Парные интегральные операторы с однородными ядрами, возмущенные операторами мультипликативного сдвига
Автор: Авсянкин Олег Геннадиевич, Ковальчук Алиса Марковна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.20, 2018 года.
Бесплатный доступ
В пространстве Lp(Rn), где 1⩽p⩽∞, рассматривается оператор B, представляющий собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое - это парный многомерный интегральный оператор, ядра которого однородны степени (-n) и инвариантны относительно группы вращений пространства Rn, а второе слагаемое - сходящийся по операторной норме ряд, составленный из многомерных операторов мультипликативного сдвига с комплексными коэффициентами. На ядра и коэффициенты оператора B накладываются некоторые дополнительные условия, обеспечивающие его ограниченность в пространстве суммируемых функций. Основная цель работы заключается в исследовании обратимости оператора B. Для решения этой задачи применяется специальный метод, позволяющий осуществить редукцию многомерного парного оператора к бесконечной последовательности одномерных парных операторов Bm, где m∈Z+. Показано, что оператор B обратим в том и только в том случае, когда обратимы все операторы Bm, где m пробегает все значения от нуля до некоторого конечного числа m0. В свою очередь, операторы Bm сводятся к интегрально-разностным операторам свертки, теория которых хорошо известна. Все это позволило для рассматриваемого оператора B определить символ, который представляет собой пару функций (β1(m,ξ),β2(m,ξ)), заданных на множестве Z+×R. Если символ является невырожденным, то естественным образом определяются вещественное число ν и целые числа ϰm, где m∈Z+, называемые индексами. Основной результат работы - критерий обратимости в пространстве Lp(Rn) многомерного парного оператора B. Согласно этому критерию, оператор B обратим тогда и только тогда, когда его символ является невырожденным, а все его индексы равны нулю.
Парный оператор, интегральный оператор, однородное ядро, мультипликативный сдвиг, обратимость, сферические гармоники
Короткий адрес: https://sciup.org/143162443
IDR: 143162443 | УДК: 517.9 | DOI: 10.23671/VNC.2018.1.11392
Paired integral operators with homogeneous kernels perturbated by operators of multiplicative shift
In the space Lp(Rn), where 1⩽p⩽∞, we consider an operator B, which is the sum of two terms. The first term is a paired multidimensional integral operator, whose kernels are homogeneous of degree (-n) and invariant with respect to the rotation group of Rn-space, and the second term is a series, convergent in the operator norm, composed of multidimensional multiplicative shift operators with complex coefficients. We impose some additional conditions on the kernels and coefficients of the operator B, and these conditions ensure the boundedness of this operator in the space of summable functions. The main aim of the paper is to study the invertibility of the operator B. To solve this problem we use a special method that allows the reduction of the multidimensional paired operator to an infinite sequence of one-dimensional paired operators Bm, where m∈Z+. It is shown that the operator B is invertible if and only if all the operators Bm are invertible, where m runs through all values from zero to some finite number m0. In turn, the operators Bm reduce to integral-difference convolution operators whose theory is well known. All this allowed us to determine the symbol of the operator B. This symbol represents the pair of functions (β1(m,ξ),β2(m,ξ)), defined on the set Z+×R. If the symbol is non-degenerate, then we define in a natural way a real number ν and integers ϰm, where m∈Z+. Numbers ν and ϰm are called indices. The main result of the work is the invertibility criterion of the multidimensional paired operator B in the space Lp(Rn). According to this criterion, the operator B is invertible if and only if its symbol is non-degenerate, and all its indices are zero.
Список литературы Парные интегральные операторы с однородными ядрами, возмущенные операторами мультипликативного сдвига
- Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators. Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 2001. 427 p.
- Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов с однородными степени -n ядрами//Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 6. С. 1199-1216.
- Авсянкин О. Г., Перетятькин Ф. Г. Об ограниченности и компактности многомерных интегральных операторов с однородными ядрами//Изв. вузов. Математика. 2013. № 11. С. 64-68.
- Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и коэффициентами, осциллирующими на бесконечности//Диф. уравнения. 2015. Т. 51, № 9. С. 1174-1181.
- Авсянкин О. Г. О C∗-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига//Докл. РАН. 2008. Т. 419, № 6. С. 727-728.
- Авсянкин О. Г. О многомерных интегральных операторах с однородными ядрами, возмущенных операторами одностороннего мультипликативного сдвига//Владикавк. мат. журн. 2013. Т. 15, № 1. С. 5-13 DOI: 10.23671/VNC.2013.1.10501
- Авсянкин О. Г. Проекционный метод для интегральных операторов с однородными ядрами, возмущенных односторонними мультипликативными сдвигами//Изв. вузов. Математика. 2015. № 2. С. 10-17.
- Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.
- Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 1984. 208 с.
