Отражение регулярных функций

В статье доказано, что функция, совпадающая с отраженной относительно некоторой точки функцией, может быть отражением исходной функции относительно некоторой другой точки. Двойное отражение приводит к периодичности произвольной аналитической функции в достаточно общих условиях. Приведен пример, в котором четная функция становится периодической, как результат сдвигов и отражений оносительно двух точек. Аналогичный результат получается, если рассмотреть поле сдвигов 𝐹(𝑝), у которого каждое значение в точке с действительной частью A является результатом сдвига вправо значений функции 𝑓(𝑝) на 2𝐴 в той же точке (мы сдвинули значения прямой линии с действительной частью -𝐴). Можно использовать совпадение всех значений такого поля на прямых линиях с действительными частями A+B со значениями результата двух сдвигов на величины 2𝐴 и 2𝐵 функций 𝑓(𝑝) и 𝑓(𝑝 - 2𝐴) соответственно. Если поле 𝐹(𝑝) сдвинуть в обратную сторону на те же значения, то мы получим исходную регулярную в левой полуплоскости функцию. Результат обратного сдвига можно рассматривать как результат двух сдвигов (первый относительно точки (0, 0), второй относительно точки (-𝐴, 0) функции 𝑓(𝑝 + 2𝐴)). Результаты сдвигов налево функции 𝑓(𝑝) образуют новое поле 𝐺(𝑝), которое совпадает с исходной регулярной функцией 𝑓(𝑝). Данный факт эквивалентен периодичности 𝑓(𝑝). Значения поля 𝐹(𝑝) сопряжены во всех точках правой полуплоскости значениям исходной регулярной функции 𝑓(𝑝), если она действительна на всей мнимой оси. Данный факт тоже приводит к совпадению функции 𝑓(𝑝) с константой в случае регулярности функции в левой полуплоскости. Поле 𝐹(𝑝) совпадает с полем сдвигов функции 𝑓(𝑝).