Параллельные методы и технологии декомпозиции областей
Автор: Ильин Ильин Валерий
Статья в выпуске: 46 (305), 2012 года.
Бесплатный доступ
Рассматриваются параллельные методы декомпозиции областей для решения трехмерных сеточных краевых задач, получаемых в результате конечно-элементных или конечно-объемных аппроксимаций. Данные проблемы являются «узким горлышком» среди различных этапов математического моделирования, поскольку современные требования к разрешающей способности сеточных алгоритмов приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений с числом неизвестных в сотни миллионов и с очень плохой обусловленностью, что вызывает экстремальную ресурсоемкость расчетов. Описываются многопараметрические варианты алгоритмов с различной размерностью декомпозиции — одномерной, двумерной и трехмерной, — с пересечением или без пересечения подобластей, при использовании величин перехлеста как оптимизирующих параметров, а также с различными видами внутренних условий сопряжения на смежных границах (Дирихле, Неймана или третьего рода). Исследуются вариационные итерационные процессы крыловского типа в пространствах следов с разными предобуславливающими подходами: операторы Пуанкаре-Стеклова, блочный метод Чиммино, альтернирующий метод Шварца аддитивного типа, а также грубо-сеточная коррекция, являющаяся в определенном смысле упрощенным вариантом алгебраического многосеточного подхода. Проводится сравнительный анализ критериев эффективности распараллеливания на многопроцессорных вычислительных системах.
Декомпозиция областей, трехмерные краевые задачи, сеточные аппроксимации, параллельные итерационные алгоритмы в пространствах крылова, предобуславливающие операторы
Короткий адрес: https://sciup.org/147160458
IDR: 147160458 | УДК: 519.63
Parallel methods and technologies of domain decomposition
Parallel domain decomposition methods for solving 3-D grid boundary value problems, which are obtained by finite-element or finite-volume approximations are considered. These problems present the bottle neck between different stages of mathematical modelling, because the modern requirements to accuracy of grid algorithms provide the necessity of solving the systems of linear algebraic equations with the hundred millions of degrees of freedom and with super-high condition numbers which demand the extremal computing resourses. Multiparameter versions of algorithms with various domain decomposition dimensions — one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional, — with or without overlapping of subdomains and with different kinds of internal conjecture conditions on the adjacent boundaries (Dirichlet, Neuman and Robin). The iterative Krylov processes in the trace spaces are investigated for the different preconditioning approaches: Poincare - Steklov operators, block Cimmino method, alternating Schwartz algorithm of additive type, as well as coarse grid correction which is, in a sense, the simplified version of algebraic multigrid method. The comparative analysis of the criteria of parallelezation for the multiprocessor computer systems is made.
Список литературы Параллельные методы и технологии декомпозиции областей
- Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики/Г.И. Марчук. -М.: Наука, 1980.
- Ильин, В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений/В.П. Ильин. -Новосибирск, изд. ИВМ СО РАН, 2000.
- Лебедев, В.И. Операторы Пуанкаре -Стеклова и их приложения в анализе/В.И. Лебедев, В.И. Агошков, -М.: Отдел вычислительной математики АН СССР, изд. ВИНИТИ, 1983.
- Quarteroni, A. Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations/A. Quarteroni, A. Valli -Clarendon Press, Oxford, 1999.
- Smith, B.F. Domain Decomposition: Parallel Multilevel Methods for Elliptic Partial Differential Equations/B.F. Smith, P.E. Bjorstad, W.D. Gropp -Cambridge University Press, 2004.
- Toselli, A. Domain Decomposition Methods. Algorithms and Theory/A. Toselli, O. Widlund -Springer, Berlin, 2005.
- Ильин, В.П. Параллельные процессы на этапах петафлопного моделирования/В.П. Ильин//Вычислительные методы и программирование. -2011. -Т. 12, № 1. -С. 93-99.
- Nataf, F. Optimized Schwarz Methods.//Lecture Notes in Computer Science and Engineering. -Springer-Verlag, Berlin, 2009. -P. 233-240.
- Ильин, В.П. Параллельные методы декомпозиции в пространствах следов/B.П. Ильин, Д.В. Кныш//Вычислительные методы и программирование. -Изд. МГУ, 2011. -Т. 12, № 1. -С. 100-109.
- Смелов, В.В. Принцип итерирования по подобластям в задачах с эллиптическим уравнением./В.В. Смелов В.В., Т.Б. Журавлева. -М.: Изд. ВИНИТИ, 1981. -(Препринт/ОВМ РАН; № 14).
- Сандер, С.А. Модификация алгоритма Шварца для решения сеточных краевых задач в областях, составленных из прямоугольников и параллелепипедов./C.А. Сандер. -Новосибирск, 1981. -(Препринт/Изд. ВЦ СО АН СССР; № 83).
- Мацокин, А.М. Применение окаймления при решении систем сеточных уравнений/А.М. Мацокин, С.В. Непомнящих//Вычислительные алгоритмы в задачах матемаической физики -Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1983. -С. 99-109.
- Лебедев, В.И. Вариационные алгоритмы метода разделения области/В.И. Лебедев, В.И. Агошков -М., 1983. -(Препринт/ОВМ РАН, № 54).
- Непомнящих, С.В. О применении метода окаймления к смешанной краевой задаче для эллиптических уравнений и осеточных нормах в W21/2(S)./С.В. Непомнящих. -Новосибирск, 1984. -(Препринт/Изд. ВЦ СОАН СССР, № 106).
- Кузнецов, Ю.А. Новые алгоритмы приближенной реализации неявных разностных схем/Ю.А. Кузнецов -М., 1987. -(Препринт/ОВМ АН СССР, № 142).
- Свешников, В.М. Построение прямых и итерационных методов декомпозиции/B.М. Свешников//Сиб. журн. индустр. математики. -2009. -Т. 12, № 3(39). -C. 99-109.
- Tang, J.M. Comparison of Two-level Preconditioners Derived from Deflation, Domain Decomposition and Multigrid Methods/J.M. Tang, R. Nabben, C. Vuik, Y.A. Erlangga//J. Sci. Comput. -2009. -V. 39. -P. 340-370.
- Domain Decomposition Methods. URL: http://ddm.org (дата обращения: 14.03.2012)
- Ильин, В.П. Методы и технологии конечных элементов/В.П. Ильин -Новосибирск, изд. ИВМиМГ СО РАН, 2007.
- Ильин, В.П. Об итерационном методе Качмажа и его обобщениях.//Сиб. журн. индустр. математики. -2006. -Т. 9, № 3. -С. 39-49.
