Периодическая краевая задача для дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым потенциалом
Автор: Митрохин Сергей Иванович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.19, 2017 года.
Бесплатный доступ
Работа посвящена изучению дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым потенциалом и периодическими граничными условиями. Метод изучения операторов с суммируемым потенциалом является развитием метода изучения операторов с кусочно-гладкими коэффициентами. Краевые задачи такого рода возникают при изучении колебаний балок и мостов, склеенных из материалов различной плотности. Решение дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор, сведено к решению интегрального уравнения Вольтерры. Интегральное уравнение решается методом последовательных приближений Пикара. Целью исследования интегрального уравнения является получение асимптотических формул и оценок для решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. Вопросы геофизики, квантовой механики, кинетики, газодинамики и теории колебаний стержней, балок и мембран требуют развития асимптотических методов на случай негладких коэффициентов дифференциальных уравнений. Асимптотические методы продолжают развиваться, несмотря на бурное развитие численных методов, связанное с появлением мощных суперкомпьютеров, в настоящее время асимптотические и численные методы дополняют друг друга. В статье при больших значениях спектрального параметра получена асимптотика решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. Асимптотические оценки решений устанавливаются аналогично асимптотическим оценкам решений дифференциального оператора второго порядка с гладкими коэффициентами. Изучение периодических граничных условий приводит к изучению корней функции, представленной в виде определителя четвёртого порядка. Для получения корней этой функции изучена индикаторная диаграмма. Корни этого уравнения находятся в четырех секторах бесконечно малого раствора, определяемых индикаторной диаграммой. В статье исследовано поведение корней этого уравнения в каждом из секторов индикаторной диаграммы. Найдена асимптотика собственных значений изучаемого дифференциального оператора. Полученные формулы для асимптотики собственных значений позволяют изучить спектральные свойства собственных функций исследуемого дифференциального оператора. Если потенциал оператора будет не суммируемой функцией, а только кусочно гладкой, то полученных формул для асимптотики собственных значений достаточно для вывода формулы первого регуляризованного следа изучаемого дифференциального оператора.
Дифференциальный оператор четвертого порядка, суммируемый потенциал, периодические граничные условия, спектральный параметр, асимптотика решений, асимптотика собственных значений
Короткий адрес: https://sciup.org/143162437
IDR: 143162437 | УДК: 517.9 | DOI: 10.23671/VNC.2018.4.9166
A periodic boundary value problem for a fourth order differential operator with a summable potential
The paper is devoted to the study of a fourth-order differential operator with a summable potential and periodic boundary conditions. The method of studying of operators with a summable potential is an extension of the method of studying operators with piecewise smooth coefficients. Boundary value problems of this kind arise when studying the oscillations of beams and bridges composed from materials of different density. The solution of the differential equation is reduced to the solution of the Volterra integral equation. The integral equation is solved by Picard's method of successive approximations. The aim of the, investigation of the integral equation is to obtain asymptotic formulas and estimates for the solutions of the differential equation that defines the differential operator. Questions of geophysics, quantum mechanics, kinetics, gas dynamics and the theory of oscillations of rods, beams and membranes require the development of asymptotic methods for the case of differential equations with nonsmooth coefficients. Asymptotic methods continue to evolve, despite the rapid progress in numerical methods associated with the advent of supercomputers; at present asymptotic and numerical methods complement each other. In the paper, for large values of the spectral parameter, the asymptotics of the solutions of the differential equation that defines the differential operator is obtained. Asymptotic estimates for solutions are established similarly to the asymptotic estimates of solutions of a second-order differential operator with smooth coefficients. The study of periodic boundary conditions leads to the study of the roots of a function represented in the form of a fourth order determinant. To obtain the roots of this function, an indicator diagram has been examined. The roots are in four sectors of an infinitesimal angle, determined by the indicator diagram. The behavior of the roots of this equation in each of the sectors of the indicator diagram is investigated. The asymptotics of eigenvalues of the differential operator under consideration is found. The formulas obtained for the asymptotics of the eigenvalues make it possible to study the spectral properties of the eigenfunctions. If the potential of the operator is not a summable function, but only piecewise smooth, then the obtained formulas for the asymptotics of the eigenvalues are sufficient to derive the formula for the first regularized trace of the differential operator under study.
Список литературы Периодическая краевая задача для дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым потенциалом
- Лидский В. Б., Садовничий В. А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций//Мат. сб. 1968. Т. 65, № 4. С. 558-566.
- Лидский В. В., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций//Функц. анализ и его приложения. 1967. Т. 1, № 2. С. 52-59.
- Митрохин С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами//Вестн. МГУ. Серия: математика, механика. 1986. № 6. С. 3-6.
- Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами//Диф. уравнения. 1992. Т. 28, № 3. С. 530-532.
- Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией//Докл. РАН. 1997. Т. 356, № 1. С. 13-15.
- Садовничий В. А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков//Мат. сб. 1967. Т. 72, № 2. С. 293-310.
- Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом//Диф. уравнения. 1998. Т. 34, № 10. С. 1423-1426.
- Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом//Изв. РАН. Сер. Математика. 2000. Т. 64, № 4. С. 47-108.
- Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами//Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 188-197.
- Митрохин С. И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом//Уфимский мат. журн. 2011. Т. 3, № 4. С. 95-115.
- Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом//Диф. уравнения. 2011. Т. 47, № 2. С. 1808-1811.
- Митрохин С. И. О спектральных свойствах семейства дифференциальных операторов высокого четного порядка с суммируемым потенциалом//Вестник ВГУ. Сер. Физика. Математика. 2016. № 4. С. 121-135.
- Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.
- Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007. 384 с.
- Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.
