Парные интегральные операторы с однородно-разностными ядрами

В настоящее время имеется немало работ, посвященных многомерным интегральным операторам с однородными степени ( — n) ядрами и их обобщениями (см., например, [1-4] и цитированные в них источники). В работе [5] были введены и изучены операторы с однородно-разностными ядрами, т. е. с ядрами, которые являются однородными степени (— n) по одним переменным и разностными по другим. Развитием этого направления стала, статья [6], в которой была, построена, и исследована, банахова, алгебра, порожденная многомерными интегральными операторами с однородно-разностными ядрами.

Данная работа, продолжает исследования, начатые в статьях [5] и [6]. Ее целью является изучение парных многомерных интегральных операторов с однородно-разностными ядрами, действующих в пространствах суммируемых функций. Для этих операторов определен символ, представляющий собой совокупность пар функций специального вида. В работе получены необходимые и достаточные условия обратимости парных операторов с однородно-разностными ядрами, которые формулируются в терминах невырожденности их символов.

В работе использованы следующие обозначения: Rn — n-мерное евклидово пространство: x = (xi,..., xn) G Rn; |x| = Xi + ... + хП: x⁰ = x/|x|; x • y = xiyi + ... + xnyn'. S_{n -} 1 = {x G Rn: |x| = 1}; Z+ — множество целых неотрицательных чисел; R+^+m = {x G R^1+m: x1 > 0}; Y_v^ (ст) — сферические гармоиики порядка v; d_n(v ) — размерность пространства сферических гармоник порядка v:

(n + v — 3)! dn^(v) = (n ^{+ 2v — 2) 1} v!_{( n} — ₂)( ^;

I — тождественный оператор (ниже из контекста всегда будет ясно в каком пространстве рассматривается этот оператор).

Постановка задачи и основной результат. Пусть 1 6 p 6 то. В пространстве

Lp(Rn+m) рассмотрим оператор

(K^)(x,t) = у у

Rn Rm

k(x,y,t - s) ^(y,s) dyds,

где x E Rn. t E Rm. предполагая, что функция k(x,y,t). задан пая на Rn х Rn х Rm. удовлетворяет следующим условиям:

[ 1°] однородное?ть степени (— п) по перемеппым x ii у. т. е.

k(ax,ay,t) = a nk(x,y,t) (V а> 0);

[2°] инвариантность относителыю группы вращений SO(n) по перемеппым x ii у. т. е.

к(ш(х), ш(у), t) = k(x,y,t) (V ш E SO(n));

[3°] суммируемость, т. е.

κ

У У |k(ei, у, t)||y| n/p dydt < то, ei = (1, 0,..., 0).

Rn Rm

Известно [5], что оператор K ограничен в пространстве Lp(Rn+m), при чем ||К || 6 к. Далее, определим в Lp(Rn+m) проектор P формулой lPp)lx,^) = ^lx't)'

|x| < 1, t E Rm,

|x| > 1, t E Rm,

и обозначим через Q дополнительный проектор.

Основным объектом исследования в данной работе является парный оператор

A = AI + K i P + KQ,

где Kj — оператор вида (1), j = 1, 2. Наша цель — установить критерий обратимости оператора A.

Чтобы получить условия обратимости оператора A, рассмотрим в пространстве Lp(Rn+m) уравнение, порожденное этим оператором:

A^(x,t) +

k i (x,y,t — s)^(y,s) dyds

|y|<1 Rm

+

k2(x, у, t

— s)^(y,s) dyds = f (x,t).

|y|>1 Rm

Так как функция kj (x,y,t) г де j = 1,2, удовлетворяет условию 2°, то по лемме 4.6 книги [7] найдется такая функция koj (r,p,T,t'), что kj(x,y,t) = koj(|х|, |У|,x' • yf,t).

Это позволяет переписать уравнение (3) в виде

A^(x,t)+ У У |xnkoi |y|<1 Rm

,x • y, t — s ^(y, s) dyds

⁺ / f Bn k⁰²

|y|>1 Rm

,x • y, t — s^ ^(y, s) dyds = f (x, t).

xy полагая x = ra. y = р9. приходим к уравнению

AФ(ra, t) + j j j - D 1 ( —,a • 9,t — s) Ф(р9,s) dpd9ds

0 S n

1 Rm ra

+ .i / $ ^_ D2 (~,a • 9,t — s) Ф(р9,s) dpd9ds = F(ra,t), (4)

1 S n

1 Rm

где

Ф(ra,t) = ^(ra,t)r^{n 1)/p},   F(ra,t) = f (ra, t)r^{(n 1)/p},

Dj (P,T,t) = k o j (1, p,T,tV^n-1W, j = 1, 2.

Из условия 3° следует, что ra 1

УУУ |Dj (р, t, t)|p^-1/p (1 — т ²)(n^-3)/² dpdTdt< ∞ .

0 -1 Rm

Умножив обе части уравнения (4) на Yv^(a) и проинтегрировав по единичной сфере, получим следующую систему интегральных уравнений:

XФvц(r, t) + j Yv^(a) daj j j r Di ^ r,a • 9,t — s) Ф(р9,s) dpd9ds

S n -1

ra

0 S n

1 Rm

+ У Yv^(a) da j j j r D2 (p,a • 9,t — s) Ф(р9,s) dpd9ds = Fv^(r,t),

S n -1

1 S n

1 Rm

где r Е R+- v G Z+- р = 1, 2,..., dn(v).

Ф^(r,t)= j Ф(ra,t)Yvц (a) da, F_v^(r,t) = j F(ra,t)Yv^(a) da.

S n -1

S n -1

Преобразуем интегралы из левой части формулы (7). Меняя порядок интегрирования и используя формулу Функа — Гекке [7, с. 43], получим следующую бесконечную диаго- нальную систему интегральных уравнений:

AФv^(r,t) +

/ / rD¹^ (^p,t-s)

$v^(p, s) dp ds

0 Rm

+

∞

H ¹ D2v ^(Pt rr

1 Rm

- s) ф^(р, s) dp ds = Fv^(r,t),

где 2_n(n-1)/2     r

Djv ⁽P^,t) = rT7----iW    Dj ⁽P^,T,t Pv ^{(т )(1 - т2)(n-3)/2} d^T, j = 1,2.       (9)

r((n -1)/2)

-1

Здесь P_v (т ) — многочлены Лежандра, определяемые равенством

Pv(т) = <

cos(v arccos т ),

v!(n-3)! _r(n - 2) / 2 (n+v-3)! ^Cv

( т ) ,

n = 2;

n >  3,

где cV^{n 2)/2}(т) — многочлены Гегенбауэра (см., например, [7, с. 41]).

В пространство L_p(R+⁺m) рассмотрим оператор A_v. г,те v G Z+- определяемый левой частью уравнения (8):

(Avg)(r,t) = Ag(r,t) +

[ ¹ D1v ⁽ P,t rr

0 Rm

— s I g(p, s) dp ds

∞

+ J J D I D«2_V (^p,t — s) g(p,s) dpds.

1 Rm

Лемма 1. Пусть A = 0. Тогда существует такое число vo G Z+, что для всех v > vo операторы A_v обратимы.

<1 Запишем оператор A_v в виде

Av = AI + Kiv P1 + K2v Q1,

Kjν

P1

∞

^{(Kjv g)(r}, t) = j j rDiH (r

0 Rm

,t

— s g(p, s) dp ds,

j = 1, 2,

(P1g)(r,t) = ^

r G (0,1), t G Rm;

r G (1, to), t G Rm,

^a Q1 ~ дополни тельный к P1 проектор. Для нормы оператора Kj_v справедлива оценка см. [5]:

∞ kK3vk 6 у у

0 Rm

IDj_v (p, t)|p ^1/pdpdt.

В силу формулы (9) функции Dj_v(p,t) v Е Z+, являются коэффициентами Фурье функции Dj (p,T,t по системе мпогочлепов Лежандра, а потому Dj_v (p,t ж 0 щ:>и v жж для почти всех р Е R+, t Е Rm. Тогда, применяя мажорантную теорему Лебега, с учетом (6), заключаем, что kKj_v || ж 0 пр и v ж го. Следовательно, существует такое число vg Е Z+- что дтя всех v > vg выполняется неравенство ||K_ivPi + K_2vQ1 k 6 |A|. а значит, оператор A_v обраtiim. B

Лемма 2. Пусть А = 0 и vg — число, опредеденное в лемме 1. Для того чтобы оператор A впда (2) был обратим в пространстве L_p(Rⁿ⁺m). необходимо и достаточно, чтобы все операторы A_v. г те v = 0,1,..., vg. были обратимв i в пространстве Lp(R+⁺m).

C В пространстве

Lp(Rn+m) = {ф(га^) : Ф(гщ t)r-(n-i)/p Е Lp(Rn+m)o определим оператор A следующим образом:

A = AI + KiP + K2Q, где P ii Q — естественные аналоги проекторов P и Q в пространство Lp(Rn+m). а

∞

(Kj »)(г,,о = у у / rD (р

0 Sn-1 Rm

,σ · θ,t

-

s

Ф(р0,s) dp de ds,

j = 1, 2.

Очевидно, что оператор A обратим в пространстве L_p(R^n+m) тогда и только тогда, когда оператор A обратим в пространстве L_p(R^n+m).

Определим в пространстве L_p(R^n+m) проектор Pn равенством

N dn(v)

(PNФ^СТЛ) = XX ФvM(r,t)YvMИ v=0 ^=i и обозначим через Qn дополнительный проектор. С помощью формулы Функа — Гекке непосредственно проверяется, что PnAQn = 0, QnAPn = 0. Учитывая эти соотношения, запишем матричное равенство

/ Pn Qn А /Л

Qn Pn   0

AI + Pn (Ki P + K2Q)Pn 0

0   Pn Qn

λI  QN PN

AI + On (KiP + K2Q)Qn

Ясно, что оператор A обратим тогда и только тогда, когда обратимы операторы AI + Pn(KiP+K2Q^Pn и AI+On(KiP+K2Q)Qn- Покажем, что последний оператор обратим при достаточно большом значении N.

В [1, с. 80-81] показано, что для любого е > 0 найдется функция bjN(p,T,t) j = 1, 2, вида

.   .      .    Г(п/2) N bjN (P, T, t) = 2пП/2 X dn(v)bj^ (P, t)Pv (T), v=0

где P_v(т) — многочлены Лежандра, для которой оператор

∞

(BjNФ)(гст, t) = j j j r bjN (p,o- • 9,t

— s^ Ф(р9, s) dpd9 ds

0 Sn

1 Rm

удовлетворяет неравенству

.^e*

^kK^j - BjN ^kL(Lp(Rn+m)) < ^e/2-

При этом всегда можно считать, что N > vo. С помощью формулы сложения сферических гармоник [7, с. 38] легко проверить, что QnBjN = 0. Тогда

XI + Qn (K1P + K2Q)Qn = AI + Qn (K1 — bin )PQn + Qn (K₂ — B2N )QQn .

Учитывая (10), имеем

||QN^(K1 ^— BIN^)PQN⁺QN^(K2 ^—B2N^)QQN kl(Lp(Rn+m))

6 k^K1^— B^1NkL (Lp^Rn^m)) ⁺ ||K^{2 —} B^2NkL (Lp^Rn^m)) < ^E

Выберем число N столь большим, чтобы выполнялось неравенство kQ N(K1 — BIN)PQN + QN(K2 — B2N)QQN kl(Lp(Rn+m)) < lXl> из которого следует обратимость оператора XI + Qn(K1Р + K2Q)Qn-

Таким образом, оператор A обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор XI + Pn(K1P + K₂Q')Pn- Обратимость последнего равносильна обратимости оператора

An := Pn(XI + K1P + K2Q)|

Im PN

(см., например, [1, c. 6]). Нетрудно видеть, что уравнение, порожденное оператором An сводится к конечной системе уравнений (8), где v = 0,1,... ,N. Следовательно, необходимым и достаточным условием обратимости оператора A является обратимость всех операторов A_v. v = 0,1,... ,N. Так как. согласно лемме 1. при vo < v 6 N операторы A_v обратимы, то достаточно считать, что v = 0,1,..., vo. В

Таким образом, задача свелась к изучению обратимости в Lp(R++m) опера торов Av, где v = 0,1,... , v0.

Определим изоморфизм Wp: Lp(R++m) ^ Lp(R1+m) формулой

(Wp^)(u, t) = e^-u/p_V(e^-u,t), u G R¹, t G Rm.

Непосредственно проверяется, что оператор C_v = W_pA_vW^—1 задается в пространстве L_p(R^1+m) равенством

∞

(Cv ^)(u,t)

= X*(u,t) + h1v(u — v,t — s)^(v, s) dv ds

o R^m

o

+

/ / h2v (U

- v, t

— s)^(v, s) dv ds,

(И)

-∞ R^m

где

hjv(u,t) = Djv(e^u,t)e^u/p, u € R¹, t G Rm,                      (12)

a Dj_v(p,t) определяется формулой (9).

Операторы вида (И) были изучены в работе [8]. Согласно теореме 1.4 из [8] оператор

C_v обратим тогда, и только тогд;г. когда, обратимы операторы XI + H_1v 1i AI + H_2v. где

∞

(Hjv^)(u,t)= I I hjv(u - v, t — s) ^(v, s) dv ds.

-∞ Rm

Как известно, символом оператора XI + Hj_v, j = 1, 2, является функция

∞

^Hjv^(€) = ^{X +}hjv^(€) = ^{X +}

j j hj_v(u,t)ei^1 u+^t) dudt,

-∞ Rm

где € = (€1, €) = (€1,€2,..., €m+1)- Преобразусы функцию Hjv(€)■ Применяя формулы (12) и (9), а, затем формулу Каталана, (см., например, [7, с. 20]), получим

^Hjv^(€) = ^{X +}

L Ч

Rm

e

Dj_v (р, t)p^-1/p+i^1 ei^¹ dpdt

=X+

∞ ZZ

Rm о

^-1/p+i§1 Д-t ρe

dp dt j Dj (p

,e1 • e,t)Pv(e1 • 0) de.

Sn-

Наконец, используя равенство (5), после несложных преобразований приходим к формуле

Hjv (€) = X + У j kj (e1 ,y,t)Pv (e1 • у')Ы^-п/р+р1 е^гр1 dydt.             (13)

Rn Rm

Совокупность пар функций (h_1v(€),h_2v(€)), v G Z+, определяемых формулой (13), будем называть символом оператора A. Основным результатом данной работы является следующая

Теорема 1. Для того чтобы оператор A вида (2) был обратим в пространстве L_p(Rn^+m). необходимо и достатодно. чтобы для любого v G Z+ выполнялось условие

Hjv(€) = 0 (V€ G R^1+m, j = 1,2),                           (14)

где_R1+m — одноточечная компактификация пространства R^1+m.

C Проанализируем два случая.

• 1)    Пусть X = 0. Условие (14) является необходимым и достаточным для обратимости всех операторов XI + Hj_v. г,те v G Z+- j = 1, 2. а значит, и вех операторов C_v вида (11). Так как A_v = W^-1C_vW_p. то оп<щатор A_v обратим в проетраиетве L_p(R+^+m) тогда и только тогда, когда оператор C_v обратим в пространстве L_p(R^1+m). Следовательно, условие (14), необходимо и достаточно, для обратимости всех операторов A_v, v G Z+- что в силу леммв! 2 равиосилыю обратимости оператора A.

• 2)    Пусть X = 0. Предположим, что оператор A обратим. Тогда найдется такое 5 > 0, что все операторы из 5-окрестности оператора A обратимы. Подберем такие числа

V1 е Z+ 11 & е Rⁱ⁺m что |si_vi (^0)| < 5. Тогда оператор A — Si_vi (£o)I обратим. С другой стороны, символом оператора A — s_ivi (^o)I является совокупность пар функций

Из этой теоремы легко получается критерий обратимости оператора XI + K, ранее установленный в [5]. Так как XI + K = XI + KP + KQ, то символом этого оператора является совокупность функций

Sv«) = X + У У k(ei,y,t)Pv(ei • y0)|y|-n/p+i51 eiet dy dt.

Rn Rm

Следствие 1. Для того чтобы оператор XI + K был обратим в пространстве L_p(R^n+m). необходимо и достаточпо. чтобы для любого v е Z+ выполнялось условие

Sv(0 = 0 (V е е R^i+m).