Параметрическое описание явлений кипения и кавитации

В ходе изучения динамики образования и роста газовых пузырьков при кавитации или кипении обнаружено, что термодинамические эффекты способны играть при этом важную или даже преобладающую роль [1, 2]. Stepanoff A.J., Stai H.A. Salemann V., Spraker W.A. и другие исследователи [3–5] объединили эти эффекты, представив их единым безразмерным параметром,

Настоящее исследование имеет целью показать, что в обычных случаях двух параметров достаточно для описания поведения сферической полости малых размеров в процессе ее роста при кипении или кавитации. Эти параметры должны быть добавлены к рассмотренным ранее параметрам, перечень которых определяется характером изучаемой проблемы. Они имеют отношение как к изучению зарождения кавитации, так и к проблеме эрозии, предположительно возникающей при разрыве полости малых размеров [1, 6]. Речь здесь не идет о массопередаче за счет диффузии.

Физические параметры

К достаточно длинному перечню параметров, рассматриваемых при изучении динамики изменения объема сферического пузырька, необходимо добавить следующие термодинамические параметры [7]:

• •    скрытая теплота испарения (или конденсации) L ;

• •    угол наклона кривой насыщения p ’ = d p_v/ d T ;

• •    плотность пара ρ v ;

• •    удельная теплоемкость жидкости C_l ;

• •    удельные теплоемкости пара при постоянном объеме C vv и постоянном давлении C vp ;

• •    теплопроводность жидкости λ _l ;

• •    теплопроводность пара λ v ;

• •    термодинамическая температура или разность температур.

Исключены случаи, связанные с наличием естественной конвекции и диффузии. Эта совокупность, включающая девять термодинамических параметров, сложна, но в ряде практически наиболее важных случаев некоторыми из них можно пренебречь. Это прежде всего в тех случаях, когда температура не слишком близка к критическому значению, энергообмен между двумя фазами зависит в основном от теплоты испарения L , а вклад теплоемкости пара пренебрежимо мал. С другой стороны, М.С. Плессет показал [8], что в большинстве случаев температура газовой фазы постоянна, так что теплопередача здесь пренебрежимо мала и теплопроводность пара λ _v не оказывает влияния на рассматриваемое явление (случай изотермического течения).

Следовательно, в подобных случаях параметры C_vv , C_vp и λ _v можно исключить не потому, что в исследуемой области условий они остаются постоянными (это исказило бы последующий анализ), а в связи с тем, что представляемые ими физические явления не играют значительной роли.

Анализ параметров

Представленный ниже анализ – не чистый анализ размерностей, который не дал бы возможности в достаточной степени сократить число независимых параметров. Он включает также физический анализ явления, особенно в том виде, как оно представлено в публикациях Ж. Бонэна [7, 9, 10]. Как и анализ размерностей, данный анализ дифференциальный, – 579 – т.е. позволяет не определять полностью систему переменных и безразмерных параметров (достаточно уточнить, что речь идет о сложной динамической системе с распределенными параметрами [11, 12]).

С учетом исключений, указанных в конце предыдущего раздела, начальная динамическая система может быть охарактеризована при помощи следующих шести физических величин: L , C, k, T, ρ v , ρ v ’. Наряду с такими исключениями дополнительно введен только один независимый параметр – температура (действительно, теплота эквивалентна механической энергии).

Прежде чем применить к данной системе дифференциальную форму π-теоремы Ваши-Бакингема-Рябушинского [13, 14], которая в общем случае позволяет установить общую структуру зависимости, вытекающую только лишь из требования инвариантности физической зависимости при изменении масштабов единиц, даже если конкретный вид зависимости между исходными величинами неизвестен, можно высказать следующие соображения, каждое из которых позволяет исключить один из независимых параметров.

• 1.    Наклон кривой насыщения ρ v ' не является независимой величиной, так как он связан с L , T, ρ_v, ρ _l (ρ _l – плотность жидкости, всегда присутствующей в «полной» динамической системе) уравнением Клайперона-Клаузиса:

• 2.    Как показал физический анализ [7, 9, 10, 15] явления, величина L выступает не сама по себе, а в виде произведения на плотность пара ρ v .

• 3.    Тот же физический анализ показал, что отношение плотностей двух фаз е = p v /p l всегда находится в составе произведения. Даже если сохранить величину ε в качестве безразмерного параметра анализа, ее влияние на явление будет заранее известно из других источников.

L = T ρ v '(1/ρ v – 1/ρ l ).

С учетом этих соображений применение π-теоремы приводит к определению двух новых безразмерных параметров, не зависимых один от другого и учитывающих все термодинамические переменные. Речь идет о введенных ранее параметрах В ’ и В ”.

Выбор безразмерных параметров

Как показано выше, теоретически можно рассматривать группу из двух (или из трех, включая ε) независимых безразмерных параметров, учитывающих все термодинамические переменные. Разумеется, эти термодинамические параметры должны дополнять динамические переменные. Одни группы могут оказаться более полезными, чем другие, при анализе экспериментальных результатов.

Может быть целесообразным объединение в одну группу характеристик, относящихся только к жидкости. Это было сделано посредством введения понятий характеристического времени τ и характеристического давления p c после введения понятия двухфазного сопротивления ψ:

ψ = L ερ v ’,

τ = K/ψ = K/Lερv', pc = y/C = Lepv’/C.

Поскольку изучаемое давление может, например, быть следствием изменения давления Δ p на протяжении периода времени t , параметры В ’ и B ” логично представить следующим образом:

В ’ = t /τ,

B ” = Δ p / p c .

Ранее показано [7], что изменения τ и pc весьма значительны и могут быть представлены, например, изменениями ψ. Кроме того, было признано целесообразным сохранить эти существенные изменения в одном параметре, например в τ или ψ, и учесть остальные термодинамические величины при помощи другого параметра, изменения которого ограничены. Физический анализ [1, 2, 13] указывает также на влияние температуропроводности жидкости al = kl/ρlCl, которая имеет размерность кинематической вязкости. Таким образом, в явлениях инициирования кавитации или кавитационной эрозии можно сохранить параметр В’ и другой безразмерный параметр, построенный с использованием величины «a».

Если динамический анализ проблемы указывает на необходимость рассмотрения вязкости ν, этот новый параметр, очевидно, принимает следующий вид:

ν/a = Pr, т.е. представляет собой число Прандтля для жидкости. Этот результат не вызывает удивления. Действительно, поскольку поток зависит от вязкостных сил, кавитация и кипение жидкости под действием тепловых явлений могут быть представлены только для жидкости, число Прандтля у которой близко к некоторому определенному значению. В частности, жидкий металл можно уподобить только другому жидкому металлу.

В некоторых случаях влияние вязкости является косвенным и, как показало предыдущее исследование, пренебрежимо малым. Если речь идет о потоке, можно сформировать с использованием величины « a » параметр, аналогичный числу Рейнольдса:

Re = xV / a.

Этот параметр необходимо принимать во внимание наряду с действующими термодинамическими факторами.

С другой стороны, при изучении эрозии в вибрационной системе с периодом t и амплитудой x полезно дополнить параметр t/τ новым параметром x2/at.

Из этого следует, что даже в тех случаях, когда не приходится прибегать к числу Прандтля, трудно заменить одну жидкость другой с существенно отличной температуропроводностью (не всегда допустимы значительные изменения значений х и t под влиянием динамических элементов, которые здесь не уточнены и рассмотрены в работе А. Тирувенгадама [6]).

Некоторые исследователи, например B.В. Mikic, W.M. Rosenow, P. Griffith [16], использовали число Якоби, которое может быть представлено в форме

Ja = ClΔT/Lε, особенно полезной при изучении динамики кипения. Действительно, комплекс Lε/Cl можно рассматривать как характеристическую температуру жидкости. Следовательно, число Якоби эквивалентно предложенному параметру B”. Однако при исследовании кавитации целесообразнее использовать отношение давлений.

Увеличение числа параметров

Если температура достаточно близка к критическому значению, вследствие чего начинает проявляться влияние теплоемкости пара, необходимо ввести два новых безразмерных параметра (отношения теплоемкостей): Cvp / C_l и, очевидно, γ = Cvp / Cvv . С другой стороны, при наличии влияния динамики теплообмена в паровой фазе (внутри пузырька) приходится рассматривать еще один безразмерный параметр, а именно отношение теплопроводностей двух фаз – k v / k l .

Выводы

В ходе настоящей работы удалось показать, что различные термодинамические величины, способные влиять на динамику кипения и кавитацию, можно в наиболее распространенных случаях свести к двум независимым безразмерным параметрам, по меньшей мере один из которых включает отношение плотностей двух фаз ε. Эти параметры необходимо добавить к механическим параметрам, относящимся к рассматриваемой задаче.

Безусловно, выбор этих параметров является относительно произвольным. Такой выбор может и должен быть сделан с учетом характера изучаемой задачи. В частности, для изучения кавитации больше подходит параметр, включающий разность давлений, а для изучения кипения – параметр, включающий разность температур.

В некоторых случаях, рассмотренных в ходе настоящего исследования, в частности при близости температуры к критическому значению, приходится дополнительно вводить другие параметры. Однако представляется вполне вероятным, что детальный анализ подобных случаев приведет к другим упрощениям.

Наконец, следует отметить, что возможное вмешательство естественной конвекции потребует, очевидно, введения соответствующего параметра, например числа Грасгофа.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Красноярского края в рамках научных проектов №№ 17-48-240386, 18-48-242001 и 18-41-242004.