Параметризация задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с контрастными структурами

Введение. В статье приводятся результаты анализа численных методов решения задачи Коши для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с контрастными структурами (внутренними слоями). Подобные уравнения моделируют различные прикладные задачи гидроаэромеханики, химической кинетики, теории каталитических реакций и т. д. Получить аналитическое решение этих задач удается редко, а их численное решение сопряжено со значительными трудностями, связанными с плохой обусловленностью в окрестности пограничных и внутренних слоев. Целью статьи является анализ области применения традиционных численных методов к решению задач данного класса и апробация альтернативных методов решения. Материалы и методы. Для численного решения задачи Коши используются традиционные явные методы Эйлера и Рунге-Кутты четвертого порядка точности, а также неявный метод Эйлера с постоянным и переменным шагом. В качестве альтернативы предложено использовать метод продолжения решения по наилучшему аргументу, который заключается в замене исходного аргумента задачи на новый, отсчитываемый вдоль интегральной кривой задачи. Переход к наилучшему аргументу позволяет получить наилучшим образом обусловленную задачу Коши. Результаты исследования. На примере решения тестовой задачи показаны вычислительные затруднения, возникающие при решении уравнений с контрастными структурами традиционными явными и неявными методами. Они выражаются в значительном уменьшении шага интегрирования в окрестности пограничных слоев, что приводит к увеличению времени счета и усложнению процесса решения сверхжестких задач. Достоверность полученных результатов подтверждается сопоставлением с аналитическим решением и известными работами других авторов. Обсуждение и заключение. Результаты вычислительного эксперимента демонстрируют применимость традиционных методов решения задачи Коши к уравнениям с контрастными структурами лишь при малой жесткости, в остальных случаях данные методы малоэффективны. Показано, что метод продолжения решения по наилучшему аргументу позволяет снять большинство недостатков, присущих непреобразованной задаче. Это отражается в снижении времени счета и увеличении точности полученного решения.