Особенности процесса решения задач как показатели развития математического мышления учащихся

Одним из основополагающих принципов современных концепций математического образования является приоритет развивающей функции в обучении математике . Задача создания условий, способствующих развитию математического мышления школьников, является одной из основных задач обучения математике. Развитие мышления будем рассматривать как переход от эмпирического мышления к теоретическому, т.е. как переход от мышления, основывающегося на эмпирическом обобщении, к мышлению, основывающемуся на теоретическом обобщении. Под математическим мышлением будем понимать мышление, объектами которого являются мате -матические объекты (математические понятия, математические структуры). Поэтому развитие математического мышления будем рассматривать как переход от эмпирического мышления, осуществляемого применительно к математическим объектам, к теоретическому мышлению, оперирующему математическими объектами. Иными словами, развитие математического мышления будем понимать как переход от мышления, направленного на анализ и регистрацию результатов рассмотрения многообразных частных случаев, сопоставление признаков отдельных математических объектов, к мышлению, направленному на анализ сущности изучаемых математических объектов, раскрывающему их сущность, внутренние законы их развития. Об уровне развития математического мышления можно судить по сформированности основных черт теоретического мышления – рефлексии, анализа, внутреннего плана действий, – по проявлению этих черт в ходе решения математических задач. Анализ проявляется в переносе способа решения задачи на весь класс подобных задач, т.к., позволяя человеку выделить в задаче существенные отношения, дает возможность обнаружить принцип или способ ее решения. Наличие у ученика рефлексии на способ решения задачи можно выявить, проверив, устанавливает ли он общий способ решения задач одного класса, вскрывая их внутреннюю связь. О том, выполняет или нет ребенок действия, системы действий во внутреннем плане, можно судить по целенаправленному выбору способа решения предложенной задачи в уме.

Для установления наличия или отсутствия основных черт теоретического мышления необходимо изучить особенности процесса решения учащимися задач. Основными методами, используемыми в данном случае, являются наблюдение за процессом решения учениками математических задач, анализ приведенных детьми решений, индивидуальная беседа.

Наличие у школьника рефлексии на способ решения задачи можно выявить с помощью специального набора задач. После того как ученики решат первую задачу, им предлагают задачи, которые можно решить таким же способом, что и первую, но их внешние признаки отличаются от решенной задачи. Если ученик устанавливает общий способ решения задач, вскрывая при этом их внутреннюю связь, то вторую и третью задачи он успешно решает этим способом. Это говорит о наличии у него рефлексии на способ решения. Если же, обнаружив отличие внешних признаков последних задач, ученик «не видит» возможности применения этого способа, то приходится констатировать, что общий способ им не установлен. Это свидетельствует об отсутствии у него рефлексии на способ решения.

Приведем пример такого набора задач.

Задача №1. Мной было задумано число, с которым надо было выполнить следующие действия: удвоить его, к полученному произведению прибавить 6, разделить результат на 2 и вычесть 3. Получилось задуманное число. Всегда ли в результате выполнения всех этих действий будет получаться задуманное число?

Задача №2. У вашего товарища в каждой руке находится по одинаковому количеству предметов (например, спичек). Число предметов в каждой руке не меньше 10; оно вам неизвестно. Если ваш товарищ переложит из правой руки в левую 4 предмета, затем, ничего не показывая и не говоря вам, отложит из левой руки в сторону столько предметов, сколько осталось в правой, то вы можете смело утверждать, что у него осталось в левой руке 8 предметов. Почему?

Задача №3. У вашего товарища в каждой руке находится по одинаковому количеству предметов. Пусть число предметов в одной руке не меньше, чем некоторое число b . Число предметов вам неизвестно. Предложите ему переложить из правой руки в левую то число предметов, которое вы скажете (например, число а; а <  b ). Затем, ничего не показывая и не говоря вам, пусть он отложит из левой руки столько предметов, сколько у него их осталось в правой. Теперь вы можете смело утверждать, что у вашего товарища осталось в левой руке 2 а предметов. Почему?

Для выявления наличия у школьников анализа можно рассмотреть процесс видоизменений учениками данной им задачи, по характеру выполнения которых можно судить, выделяют ли они существенные отношения.

Дается, например, следующая задача.

Задача №4. Попросите своего товарища задумать число, пусть он удвоит задуманное число и к полученному произведению прибавит 5. Потом пусть полученное число увеличит в 5 раз и прибавит к результату число 10. Эту последнюю сумму пусть он умножит еще на 10. Если после этого спросить, какое в конце концов получилось число, и отнять от него 350, то число оставшихся сотен и будет задуманным числом. Почему это так?

Находим решение этой задачи. Над задуманным числом, обозначим его буквой n , совершаются следующие действия:

n - 2 + 5 = 2 n + 5, (2 n + 5) - 5 = 10 n + 25, 10 n + 25 + 10 = 10 n + 35,

(10 n + 35) - 10 = 100 n + 350.

Зная результат выполнения этих действий - число а, получаем уравнение 100 n + 350 = a , из которого следует: 100 n = a — 350 , т.е. число сотен, оставшихся после вычитания из а числа 350, есть n .

После рассмотрения решения задачи ученикам предлагается видоизменить ее.

Задача №5. Видоизмените предыдущую задачу так, чтобы не число сотен окончательного результата выражало задуманное число, а число его тысяч.

Задача №6. Видоизмените задачу №4 так, чтобы число сотен в результате показывало задуманное число, но умножать надо было бы не на 2; 5 и 10, а на какие-нибудь другие числа.

Задача №7. Видоизмените задачу №4 так, чтобы число сотен результата выражало задуманное число и умножать надо на 2; 5 и 10, но вычитать из результата приходилось не 350, а 170.

Если ученик при решении задачи выделяет общий принцип ее построения, то при видоизменении ее он, опираясь на исходные отношения условий старой и новой задач, этот принцип безошибочно использует. Кроме того, он может ответить на вопрос: “Как еще можно видоизменить эту задачу?” В данном случае можно говорить, что задача видоизменяется учеником на основе теоретического анализа в процессе мысленного экспериментирования и целенаправленного поиска. Если же общий принцип учеником не выделен, то каждая новая задача формулируется им с помощью простого подбора нужных чисел.

Ученик в процессе решения задачи может заметить, что 100 (столько раз n содержится в а-350) получилось как произведение множителей, заданных в условии чисел 2; 5 и 10. Поэтому для решения задачи №5 достаточно подобрать такие числа, произведение которых дает 1000 (например, 5; 8; 25 и др.). А для решения задачи №6 надо найти отличные от данных множители, произведение которых равно 100 (например, 5; 4; 5 и др.). При этом надо учесть, что всем этим изменениям множителей (и прибавляемых чисел) соответствует изменение числа, которое нужно вычесть в конце. Число 350 в приведенной задаче получилось так:

5 - 5 = 25; 25+10=35; 35 - 10 = 350.

Для того, чтобы вместо 350 вычитать из а другое число, надо прибавлять не 5 и 10, а другие числа. Можно, например, вместо 5 прибавлять 2, а вместо 10 – число 7. Тогда

2 - 5 = 10; 10 + 7 = 17; 17 - 10 = 170.

Можно предложить разные способы видоизменения задачи: вместо трех множителей брать два, четыре и т.д.; вместо того чтобы прибавлять числа, можно их вычитать и т.д.

То, что ученик решил задачи №5-7 правильно, еще не говорит о наличии у него анализа. Экспериментатору необходимо пронаблюдать, как эти решения данным учеником осуществлялись, т.е. необходимо наблюдать сам процесс выполнения заданий.

Чтобы определить, связано ли решение учениками математических задач с внутренним планом действий , можно провести наблюдение за тем, как ученики выполнят следующие задания.

Вначале учащимся предлагается дать объяснение предложенного способа «отгадывания» нескольких задуманных чисел, каждое из которых не превышает девяти.

Задача №8. Задумано два числа, каждое из которых не превышает девяти. Умножьте первое из них на 2 и к произведению прибавьте 5, полученную сумму умножьте на 5. К полученному числу прибавьте второе задуманное число и все умножьте на 10. Зная результат выполнения всех этих действий, задуманные числа можно найти следующим образом: вычесть из результата 250, и число сотен остатка дает первое задуманное число, а число десятков – второе. Почему?

Далее учащимся предлагается указать способы “отгадывания”.

Задача №9. Задумано три числа, каждое из которых не превышает девяти. Умножьте первое из них на 2 и к произведению прибавьте 5, полученную сумму умножьте на 5. К полученному числу прибавьте второе задуманное число и все умножьте на 10. Затем к полученному результату прибавьте третье задуманное число и опять умножьте все на 10. Укажите способ “отгадывания” этих трех чисел, если результат выполнения действий известен.

Задача №10. Каков способ «отгадывания» в случае четырех задуманных чисел в предыдущей задаче, если, прибавив четвертое число, полученную сумму умножить на 10? А в случае пяти задуманных чисел?

Если задумано два числа – обозначим их а и b , – то над ними производятся следующие действия: (2 a + 5) - 5 = 10 a + 25; 10 a + 25 + b = 10 a + b + 25;

(10 a + b + 25) - 10 = 100 a + 10 b + 250.

Отсюда ясно, почему после вычитания из результата числа 250 число сотен остатка показывает первое задуманное число, а число десятков – второе. Умножение первого числа на 2 и на 5 равно- сильно умножению его на 10. Учащиеся замечают, что умножать в задаче все время предлагается на 10, что и объясняет, почему, вычтя из результата 250, мы получаем оба задуманных числа в виде цифр остатка, считая слева направо. Усвоив то, как объясняется способ нахождения задуманных чисел в этой задаче, ученики рассматривают и делают запись действий, выполняемых над тремя задуманными числами a , b , c:

(100 a + 10 b + 250 + c ) - 10 = 1000 a + 100 b + 10 c + 2500.

Соответственно этому они указывают способ их нахождения. А в случае четырех и пяти задуманных чисел они строят системы действий, состоящие из усвоенных ранее действий: делают записи выполняемых над числами действий и указывают соответствующие способы их нахождения. Если d – четвертое и e – пятое задуманные числа, то

(1000 a + 100 b + 10 c + 2500 + d ) - 10 = 10000 a + 1000 b + 100 c + 10 d + 25000;

(10000 a + 1000 b + 100 c + 10 d + 25000 + e ) - 10 =

= 100000 a + 10000 b + 1000 c + 100 d + 10 e + 250000.

Ясно, что, вычитая из результата 250; 2500; 25000 и т.д. (в зависимости от количества задуманных чисел), будем получать все задуманные числа в виде цифр остатка, считая слева направо.

Если ученик выполняет задание путем элементарного манипулирования, перебора, оперирует числами без достаточно осмысленного плана, то он не может действовать во внутреннем плане в соответствии с предъявляемыми требованиями. Если же он осуществляет целенаправленный выбор способа решения, система действий детально программируется, то умственные действия систематичны и строго соотнесены с задачей.

Для того чтобы выяснить, планирует ли ребенок систему действий во внутреннем плане, соотносит ли умственные действия с задачей, также необходима индивидуальная работа с ним, постоянное наблюдение за ходом решения им задач. По ходу выполнения учеником решения задач №9 и 10 (или уже после выполнения решения) можно провести с ним беседу, которая помогла бы получить эту информацию.

С помощью описанных методик было проведено обследование учащихся седьмых и восьмых классов Кижингинской средней школы Республики Бурятия. Всего было обследовано 180 учащихся: 64 ученика 7 классов, 116 учеников 8 классов. Наличие анализа при решении математических задач выявлено у 22,5% восьмиклассников и 18,8% семиклассников. Рефлексия проявилась у 32,8% учеников 8 кл. и 24,9% учеников 7 кл. Умение действовать во внутреннем плане проявилось у 21,9% учеников 8 кл. и 14,1% учеников 7 кл. Эти результаты говорят о необходимости формирования у детей умения находить существенные отношения, те отношения, которые позволяют связать единичное явление с общей основой некоторого целого. Особое внимание следует уделить формированию умения планировать системы действий во внутреннем плане.