Переопределенная система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одной сингулярной и одной сверхсингулярной точкой

Пусть область D является параллелепипедом D = {( x , y ): 0 <  x <  a 0,0 <  y <  b 0 ,0 <  z <  c 0}, ограниченной поверхностями Г = {0 <  x <  a0 , y = 0, z = 0}, Г 2 = {0 <  y <  b 0 , x = 0, z = 0}, Г3 = {0 <  z <  c 0, x = 0, y = 0}. В области D рассмотрим систему вида	a ; ( x , y , z ), f ( x , y , z )(1 <  i <  3) — заданные функции, u ( x , y, z ) e C 1 ( D ) - неизвестная функция. Предположим, что коэффициенты и правые части системы (1) удовлетворяют условиям: a i , a з , f 1 , f , e C y ( D ) a 2 , a з , f 2 , f з e C x ( D ) (2)
д u _ xa { ( x , y , z )     f 1 ( x , y , z ) a x        r      u 1       r     ’ d u _ ya 2( x , y , z )     f 2( x , y , z ) u i                      , d y        r              r         (1) d u   za 3( x , y , z )     f/ x , y , z ) a =         y      u 1        y     , Id z       г            r Y	a i , a 2 , f , , f , e C z (D ) A ya 1  « xa 1        m L      ]        [      ],                 (3) д x r   д yr У L z > ] = | L xa i ],         (4) д x r Y     d z r д raa.     д rxa7 —L -T3] = -[—],         (5) д y r Y    д z  r
где Y >  1, r = xx 2 + y 2 + z 2,	2 д ff, r t[-] + ya 2 f . = д x   r                         (6) = r2    [— ] + xa i f 2 ,

---------------------------- дy r

r ^{3 + 1} 7 [ 4 ] ' za 3 f, =

∂x rγ

=r

³ ' 1³ [ f ] + xa i f з , ∂ z r

r 3+1

— [ f ] + zaf = L у J        з J 2

∂y rγ

зависит от переменной    z,    тогда дифференцируем равенство (11):

∂ u

— = exp(^ (x, y, z) - a3 (0)3 (x, y, z)) • dz          ■              -               .з.

za ₃ ( x , y , z )

•[------3-----W1(x, У) + W\ (x, У)]- rγ

= r ^{3 + 1} 4 [-] + ya 2 f 3- ∂ z  r

Условия (2)–(8) для системы (1) являются условиями совместности (разрешимости), при их выполнении интегрирование системы (1) начнем с третьего уравнения.

В этом случае однородное уравнение, третье уравнение системы (1), имеет вид

∂ u

Подставляя значение в третьем уравнении ∂z системы (1), учитывая (11), имеем:

∂ u

— = exp(3 (x, y, z) - a3 (0)^3 (x, у , z)) • dz       3—      3    3

za ( x , y , z )

• [ rγ za (x, y, z) rγ

W 1 ⁽ x , y ) + W '1 ( x , y )] =

exp( 3 ( x , y , z ) - a ₃ (0) •

d u _ za₃ ( x , y , z )

∂z        rγ     , и после преобразования имеем d In u _ za з( x, y, z)

3/       n Г A   ^{f (} x , У , ^z )

• ®3 (x, У,z ))W1(x, У) +------7-----■ rγ

Отсюда

∂ z

r ^γ

■

W '1 ( x , y ) = f ^{i( x} , ^y , z ) exp(-3 ( x , y , z ) + r ^γ

В равенстве (9) выражение

za з ( x , y , z )

в

точке r = 0 неинтегрируемо,

r ^γ поэтому

интегрируя выражение z (a3 (x, y, z) - a3 (0,0,0))   za3 (0,0,0)

+ a з (0) з ³ ( x , y , z ))■

После интегрирования, получим z x f     f (x, У,s)

W 1 ^{( x} ’ У ) = I ...

0 (4 x + y + s ) ³

⋅

γγ rr для нахождения u (x, y, z) получим

, z       x z s ^{( a} з^{( x} , У , s ) ^{- a} з⁽⁰⁾⁾.

In u ( x , y , z ) = I----.          ---- ----ds

0   (y x ² + y ² + s ² ) ³

-

-

a ₃ (0)

( 3 - 2)(7 x ² + y ² + z ²) ³ - ²

+ W 1 ^{( x} , y )■

После u (x, y, z) = exp(3 (x, y, z) -- aз (0)з3 (x, y, z))W1 (x, y),

z

®з( x, y, z) = J где              0

3³ ( x , y , z ) =

5 ( a з ( x , y , s ) - a з (0)) (7 x ² + y ² + s ² ) ³

• exp(-з( x , y , s ) +           (12)

+ a ₃ (0)) ® 3 ( x , y , s )) ds + w₂ ( x , У ), где W ₂ ( x , У ) — произвольно-дифференцируемая функция переменных x и y .

Подставляя значение W i ( x , У ) из (12) в (11) находим общее решение третьего уравнения системы (1) в виде

u ( x , y , z ) = ехр( ® _з ( x , у , z ) - a _з (0) •

• <^{( x} , у , ^{z ))[} w 2 ^{( x} , у )⁺ f -у===— • ⁽¹³⁾ о (7 x ² + y ² + s ²) ³

• exp(-3( x , у , s ) + a _з (0)) ® 3 ( x , y , s )) ds ]■

3 - 2)(7 x ² + y ² + z ² ) ³ - ² ,

a з (0) = a з (0,0,0), W 1 ⁽ x , y )

–

произвольно-

дифференцируемая функция переменных x и y .

Далее, предположим, что в равенстве

(11) произвольная функция W i ( x , У ) также

Предположим, что функции a ₃ ( x , y , z ) и f ( x , y , z ) удовлетворяют следующим:

1). Функция a ₃ ( x , y , z ) в окрестности точек r = 0 удовлетворяет условию типа Гёлдера:

I ^a з ^{( x} , У , ^z ) ^{- a} з ⁽⁰⁾| ³ H 1 ^{( r 3 1}),         (14)

H = const >  0, 3 > 3 - 1-

2). Функция f (x, y, z) в окрестности точек r = 0 обращается в нуль с асимптотической формулой f,(x,y,z) = o(r72),72 > y-1- (15)

переменных x , y и z . Отсюда получим условии совместности:

2r ₍ ya 2^{( x} ’ у , ^z ) 5 z       r

dy ( x , y , z ) 5 y

^

ya 3⁽⁰⁾

r7    '

3). a ₃(0) >  0.

Тогда интегралы равенства (13) сходятся.

В этом случае дифференцируя (13) и подставляя во второй уравнение системы (1)

z

■ ^[ ^ 2⁽ x ’ У ) ⁺ j

^f 3^{( x} ’ У ’ ^s )

( 7 x ² + y ² + s ²) ⁷

получим:

5 u

— = exp( y 3 ( x , y , z ) - a ₃ (0) ® ₃ ^y ( x , У , z )) • d y

• exp( - y ( x , y , s ) + a 3 (0)) y ⁷ ( x , y , s )) ds ] + (1§)

+ ^f > ^{( x} , ^y , ^z ) exp( - y ( x , y , z ) + a ₃ (0)) •

r

5 ® ₃ ( x , y , z )    ya₃ (0)

{(—4-----+   3)1 'Л 2(x, y) + dy         r7

+ J —fSxys^— exp( -_№ ( x , y , s ) +

^J0 (7 x ² + y ² + s ²) ⁷

+ a ₃ (0)) ® ₃ ^y ( x , y , s )) ds ] + d ^ ^{2 ( x} ’ ^y ) + d y

,             d _r     f ( x , y , z )

• y₃ ^Y ( x , y , z ))] = — [^^L^ ³              d У (7 x ² + y ² + z ²) y

exp( - y 3 ( x , y , z ) + a 3 (0)) y ⁷ ( x , y , z ))],

₊ z д г     ^f 3^{( x} ’ y ’ ^s )

! ^d y (7 x ² + y ² + s ²)⁷

exp( - y ( x , y , s ) +

+ a3 (0))y37 (x, y, s))] ds} = ya2(x,y,z)

= —²------- exp( y ( x , y , z ) - a ₃ (0) •

r

которое эквивалентно условиям совместности системы (1). Используя условие (18), получим дифференциальное уравнение в частных производных:

^dW 2 ^{( x} ’ У ) ₌ z ya 2 ^{( x} ’ У ^,0) _ ya 3 ⁽⁰⁾       (₁₉)

^{d y}        7 x ² + У²     ( 7 x ² + У ²) ⁷

• ^ 2 ( x , У ) + ^{f 2 (} x ’ ^{У ,0)} exp( a 3 (0) y ₃ ⁷ ( x , y ,0)).

7 x ² + У²

• ^y 3 ⁷ ( ^x ’ y ’ ^z W 2 ( ^x , y ) ⁺ J ^===- o(7 x ² + y ² + s ²) ⁷

• exp( y ( x , y , s ) +

• a ₃ (0)) y ⁷ ( x , y , s )) ds ] + ^{f 2 (} x ’ ^У ’ z ) .

r

•

Далее, дифференцируем равенство (13) по переменной x и после подставляем его в первое уравнение системы (1):

Преобразуя равенство (16), имеем:

dW2(x’ y)   / dy

ya₂ ( x , y , z ) S y ₃ ( x , y , z ) -------- _— --------

—

r

—

ya (0,0,0). _r ,        ?

----)[^ 2( x, y) + r                                0

d y

^f ;^{( x} , У , ^s )_

(7 x ² + y ² + s ²) ⁷

•

• exp( - y ₃ ( x , y , s ) + a ₃ (0)) y₃ ⁷ ( x , y , s )) ds ] +

+ ^{f 2 ( x} ’ У ’ ^z ) exp( y , ( x ’ y ’ z ) + a ₃ (0)) • r

• y ( x ’ y ’ z )) - J A [     ^{f 3l x} ’ y ’ ^s >     •

^J0 ^d y (7 x ² + y ² + s ²) ⁷

• exp( - y ( x ’ y ’ s ) + a ₃ (0)) y₃ ^Y ( x , y , s ))] ds }.

В равенстве (17) левая часть зависит от переменных x и y , а правая часть зависит от

— = exp( y 3 ( x , y , z ) - a 3 (0) y ₃ ⁷ ( x , y , z )) • d x

5 y ₃ ( x , y , z )    xa ₃ (0)

•{(----------+---—)[^ 2(x, У)+ dx         r7

z       fi ( x , У , s )           .      .        .

⁺ J                   ^exp^{( - y} 3 ^{( x} ’ У , ^s ) ⁺

a(7 x ² + y ² + s ²) ⁷

+ a ₃ (0)) y₃ ⁷ ( x , y , s )) ds ] + d ^ ² ( ^x ’ ^y ) + d x

₊ z А г    ^f л x , y , s )

’ ^d x (7 x ² + y ² + s ²) ⁷

exp( - y 3 ( x , y , s ) +

+ a 3 (0))y37 (x, y, s))] ds} = xa3 (x, y, z)

—¹-------- exp( y 3 ( x , y , z ) - a 3 (0)) •

r

• ^{yY ( x} ’ У ’ ^z W2^{( x} ’ У ) + f -f===— o(7 x ² + y ² + s ²) ^{7  (20)}

• exp( - y ₃ ( x , y , s ) + a ₃ (0)) y ₃ ⁷ ( x , y , s )) ds ] +

₊ ^f X ^x ’ y , ^z )

r

Отсюда после некоторых преобразований получим равенство

дщ 2 ( X , y )

-

дx xa (0) rY

= (

xa₁ ( x , y , z ) д ^ ( x , y , z ) -------- _— ---------

r

z

^)[ щ 2^{( x} , y ) ⁺ j

—

эквивалентное условиям совместности системы (1). Из этого условия получим дифференциальное уравнение по переменной x :

д x f з ^{( x} , y , ^s ) (7 x ² + y ² + s ²) ^Y

•

5 щ ₂ ( x , y )     xa₃ ( x , y ,0)       xa ₃(0)

^{д x}       7 x ² + У²    (7 x ² + У ²) ^Y

• exp( - ^ ( x , y , s ) + a ₃ (0)) ^₃ ^Z ( x , y , s )) ds ] + + f i ^{( x} , ^y , z ) exp( - ^ ₃ ( x , y , z ) + a ₃ (0) •

r zz д

• ^ ^{( x} , y , z ))^— f7b о ^{д x} (V-

f 3^{( x} , y , s )

X ² + y ² + s ²) ^Y

• exp( — ^ ( x, y, s ) + a ₃ (0)) ^₃ ^z ( x, y, s ))] ds .

Равенство (21) дифференцируем по переменной z :

-д-« д z

xa_x ( x , y , z ) д ^ ( x , y , z ) - - -

—

r

—

xa. (0)                z

---—)щ 2(x, у ) + I Y r                              0

дx f3( x, У,s )

(7 x ² + y ² + s ²) )

•

• exp( — ^ ( x , y , s ) + a ₃ (0)) ®₃ ^Z ( x , y , s )) ds ] + + f . ( ^x , ^y , ^z ) exp( — ^ ( x , y , z ) + _a^ (0) •

r

z д

• < ^{( x} , У , ^z )) -f — ^[

* дx

f 3^{( x} , y , ^s )

x ² + y ² + s ²) ■

' (22)

—

• exp( — ^ ( x , y , s ) +

+ a₃ ((Шрг ( x , y , s ))] ds } = 0.

Таким образом, получим условие

— {(: дz xa3 (0) rY

xa . ( x , y , z )    5 ® ₃ ( x , y , z )

-------- — ---------

—

r            д x

> 2 ( x , y ) + J -n==7 0(7 x ² + y ² + s ²) ^Y

•

• exp( — ^ 3 ( x , y , s ) + a 3 (0)) ^ ^z ( x , y , s )) ds ] +

+ f ^{( x} , ^y , ^z ) exp( — ^ 3 ( x , y , z ) + r

+ a 3 (0) ^ 3 ^Z ( x , y , z ))} =

Axyzzl

—A [ дx (7 x1 + y2 + s2)

- exp( — ® з ( x , y , z ) +

+ a з (0)) & >з ^х ( x , y , z ))],

• щ 2 ^{( x} , У ) ⁺ 4== ^exp⁽ ® 3 ^{( x} , У ^,0)).

V x ² + У

•    (21)

Из равенств (24) и (19) получим систему вида
	д щ 2 ( x , y ) _ xa i ( x , y ,0) _     xa 3 (0)     . д x       7 x 2 + У2    (7 x 2 + У 2) )
	• щ 2 ( x , У ) + f l( ? У ) exp( a 3 (°) ® 3 ( x , У ,0)),
	7 x 2 + y2                      (25)
	д щ 2 ( x , У ) = у ya 2 ( x , У ,0) _     ya 3 (0)   x . д у        7 x 2 + У 2    (7 x 2 + У 2) Y
	• щ 2 ( x , У ) + f 2(, y ) exp( a 3 (0 W ( x , У ,0)).
	[               x 2 + y 2

Интегрирование системы (25) начнем со второго уравнения. Однородное уравнение, второе уравнение системы (25), преобразуем в

виде д 1пщ2(x,y)_ ya2(x,y,0)     ya3(0)

------------------—---,        ==---■        ==---.

^{д у}        7 x ² + У ²   (7 x ² + y ² ) ^Y

Интегрируя, имеем

1п щ _г ( x , У ) — У ^{T (} a 2 ^{( x     —} a ""  d ' +

0       v x + T

+ a^ (0) ^~x + y +

a ₃ (0)

⁺ Y — 2)( 7 x ² + y ²) ^{Y — 2}

⁺ Щ 1 ^{( x} ),

после получим щ2 (x, y) — exp(^ (x, y ,0) + a2 (0) •

• 7 x ² + y² + a 3 (0) ^ ^Y ( x , y ,0)) щ . ( x ),

где

^ ( x , y ,0) — У ^{T (} a 2 ^{( x} _i ^{t 0 —} ₂ a 2 ⁽⁰⁾⁾ d _r , 0       NX ² + T²

® 3 ^Y ( x , y ,0) —

_______________1_______________

( у — 2)( 7 x ² + y ²) ^{Y — 2}

щ1 (x)  - произвольно дифференцируемая функция.

Равенство (26) дифференцируем по переменной y :

• {(

У-У^У = eip( ® 2 ( x , y ,0) + a 2 (0) • ∂ y

• Jx ² + y ² + a ₃ (0) ® Y ( x , y ,0)) •

ya 2 ( x , y ,0)       ya ₃(0)

-

²  ( УУУУ ) ^Y

) ^ 1 ( X ) + ^ '1 ( ^x )}•

Подставляя во второе уравнение системы (25), получим

^ '1 ^{( x} ) = 4 == ^eXP( - ® 2 ^{( x} , y ^,0) -

4 x ² + y²                     (27)

-

a ₂ (0)7 x ² + y ²).

После интегрирования находим цу ( x ) в виде

, ₄  yf ( x,T,0    _{( z m}

^ 1 ⁽ x ) = J / о о ^eX P ⁽ - ^ 2 ⁽ x , ^{T ,0)} - o 4x ² + т²                     (28)

-

a ₂ (0) 4x ² + т ²) d T + ^ ₂ ( x ).

Учитывая равенство (28), получим ^ ₂ ( x , y ) в виде

^ ₂ ( x , y ) = exp( ^ ( x , y ,0) + a ₂ (0) 7 x ² + y ² +

+ a з (0) ® y ( x , y ,0)){ ^ 2 ( x ) +

⁺ J ^f 2⁽₂ x^ ^exP( - ® 2 ^{( x} , ^{T ,0) —} 0 vx + T

- a₂ (0) 4 x ² + т ²) d r }.

От функции ^ ₂ ( x , y ) потребуем, чтобы она удовлетворяла первому уравнению системы (25), для этого равенство (29) дифференцируем по переменной x и затем подставляя в первое уравнение системы (25), получим:

^ 2 ( x ) = (

xa₁ ( x ,0,0) 4 x ² + y²

6 ® ₂ ( x , y ,0) ∂ x

-

xa (0)

4 x ² + y²

y f, ( x , т ,0)

• [ ^ 2 ( x ) + [ ,         exp( - 0 2 ( x , т ,0) +

0 4x ² + т²

— a 2 (0) 4x + y ) d т ] +

⁺ f == ^eXP^{( —} ® 2 ^{( x} , y ^{,0) — a} 2 ⁽⁰⁾ •

4 x + y x^ )—И[fI^Q)•     (30)

^J d x 44 + Гё

• exp( — ® ₂ ( x , т ,0) — a ₂ (0) 4 x ² + т ²)] d r .

Дифференцируя по переменной y , получим условие

d    xa_x ( x ,0,0)

d y ^{( _x x ■ y

-

d ^ ₂ ( x , y ,0) ∂ x

-

xa (0)

/x ² + y²

• [ ^ ₂ ( x ) + I" ^{f 2 (} x , ^т ,^) exp( — ^ ( x , т ,0) + 0 4x ² + т²

— a ₂ (0) 4 x ² + т ²) d т ] + ^{f ( x} , y ^,0) •

4 x ² + y²

• exp( — ^ ( x , y ,0) — a₂ (0) Jx ² + y ²)} =

) •

= ^{d [} f ?== ^ex p ^{( —} ® 2 ^{( x} , y ^{,0) +}    (31)

^{d x} 4 ^{х 2} + y ²

— a 2 (0)7 x ² + y ²)].

При выполнении условия (31), получим обыкновенное дифференциальное уравнение

^₂ ( x ) = ( a ( x ,0,0) — a ₂ (0)) ^ ( x ) +

+ ^f . ^{( x} ,0,0) exp( — ^ ( x ,0,0) +      (32)

x

— a₂ (0) x ).

Соответствующее  однородное уравнение

имеет вид

^₂ ( x ) = ( a^ ( x ,0,0) — a ₂ (0)) ^ ₂ ( x ).

После, интегрируя, получим

^ ₂ ( x ) = exp( ^ ( x ,0,0) —

— a ₂ (0) x ) c ,

где « ( x ,0,0) = J a_} ( t ,0,0) dt и q - произ- 0

вольная постоянная.

Дифференцируя равенство (33), считая что c зависит от переменной x , и подставляя в (32), получим дифференциальное уравнение вида c _t = fi ^{( x} ,0,0) exp( — ^ ( x ,0,0) — ®₂ ( x ,0,0)).

x

Интегрируя, получим c = xxf41,0,0) exp(—^ (t ,0,0) —

¹     0       t                ¹               (34)

— « 2 ( t ,0,0)) dt + с .

Учитывая равенство (34), находим ^ ₂ ( x ) в виде

^ ₂ ( x ) = exp( ^ ( x ,0,0) + a₂ (0) •

• VTT?)[ c + / «•  (35)

0 t

• exp( — « ( t ,0,0) — a₂ ( t ,0,0)) dt ].

Подставим в равенство (29):

V 2 (x, y) = exp(^2 (x, У ,0) + a 2 (0) •

• x2 + y2 + a3 (0)^Y (x, У ,0)) •

• {exp(^ (x,0,0) + a2 (0)д/x2 + y2)[c +

+ x fi(t,0,0)exp(-^!(t,0,0))d^ + {    t • expUM t,0,0))

+ j f^^xT^L exp(-^2 (x, t,0) -

0\x2 + T2

- a2 (0) 4 x2 + t 2) dr}.

Подставляя в равенство (13), общее решение системы (1) находим в виде u (x, y, z) = exp(^ (x, y, z) -

- a ₃(0) ®^Y ( x , y , z )) •

• {exp( ^ ( x , y ,0) + a ₂ (0) Jx ² + y ² +

+ a ₃ (0 > x ( x , y ,0))[exp( ^ ( x ,0,0) +

+ a ₂ (0) x )( c + f f

0         t

• exp( - ^ ( t ,0,0) - ® ₂ ( t ,0,0)) dt ) +

y

+ )

fl ^{( x , T ,0)}

,        - exp( - ® ₂ ( x , r ,0) -

Vx2 + T 2

- a 2 (0) yTx + t ) d r ] +

z

+ j

f з ^{( x} , y , s )

(V x ² + y ² + s ²)

— exp( - ^ ₃ ( x , y , s ) +

Y

+ a ₃ (0)) ®₃^Z ( x , y , s )) ds }.

Теорема. Пусть коэффициенты и правые части системы (1) удовлетворяют условиям (2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(14),(15),(18). Функция  a2 (x, y,0)  в окрестности точек r = 0 удовлетворяет условии типа Гёлдера: |a2 (x, y,0) - a2 (0)| < H2 (rY3),

H₂ = const >  0, / ₃ >  0.

Функции f2 (x, y,0) и f (x,0,0) обращаются в нуль с асимптотическими формулами f 2 (x, y,0) = 0( Vx2 + y2)Y4, y4 > 0,

f,(x,0,0) = 0(xY5), y5 > 0.

Кроме того a₃ (0) >  0. Тогда любое решение системы (1) из класса C ¹( D ) представимо в виде (37), где с – произвольная постоянная. Заметим, что решение вида (37) в окрестности точек r = 0 ораничено.