Переопределенная система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной сингулярной точкой и одной граничной сверхсингулярной линией

пию этой лицензии, посетите

Переопределенные системы дифференциальных уравнений в частных производных могут быть использованы при решении конкретных задач гидродинамики, газовой динамики, теории упругости и других разделов механики и физики. Например, переопределенные системы применяются в механике деформируемого твердого тела при исследовании вопроса о реализуемости в теле простых процессов деформации. Оказывается, они крайне важны для обеспечения физической достоверности широкого класса математических моделей и решений соответствующих задач, а именно классов задач пластичности и вязкой упругости и т.п. Исследование переопределенных систем выявляет достаточно общие классы их решений, что существенно расширяет принципиальные возможности реализации процессов простой деформации и обеспечивает тем самым более широкую область применимости указанных математических моделей пластичности и вязкой упругости и т.д. и поэтому является актуальным.

Переопределенные системы дифференциальных уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами известны еще с прошлого века и связаны с именами Якоби, Фробениуса и др. К настоящему времени хорошо изучены переопределенные системы дифференциальных уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами, т. е. системы в полных дифференциалах.

Работа [1] посвящена проективной дифференциальной геометрии кривых и линейчатых поверхностей.

В работе [2] исследована фонтоны гипергеометрии гиперсферических полиномов Эрмита. Регулярная особая точка линейных уравнений в полных дифференциалах высших порядков исследована в работе [3, с. 46–64].

Переопределенные системы уравнений в частных производных второго порядка с одной искомой функцией изучены в [4, с. 71– 79]. Преобразования, трансмутации и функции ядра рассмотрены в работе [5].

В монографии академика НАН РТ Ра-джабова Н. (1992 г.) " Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами " [6, с. 126], исследованы краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка и некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и сверхсингулярными точками.

Найдены интегральные представления и поставлены некоторые граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями [7, с. 170].

Исследование некоторых нелинейных систем уравнений в частных производных второго порядка с одной неизвестной функцией на плоскости с регулярными коэффициентами рассмотрено в работе [8, с. 313–320].

Необходимые и достаточные условия однородно-простой деформации рассматриваются в [9, с. 701–710].

О неоднородно-простых процессах изложено в работе [10, с. 100–103].

Об одной переопределенной системе уравнений в частных производных второго порядка с регулярными коэффициентами рассматривается в [11, с. 15].

В работе [12, с. 96–106] исследованы некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных второго порядка с сингулярными точками на плоскости.

Найдены интегральные представления линейных переопределенных систем второго порядка с одной сингулярной точкой [13, с. 3–10].

Найдены интегральные представления многообразия решений для одного класса дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка с тремя сверхсингулярными областями [14, с. 3–7].

Теории переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной сингулярной линией и двумя сверхсингулярными линиями посвящено исследование [15, с. 32–43].

В работе [16, с. 4–12] рассматривается переопределенная система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одной сверхсингулярной и одной сингулярной плоскостью в трехмерном пространстве.

В работе [17, с. 79–82] найдены интегральные представления переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одной сингулярной и двумя сверхсингулярными точками.

Переопределенная система дифференци альных уравнений в частных производных пер вого порядка с одной сингулярной и одной сверхсингулярной точкой исследована в [18, с. 17–23].

В настоящей работе рассмотрена переопределенная система дифференциальных уравнений в частных производных:

ux = P(x, У ), Uy = Q(x, У ) совместно, когда имеет место P = Qx . При его выполнении du = P (x, y ) dx + Q(x, y ) dy является полным дифференциалом и функцию u (x, y) можно восстановить интегрированием. Восстановление функции u (x, y) аналогично в трехмерных и n -мерных случаях.

Академиком НАН РТ Л.Г. Михайловым впервые рассмотрены некоторые системы в полных дифференциалах с сингулярными точками первого порядка (1989–1992 гг.), а в 1986 г. им опубликована монография "Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями". В нем имеется обзор литературы и излагаются разработанные ранее теории двух классов: систем в полных дифференциалах и общих линейных систем первого порядка с одной вещественной искомой функцией.

Но кроме того, в монографии Л.Г. Михайлова впервые введены в рассмотрение и достаточно полно изучены такие новые классы переопределенных систем, как: линейные си- стемы уравнений в частных производных второго порядка регулярными коэффициентами, некоторые простейшие линейные и квазилинейные системы уравнений первого порядка.

Через D обозначена прямоугольная область D = {( x,y ): 0 <  x <  a ₀,0 <  y <  b ₀}.

Соответственно обозначим:

Г j = {0 <  x <  a ₀, y = 0}, Г ₂ = { x = 0,0 <  y <  b ₀}.

В области D рассмотрим систему

д2 и xa, (x, y) ди —- = —1--+ дx2 r    дx д2 и ya 2( x, y) ди дxOy r    дx д2 и a ( x, y) ди —- = —--+ - [6y2 yY   дx fi (x, y)

r

₊ ^f 2⁽ x , y ) ,      ⁽¹⁾

r fз( x, y ) yY где у > 2, aj (x, y), fj (x, y)(1 < j < 3) - заданные функции класса, С1 (D) n С(D), r = -Jx2 + y2, и(x, y) e С2 (D) - искомая функция.

Пусть в системе (1) коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям местности:

aj(x, y), f Ix, y) e Сy (D), a2 (x, y), f, (x, y) e С1 (D), aз(x, y), f,(x, y) e Сx(D), д ya2(x, y) = д  xaj(x, y) , дx    r      Qyr д rf( (x, y), r —[—--A + ya2(x,y)fi(x,y) = дx     r,

,

= r 2 5 [ f I x, y ) ] + xal (x, y )f ^ (x , y) дyr д ra3 (x, y), xa, (x, y)a3 (x, y)

—I---------1 += дx   yY

= д  ya 2 ( x , y ) j ₊ ( ya ₂( x , y ) ₂

дyrr

А гfз(x, y) i + a з(x, y)fi( x, y) = дx   yY            yYr сов-

.

r ²

r

₌ о p f C xZ ), ₊ ya 2^{( x} , y ) ^f ₂ ^{( x} , y ) д y

Тогда, вводя

новую

функцию

ди дx

W (x, y), из первых двух уравнений систе- мы (1) получим систему

<

д W ------=	) w +	f 1 ( x , y )
д x	r	r
д W ------=	y a ^M w +	f 2( x , y )
д y	r	r

.

Пусть функции a_x ( _х , y ), f ( x, y ) в окрестности сингулярной точки r = 0 удовлетворяют условиям

| a i ( x , y ) - a , (0,0)| <  H i r ^Y ,

H = const >  0, y, >  0,                 ⁽⁸⁾

f . ( x , y ) = o ( r ^Y 2 ), у 2 >  0 .                 (9)

^-/^y ( У - т )( a з (0, т ) ²    ) - a з (0,0))

V ^{( y} ) = ^c i J---------------- y---------------^{d T +}

0                 ^T

^y ∫ 0

⁽ У ^{- T ) 2} a 3 ^{(0, T} ) ^f 2^{(0, T} ) 2 т^{У + 1}

e ^y y^tos ) d T +

У ( У - т )( f , (0, т ) - f , (0,0))_J

+                      d τ +

γ

0 т

Тогда общее решение системы (7) имеет вид

W ( x , y ) = exp( o , ( x , y ) + a , (0,0)7 x ² + y ²) •

• [exp( ® ₂ (0, y ) - ya 1 (0,0))( c , +

+

c i a з (0,0) + f , (0,0) ( ' - 1)( y - 2) y ^Y - ²

+ c y + c .

Подставляя значение произвольной функции

V ( y ) из (14) в (11), учитывая (10), получим:

+ f ^f г ⁽0, ^T ) exp( — ^ 2 (0, т )) d T ) +

+ Нг=Т exp("^ t, y) -

0 tit ² + y²

- a (0,0)712 + y2)dt], где xt(a, (t, y) - a, (0,0)),

^ ( x , y ) = 1               —d-dt , ^ (0, y ) = 1 a ₂ (0, т )d т ,

0      tit2 + y2

u ( x , У ) = J -4==? exp( - ® , ( t , , y ) - 0 7 t i ² + y ²

- a i (0,0) 7 1 1 ² + y ² ) W ( 1 1 , y ) dt i +

+ C i [ J exp( ^ ( t , y ) + a i (0,0)7 1 ² + y ² + 0

+ o ₂ (0, y ) - ya , (0,0)) dt +

c – произвольная постоянная.

Далее, учитывая du = w(x, y) для нахож-∂x дение u (x, y), имеем u (x, y) = J W (t, y) dt +v( y),           (11)

где V y ) — произвольная дважды дифференцируемая функция переменного y .

Дважды дифференцируя (11) по переменному y , подставляя в третье уравнение системы (1), получим условие вида

где

∫

( y - r )( a з (0, т ) exp( ^ (0, т )) - a , (0,0)) τ^γ

+ J K ( x , y , т ) f , (0, т ) а т +

+

^y ∫ 0

( У - г )( f , (0, т ) - f , (0,0)) τ^γ

₊ c i a з (0,0) + f , (0,0) ( y - 1)( y - 2) y ^y - ²

+ c y + c ,

■ dr] +

d τ +

W ( 1 1 , y ) = J exp( ^ ( 1 1 , y ) + a i (0,0) 7 1 2 + y ²) dt i , t 1

d j₍ ya 2 ( x , y ) _ d g ( x , y ) _ ya 1 (0,0) ^^^.^ ₊

∂ x      r         ∂ y        r

+ 1 ft ^ exp( - ® i ( t , у ) - a i (0,0)7 1 ² + y ² ) dt ) + ⁽¹²⁾

0 tit² + y ²

+ ^{f г( x} , ^y ) exp( - ^ ( x , y ) - a 1 (0,0)7 x ² + y ²} r

= ?> ( ^f < ^x , ^y ) exp( - ^ i ( x , y ) - a J (0,0) 7 x ² + y ²).

∂ y    r

x

K ( x , У , т ) = [-|exp( ® , ( t , y ) + ^т 0

+ a , (0,0)(7 1 ² + У² - У ) dt +

(y-r)² a, (0,r)

+ ^{( У} ,) y + 3 ⁽ ’ ) ]exp( ® ₂(0, y ) - ® ₂(0, т )).

2т '

Используя условие (12), учитывая (10) для нахождения произвольной функции ^(y), получим дифференциальное уравнение d 2^( y) a, (0, y)     .

, 2   =  3  , exp( ®2(0, y))[ c + dy        y'                       .      (13)

+          exp( -, 2 (0, т d T ] +

0 ^T                           y ^Y

Таким образом, доказана

Теорема. Пусть коэффициенты и правые части системы (1), удовлетворяют условиям (2), (3), (4), (5), (6), (8), (9), (12) в области D . Кроме того, функции а₃ (0, у ), f (0, у ), f (0, у ) в окрестности точек контура Г удовлетворяют условиям

Дважды интегрируя (13), имеем

|а з (0, у ) exp( ® 2 (0, У )) - a з (0,0)| <  H 2 у ^{У з}, H₂ = const >  0, y ₃ >  y - 1, f 2 (0, У ) = o ( У ^у 4 ), У 4 >  1 , f _s(0, У ) = o [ У ^У 5 ], У 5 >  У - 1.

Тогда любое решение системы (1) из класса с ²( d ) представимо в виде (15), где

• С , c ₂, c₃ - произвольные постоянные числа.

Замечание. Решение вида (15) в окрестности сингулярной точки r = 0 и сингулярной линии y = x при выполнении всех условий теоремы имеет полюс порядка ( у - 2) .