Отсутствие глобальных решений уравнения четвертого порядка типа Гаусса

1.    Введение. Основные обозначения и определения. Вспомогательные утверждения

Вопрос об отсутствии глобальных решений (о разрушении решений) уравнения Гаусса Ди = k(x)e ^u , где k(x) > 0, и его обобщений рассматривался ранее различными авторами [1–7]. Условия разрушения решений для такого уравнения сводятся к отсутствию достаточно быстрого вырождения в бесконечности коэффициента k(x).

Бигармоническое уравнение с экспоненциальной нелинейностью Д 2 и = k(x)e ^u , x ∈ R ⁿ , ранее рассматривалось во многих работах. Вопрос о существовании глобальных решений рассматривался ранее в основном для радиально симметричных решений и при

k(x) = const > 0. В [8] получено отсутствие глобальных решений соответствующего одномерного уравнения; при n = 2, 3 — отсутствие глобальных радиальных решений, удовлетворяющих условию e u G L 1 ( R ⁿ ). Для n = 4 установлено [9], что, если e u G L 1 ( R ⁴ ), то решение является радиально симметричным относительно некоторой точки при условии u = o( | x | ² ), или может отличаться от радиально симметричного на квадратичную функцию без этого условия. Существование таких нерадиальных решений показано в [10]. Для размерностей, превышающих порядок уравнения, т. е. при n ^ 5, глобальные решения также существуют, хотя их свойства различны [8, 11] для «малых» размерностей 5 С n С 12 и «больших» n ^ 13.

Рассматриваемое в данной работе нелинейное бигармоническое уравнение с экспоненциальной нелинейностью

A 2 u = k(x)e u ,                                        (1)

k(x) > 0, является обобщением классического уравнения Гаусса, или Гаусса — Бибербаха — Радемахера второго порядка. Рассматриваются классические решения уравнения (1), т. е. принадлежащие классу C 4 . Положительная функция k(x) предполагается непрерывной. Получены условия типа недостаточно быстрого вырождения коэффициента при нелинейном члене на бесконечности, достаточные для отсутствия глобальных решений. Аналогичные условия получены для решений в R ⁿ , периодических по всем переменным, кроме одной. Доказательства проводятся с использованием дифференциальных неравенств, которым удовлетворяют средние значения решений, и метода нелинейной емкости [12].

Отметим, что на рассматриваемые решения не налагаются никакие ограничения по их структуре или поведению типа радиальной симметрии или конечности интеграла f e u dx.

Введем обозначения: x = (x 1 ,x₂) G R ² , Q r = { x : | x | < r } , S r = { x : | x | = r}.

Пусть u(r) = u( | x |) — среднее значение функции u(x) на окружности S r :

1 u(r) = 2— j uds.

S r

Легко видеть, что, что для функций класса C ¹

2π

[u(r,e)de] = — / ди(Гe) de = — /^ds,(2)

I            /    2п J    dr         2nr J dv ,

0                       0

где v = ( v 1 , v 2 ) — единичная внешняя нормаль к окружности S _r ; здесь ( r, e ) — полярные координаты.

Очевидно, что для любой радиально симметричной функции ^(|x|) и любой функции v(x) справедливо равенство у ^(|x|)v(x)

Q b \ Q a

b dx = 2„/rMrMr)dr

a

Хорошо известно [13], что для функций класса C ² оператор усреднения функции по сфере и оператор Лапласа коммутируют, т. е.

Au = Au.

Тогда из (2) и (4) получаем

/ dv (^{A u} ) ^ds = ^2nr(^Au)'.

S r

Будем также использовать интегральное неравенство Иенсена для e ^u , как выпуклой функции от u:

e ^{u ( r )} ^ _L e _ed ds.

2 πr S r

2. Отсутстие глобальных решений на плоскости

Лемма 1. Пусть u ( x ) — глобальное решение уравнения (1) в R ² , пусть также для всех x E R 2 выполнено неравенство k(x) ^ k o exp {— a(r)r ² In r } , r = | x | , k o = const >  0 , α ( r ) >  0 , α ( r ) → 0 при r → + ∞ . Тогда при всех r > r 0 = const справедливо неравенство

u(r) > e ^r .

<1 Проинтегрируем уравнение (1) по кругу Q _r :

У — (Au) ds = У k(x)e ^u dx,

S r

Q r

или согласно (5)

r(AuY = — [ k(x)e^u dx > c o = const >  0,

2 π

Qr r ^ 1; здесь и далее Ci = const > 0. Интегрируя от 1 до r, получим

— (ru ' (r)) ' = Au > c o In r, r > r i = const >  0.

Тогда

(—u ' ( —)) ^ Co — In r, r > r i , интегрируя от r 1 до r , получаем

ru'(r) ^ Ci — In r, r > r 2 = const > 0.

Интегрируя неравенство u > c 1 r ln r от r 2 до r , получим u > c 2 r ² ln r, r > r 3 = const >  0 .

Еще раз используя (6), получим с учетом оценки снизу для k(x), интегрального венства Йенсена и неравенства (7), что при r > r 3

нера-

r(Au)' ^ —

2π

r

f I f k(x)eu dsj dp ^ — [ exp { — a(p)p2 In p) / [ eu ds j dp r3 Sρ                            r3                              Sρ

r

^ k o У P exp { - a(p)p ² In p)e ^{u ( p )} dp ^ C 3 J p exp { — a(p)p ² In p + c ₂ p² In p) dp.

r 3

r 3

Если Г 4 > тах { г з , е } таково, что а(р) <  С 2 /2 при р > Г 4 , то из предыдущего неравенства получаем, что при r > r 4

rr r{Au) > С3 У р exp {2 С2Р2 ln P^dp > сз J Р exp|2 С2 P2 J dp.

r 4                                        r 4

Отсюда при r > Г 5 = const > 0 имеем

Za-V . c4 exp {¹ c2r ²}           ( 1 ₂k 2r

(Au) > ------—----- >  c ₄ exp < з c ₂ r > >  e .

Интегрируя, как и выше при переходе от (6) к (7), получаем U(r) > e ^r при r > r o = const. >

В дальнейшем будет достаточно использовать оценку

u(r) > r^ , y = const > 2.

Теорема 1. Пусть для всех x ∈ R ² выполнено неравенство

k(x) ^ ko exp { — a(r)r2 In r }, ko = const > 0,r = |x|, a(r) > 0, a(r) ^ 0 при r ^ +то. Тогда не существует глобального решения уравнения (1) на плоскости.

<1 Рассмотрим неотрицательную функцию ^(t) G C ⁴ [0, + го ) такую, что ^(t) = 1 при 0 С t С 1; 0 < ^(t) < 1 при 1 < t < 2; ^(t) = 0 при t ^ 2; при этом для ее производных при 1 С t С 2 выполнены неравенства

(H^{j ) ( t )}) 2 ^С c o ^^{( t )},                                             ⁽⁹⁾

j = 1, 2, 3,4; c o = const > 0. Эти неравенства выполнены, например, если ^(t) = (2 — t) ^K при 2 — 5 С t С 2, к ^ 8, 0 < 5 < 1, и функция ^(t) монотонно убывает при 1 С t С 2 — 5. Неравенство (9) тогда очевидно при 2 — 5 С t С 2. При 1 С t С 2 — 5 неравенство (9) выполнено для некоторой постоянной с о > 0 в силу равномерной отделенности функции ^(t) от нуля при 1 С t С 2 — 5.

Пусть ^n (t) = ^(t/N ), N G N . Умножим обе части уравнения (1) на ^n ( | x | ) и проинтегрируем по кругу Q 2 N . Учитывая, что для любой радиально симметричной функции ^( | x | ) справедливо равенство

A2^(|x|) = ^ aj ^(j) (Ixl)lxlj-4, aj = const, j=1

получаем, интегрируя по частям, учитывая (3) и простейшее неравенство a ^ а ² /2 + 1/2,

У k(x)e u ( x^ ^n ( | x | ) dx = У u(x)A ² ^ _N ( | x | ) dx

Q 2 N

= I    u(x) ^ a j ^ NN ) ( | x | ) | x | ^{j - 4} dx =

Q 2 N \ Q n      ^{j —1}

Q 2 N \ Q n

/ u(x) J2 a j ¥ ^j (| x | /N)N ^-j I x j

Q 2 N \ Q n      j — ¹

⁴ dx