Открытая модель Вселенной как задача об осцилляторе в однородном силовом поле

В работах [1] и [2] иллюстрируется подход к моделированию открытой Вселенной как задачи о «механическом» движении частицы под действием силового поля. Другими словами, демонстрируется замена проблемы решения космологической задачи на проблему решения «механической»

• ¹    E-mail: alex_m_bar@mail.ru

задачи. При этом такой подход позволяет получить точные космологические решения уравнений Эйнштейна [3], обобщающие решение Фридмана [4] для открытой Вселенной. В настоящей работе будет продолжен такой подход, но с использованием задачи для осциллятора в некотором однородном силовом поле.

Исходный вид метрики запишем как метрику, конформную метрике Минковского (подход Фока [5], [6])

с конформным множителем ехр(2ст), являющимся функцией переменной S, квадрат которой равен S'² = n ^_v x ^ x " = t ² — r ² ; ст = ct ( S ); n ^_v = diag(1; -1; -1; -1) - метрической тензор Минковского; скорость света и ньютоновская гравитационная постоянная равны единице, а эйнштейновская гравитационная постоянная равна здесь к = 8п. Греческие индексы пробегают значения: ц,и = 0,1,2, 3.

Уравнения Эйнштейна используются в следующей записи:

G µν

R pv

2 g ^v R     ^K T ^v

с тензором энергии-импульса (ТЭИ) в приближении идеальной паскалевой жидкости

T pv = (e + p) • U ^ U v - p • g ^v = E • U ^ U v + p • b ^v ,

где G µ_ν – тензор Эйнштейна; R µ_ν – тензор Риччи; R – скалярная кривизна; ε – плотность энергии; p - давление; 4-скорость u ^ = ехр(ст) S, ^ ; u ^ u ^ = 1. Здесь введен 3-проектор b ^_v = u ^ u _v — g ^_v на 3-пространство, который одновременно является и 3-метрическим тензором, ортогональным 4-скорости (b ^_v u ^v = 0), можно спроектировать гравитационные уравнения (2) на временноподобную мировую линию и пространственноподобную площадку, то есть расщепить уравнения как это делается, например, в [7]:

G p_v u ^ u ^v = — k T ^_v u ^ u = —к e,

G ^v Ь Р_р Ь П^и = —KT pv b p b . = p • b p. .

В результате (1+3)-расщепления система уравнений (2) при учете паскалевости сведется к системе двух дифференциальных уравнений в полных производных

(2 S ^{+ (}ст ' > 2)

= к e • exp(2CT),

■X" ₊ CT’' + (CT’H ² f ⁺² S+—)

—кp • exp(2 ст),

где штрихом обозначена производная d/dS.

Эта же система уравнений может быть представлена (после замены ct ( S ) = 2ln y(S)) в виде

1. «Механический» подход

12 dy dS

dy y dS + S)

= к е • y ⁶ ,

4 ( ^d 2 y ₊ 2 dy ^ dS^{2 +} SdSJ

- κp · y ⁵ .

Далее при выборе новой переменной x =

уравнение (4) перепишется как S

_{x 4} dy dy _- y dx dx x

= ке • y ⁶ .

Уравнение (5) представим в записи, аналогичной второму закону Ньютона для частицы еди- ничной массы, d2y         y5

F(x,y,p) = dX2 = -Kp 4X4• где F – аналог «механической силы».

Такая запись одного из уравнений тяготения позволяет использовать различные потенциальные «механические силы» и заменить решение космологической проблемы на «механическую». В частности, отсутствие силы (F = 0, инерциальное движение) приводит к открытой космологической модели Фридмана в форме Фока ( [5], [6]):

exp(2a _F ) =11 —

=(1 — Ax) ⁴ , S

где обозначим в дальнейшем через AF фридмановскую постоянную A, входящую в конформный множитель (8), а также связанную с плотностью энергии некогерентной пыли, заполняющей открытую космологическую модель Фридмана (например, [5], c.482; [6], c.75), к е =

12 A

S ³ 1 —

A

S

Если выбрать силу Гука ( F h к у), реализующейся для гармонического осциллятора без трения, то получим открытую космологическую модель, заполненную веществом и излучением ( [1], [2]). Дальнейшее исследование будет связано с суперпозицией силового поля Гука и однородного силового поля F o = const

F = — dU = — dr (| B²y² — F o y) = -B²y + F o ,                     (9)

dy dy 2

где B ² – аналог коэффициента жесткости осциллятора или квадрата собственной частоты осциллятора с единичной массой.

В этом случае уравнение, отвечающее выбранной силе (9), примет вид d^ + B2y = Fo.                                 (10)

dx ²

Общее решение этого уравнения есть

y(x) = C o cos(Bx + a) + F ⁰ ,                               (11)

B ²

где C 0 и α суть постоянные интегрирования.

Одновременно эта функция y(x) = exp(a/2) является решением космологических уравнений тяготения.

Нахождение постоянных связано с поведением функции y(x) при S >ж ( x ^ 0). Будем считать, что решение (11) проходит через решение Фридмана на асимптотике для открытой космологической задачи: y(x) = 1 — A f x.

В итоге находим:

Co = 1/(1 - F O ) + (— ) ; ^tan a = . AF /B .                (12)

⁰ у \     B²)    \ B J ’             (1 — F 0 /B ² )

• 2 . Функция состояния

• 1.    Можно ввести функцию состояния как в = р/е , которая в каждый момент S есть уравнение состояния (р - давление, е - плотность энергии), и безразмерную переменную z = B • x . Тогда функция состояния записывается в виде

  в = ^Р

  
  

  ε

  
  

1    z • cot(ф(z)) • X(z)

• 3    X(z) + z • tan(ф(z)),

  где ф(z) = z + а ,

  
  
  

  Рис. 1. График поведения функции состояния β в зависимости от значений параметров α и f 0 .

  
  

  X (z) = 1 + f o У 1 + cot(ф(z)) ² ;    f o = F°^ .

  C 0 B

  
  
  
  

  При F o = 0 получаем X (z) = 1 и

  
  

  в = 1 • ^z • COt⁽ф^{( z ))}

  3 1 + z • tan(ф(z)) ^,

  
  
  
  

  совпадающую с функцией состояния из работ [1] и [2].

  Полученная с помощью «механического подхода» открытая космологическая модель имеет два управляющих параметра α и f ₀ , позволяющих менять поведение модели (Рис.1). Например, для кривой 1 в точке z = 0 (начало процесса расширения Вселенной) выполняется ультрареля-тивистское уравнение состояния (р = e/3), то есть массовая материя отсутствует и реализуется модель «электромагнитной Вселенной» (Вселенной, заполненной безмассовой материей), когда оба параметра равны нулю. Если «включить» параметр, отвечающий за наличие массовой материи, то есть взять а > 0, то такая модель, заполненная как массовой, так и безмассовой материей, соответствует кривой 2 с максимумом ниже ультрарелятивистского состояния. Однако «включение» еще и положительного «силового параметра» f o > 0 (кривая 3) приводит к эффекту «компенсации» присутствия массовой материи (сравни кривые 2 и 3).

  2. Чтобы в большей степени прояснить ситуацию, попробуем подойти к проблеме с другой стороны. Для этого перейдем к новой переменной z ^ Z = 1/z = 1/Bx = S/B . После этого выражение (13) перепишется в виде

  
  

  p ₌ 1    cofWZ)) • Y^{( z} )

  e 3 ^ tan(^(Z)) + Z • Y (Z),

  
  
  
  

  где ^(Z) = 1/Z + а, а Y (Z) есть

  
  

  Y (c)=^{1+ f} o q1+ ^tan ² (^{1 /Z} + ^{a )}.

  
  
  
  

  При f o = 0, Y(Z ) = 1 и в = 0 в точке Z o = 7----гт-

  (п — 2а)

  Далее приведено поведение функции состояния β на Рис.2 – Рис.5 для различных ситуаций, связанных с управляющими параметрами f 0 и α.

  На Рис.2 демонстрируется влияние «силового» параметра f o , когда а = 0, то есть массивная материя отсутствует и реализуется космологическая модель, заполненная безмассовой материей. Сначала f o = 0 и а = 0 (кривая 1). Видно, что когда «силовой» параметр «включается» (f o > 0),

  
  

Рис. 2. Демонстрация сокращения продолжительности начальной стадии расширения Вселенной, заполненной безмассовой материей с а = 0 (кривая 1), когда при «включении» положительного «силового» параметра f o > 0 происходит более быстрый переход к ультрарелятивистскому режиму (кривая 2).

продолжительность начального процесса расширения Вселенной, заполненной безмассовой материей («электромагнитная Вселенная»), сокращается (кривая 2 с f 0 > 0 и α = 0). Это приводит к более быстрому переходу к ультрарелятивистской стадии. Асимптотически, когда f 0 > 0 и α = 0, кривая 2 достигает режима с уравнением состояния ε = 3p, как и в случае с f 0 = 0, α = 0, и обе кривые 1 и 2 сближаются. Для очень больших ζ они практически сливаются. Например, разница между значениями кривых 1 и 2 в точке ζ = 8 · 10 ⁴ и f 0 = 5 с большой точностью есть ∆β 21 = 0 (в безразмерных единицах).

Рис. 3. Демонстрация сокращения продолжительности начальной стадии процесса расширения Вселенной, заполненной массовой материей (а = 0,) когда реализуется более быстрый переход к режиму эволюционного расширения при «включении» параметра f o > 0.

ных значений параметра f o (\f o \ >>  1) поведение функции состояния в существенно не меняется для обоих случаев: а = 0 и а = 0.

Однако, для f o = -1, получаем интересное поведение функции состояния в (см. Рис.4) при отсутствии безмассовой материи ( а = 0).

На Рис.4 изображены две кривые с f o = 1 (кривая 1) и f o = —1 (кривая 2). Эти кривые являются почти зеркальными отражениями друг друга относительно оси ζ .

Рис. 4. Поведение функции состояния в для Вселенной с (f ₀ = 1 (кривая 1 при отсутствии массовой материи) и f o = —1 (кривая 2 при наличии вакуумного состояния). Кривые 1 и 2 являются почти зеркальным отражением друг друга относительно оси ζ .

Кривая 2 соответствует вакуумному состоянию Вселенной с уравнением состояния е = Sp, в то время как кривая 1 описывает эволюцию бессмассовой Вселенной с ультрарелятивистским уравнением состояния е = 3p.

Рис. 5. Полное поведение эволюции открытой Вселенной, заполненной безмассовой материй.

Оказывается, что для f o = —0.9999 и начальной точки Z o = 2/(п — 2.6) функция состояния β в отсутствии массовой материи на Рис.5 описывает полную эволюцию открытой безмассовой Вселенной, начинающейся с вакуумного состояния космических релятивистских струн (в = -1/3) и заканчивающейся ультрарелятивистской стадией ( в = 1 / 3).

Заключение

В рамках «механического подхода» была рассмотрена проблема нахождения открытой космологической модели Вселенной как задача о гармоническом осцилляторе, помещенном в однородное силовое поле. При этом решение уравнений Эйнштейна удалось свести к решению аналога уравнения Ньютона (2-й закон динамики). Полученное решение гравитационных уравнений с источником в проближении паскалевой идеальной жидкости и метрикой в форме Фока содержит два контрольных параметра. Один параметр а связан с материей (безмассовой или массовой), а другой f o - с «силовым полем».

Для анализа эволюции полученной космологической модели была введена функция состояния в как отношение давления к плотности энергии материи. Поведение этой функции отражено на Рис.1-Рис.5. Проведеный анализ для различных значений контрольных параметров для модели, заполненной как безмассовой, так и массовой материей, показывает наличие влияния «силового параметра» f o как на эволюцию модели, так и на начальную стадию процесса расширения Вселенной.

В частности, для конкретного значения параметра, который является аналогом «силы», в рамках поведения функции состояния, начиная от вакуумной стадии с в = —1/3 и заканчивая ультрарелятивистским режимом с в = 1/3, получена полная эволюция открытой безмассовой модели Вселенной.