерия Неймана — Пирсона задан- ной вероятностью ложного обнаружения P(uС1 / uС0), которую находят из выражения

^(«С 1 I^йCO)⁼ ^ ^— ^ ^fПОР IX /^o J j

,     (10)

Рассмотрим более сложный случай — обнаружение сигналов со случайными параметрами. Если в сигнале, обрабатываемом приемником РУОС, информация о скорости объекта отсутствует, то согласно [1] это означает, что лоцирующий сигнал с постоянной амплитудой Um и несущей частотой ω на входе приемника будет иметь неизвестное доплеровское смещение частоты ωд, так что uc(f)=Um cos^o) + Юд?)= Um cospi/ + фс)

, (11)

Заметим, что в выражении (11) амплитуда сигнала U_mможет принимать два значения:

Um = UmC — при наличии сигнала и Um = 0 при его отсутствии. Таким образом, амплиту- да Um ведет себя аналогично величине θ в выражениях (1) и (2).

Поскольку дополнительная фаза сигнала

ϕC является неизвестной случайной величиной, то принятие правильного решения в этом случае можно интерпретировать как задачу обнаружения сигнала со случайной начальной фазой.

Фаза сигнала ϕC является случайным параметром и характеризуется равномерным законом распределения p(ϕC) = 1/(2π) . Сигнал смешивается с аддитивной помехой в виде БГШ. Входное воздействие, полученное из (2), запишем в виде ucnQ^— um

cos(aV+ф_с )+ u_n (/)

, (12)

По принятому РУОС воздействию uПР(t), следует установить наличие в нем сигнала. Для этого определим соответствующие функции правдоподобия для последующего нахождения отношение правдоподобия. Обозначим L(uC1) = L(UmC) для случая, когда сигнал присутствует. Учитывая результаты (4), запишем

Ф.с.^с^ P ^exP --^/[“^(О-^сСоК^+Фг)}^

L                                 ,(13)

Выражение (13) представляет собой функцию правдоподобия относительно параметров U_mCи ϕ_C. Фаза ϕ_Cне несет полезной информации о существовании сигнала. Учитывая равномерность закона распределения p(ϕ_C), усредним последнее выражение по параметру ϕ_C

^L(U„_1C> jX^^JXcWc

°                           ,          (14)

После ряда преобразований получаем окончательное выражение для функции L(UmC):

L(U_mC )= P exp --^^inpQ'yit + U^ /„(У„ц)

L 0                         ,     (15)

где I₀(U_0µ) = I₀(x) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

В данном случае модифицированная функция Бесселя определяется

1 2”

^оС^оЦ)^ — Jexpt/_Occos

(

здесь U0 = 2UµC / Wп.

Функция правдоподобия в случае отсутствия сигнала от объекта-нарушителя:

£(uco)=|3exp

Отношение правдоподобия определяется выражением

!(и_Пр)= f^= ехр^Ш,;_сМ )>_op)

4» co)                         , (17)

Исходя из используемого критерия опти- мального решения, определяют пороговое значение, которое сравнивают с полученным отношением правдоподобия (17). Нетрудно показать, что вероятность правильного обнаружения, в этом случае, имеет вид [4]

P, (u_ct /u_cl)= pi exp P оД² + 2W_C (W. J, | (2W_C/W„ У⁵ ]/!;

, где uПОР1 = uПОР(2WC / W0)–0,5 — новый уровень порога обнаружения.

Наконец, если предположить, что обнаруживаемый объект является протяженным, то, как показано в [5], амплитуда отраженного сигнала за счет явления интерференции также является случайным процессом. В результате сигнал на входе приемника можно рассматривать как случайный с флюктуирующими не только фазой, но и амплитудой uCp (t)= IL cos(co) +фс)

, (19)

Для определенности предположим, что амплитуда флюктуирует по закону Релея:

Р^а, )= “^exp^ (0/^2ос]

и^ (/ )> О

где σ²_C— дисперсия сигнала.

Пусть огибающая помехи распределяется по закону Релея, пусть также этому закону подчинено распределение суммарной огибаю- щей сигнала и помехи:

Р^ПРЬ )= ^т^ехр^и^ (0/20^] о ПР                        , (21)

где σ²_ПР = σ²_С + σ²_П — дисперсия сигнала и помехи.

С учетом вышеизложенного функция правдоподобия сигнала

L^c, )= Р^прь Kt )= р(“спь )= ^т^ехр^^. Q)/2^а ПР

,

Тогда функция правдоподобия помехи

L^CO^ Р^рргр/¹¹^^-¹¹^^^¹¹^)/²^,,] ^а"                  ,    (23)

Отношение правдоподобия будет определяться

Затем определяют в соответствии с выбранным критерием обнаружения пороговое значение, относительно которого оценивается функция l(u_ПР).

Можно показать [4], что вероятность правильного обнаружения будет рассчитываться по формуле

Р (»С! !¹¹п > exp { 0,5к-_по1,, [ I Г>; (2У_С|JW,)] ]

где ^С| =^С/(И „,,(<)/ где                   .

Если требуется сравнить характеристики обнаружения сигналов с флюктуирующей и сигналов с не флюктуирующей амплитудой, то естественно производить такое сравнение надо для случая, когда средняя энергия обоих сигналов одинакова. Тогда вероятность правильного обнаружения можно записать в виде [4]:

^2 (^МС1 /^UC\ )^— В^ХР {~ ^иП0Р\ /² 9       ,    (26)

Таким образом, найдены выражения для определения вероятности правильного обна- ружения сигналов при различных условиях обнаружения; определены существенные для реализации функции обнаружения параметры радиосигнала и параметры, характеризующие объект и характер его движения.