Отсутствие глобальных решений уравнения четвертого порядка типа Гаусса

Рассматриваются решения двумерного уравнения четвертого порядка с бигармоническим оператором и экспоненциальной относительно решения нелинейностью, являющегося аналогом классического уравнения второго порядка Гаусса - Бибербаха - Радемахера, которое ранее рассматривалось многими авторами в связи с задачами геометрии поверхностей с отрицательной гауссовой кривизной, динамики разреженного газа, теории автоморфных функций. Получены условия, при которых решение не может существовать в круге достаточно большого радиуса. Показано, что глобальные решения на плоскости могут существовать, только если коэффициент при нелинейности вырождается в бесконечности со скоростью не меньше, чем exp{-|x|2ln|x|}. Показано, что в противном случае среднее значение решения на окружности радиуса r должно было бы расти к +∞ с экспоненциальной скоростью при r→∞. Методом нелинейной емкости Похожаева - Митидиери, основанного на выборе подходящих срезающих пробных функций, доказывается невозможность существования такого растущего глобального решения. Также для решений в Rn, периодических по всем переменным, кроме одной переменной x1, аналогичными методами получено отсутствие глобальных решений при вырождении коэффициента при нелинейности со скоростью, медленней, чем exp{-x31}.