Отражение регулярных функций

DOI:

Заметка посвящена более подробному изложению краткого результата предложения 2 статьи [3]. Основной результат изложен в теореме 1. Из данного результата формально следуют основные результаты статей [3–6], относящихся к преобразованию Лапласа [1], но тема данной заметки не имеет прямого отношения к результатам этих статей. В качестве иллюстрации результата теоремы 1 приведем пример, доказывающий возможность переодичности функции как результат отражения ее значений относительно какой-либо точки.

В примере используются определение A-симметриии: если в исходной системе координат уравнение комплексной функции равно z = /(р) , то уравнение z = д(р) = = /(2Л — р) определяет симметричное отражение значений функции /(р) относительно точки В = (Л, 0) ( д(р) = / (а — (р — а)) , если /(а + (р — а)) = /(р) ); мы будем называть данное отображение Л -симметрией.

Если произвольную функцию /(р) сначало сдвинуть на величину 2Л вправо, а затем отразить относительно точки (Л, 0) , мы получим функцию /( — р) , которая совпадает с /(р) в случае четной /(р) (достаточно проследить перемещение оси Кер = — Л при таком преобразованиия). Затем сдвинем получившуюся функцию /(р) снова на 2Л вправо и отразим относительно точки (2Л, 0) ); виду исходной четности результат преобразования совпадет со сдвинутой вправо на величину 2Л функцией /(р — 2Л) . Так как результаты первого и второго преобразования совпадают с одной и той же функцией /( — р) = /(р) (достаточно заметить, что второе преобразование аналогично первому, но сдвиг и отражение происходит с удвоенным значением параметров, следовательно результат такого преобразования тоже /( — р) ), мы получаем, что результат сдвига /(р — 2Л) совпадет с исходной функцией /(р) как результат первого преобразования, то есть /(р — 2Л) = /(р) , и функция /(р) стала периордичной с периодом 2Л (если /( — р ) = / ( р ) [1;2]).

Данный факт иллюстрирует возможность двойной симметрии, приводящей к периодичности, которая доказана в теореме 1 без предположения четности исходной точки относиельно какой-либо точки (Л, 0) . В данной теореме из существования одной A-симметрии выводися существование другой точки B-симмерии при Л = В .

• 1.    Основной результат

В теореме 1 в относительно общих условиях доказана возможность двойной симметрии аналитической функции [1].

Теорема 1. Пусть функция z = /(р) аналитична при всех — 4Л <  Кер < 4Л , Л G G (0, то ) .

C точки зрения разных систем координат функция z = /(2А — р) , определяющая A-симметрию, должна получаться так же как результат B-симметрии из одного исходного регулярного в исходных координатах отображения z = / (р), В = А .

Доказательство. Если сдвинуть начало координат в точку ( — А,0) , то уравнения исходных отображений z = /(р) и z = /(2А — р) в новых координатах совпадают с уравнениями сдвинутых направо исходными отображениями: z = /(w — A),z = /(3А — — w) = g(w),w = р + А (с точки зрения сопоставления точек комплексной плоскости данное сопоставление осталось прежним; мы использовали z = /((4А — w) — А) , и, если исходная функция z = /(w — А) , то точка исходного отражения В = ( — 2А, 0) в новых координатах). Следовательно, в новых координатах эти две функции определяют исходное отображение и B-симметрию (симметрию в точке B). При этом значение в любой точке Ж = ЗА — w исходной функции / совпадает со значением функции g(w) B-симметрии в точке w , симметричной относительно точки В , ввиду неизменности сопоставления точек, симметричных относительно В для разных систем координат. С другой стороны B-симметрия в новых координатах совпадает с D-симметрией в точке D = (ЗА/2, 0) в новых координатах в том смысле, что значение g(w) = /(ЗА — w) (то же самое как в B-симметрии) суть значение функции g(w) в точке w , симметричной относительно точки Ж = ЗА — w уже для новой точки симмтрии D (по определению функции z = /(ЗА — w) в новых координатах), [1]. Мы получили, что результат B-симметрии является одновременно B-симметрией и D-симметрией ( В = ( — 2А, 0), D = (ЗА/2, 0) в новых координатах.

Теорема 1 доказана.

Из двойной симметрии вытекает, как и во введении, периодичность /( — р) , ввиду одновременного выполнения равенств /(4А — w) = /(ЗА — w), А >  0 [3].