Периодические и ограниченные решения уравнения второго порядка
Автор: Ахмедов Джовидон Толибович, Мухамадиев Эргашбой Мирзоевич, Нуров Исхокбой Джумаевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.24, 2022 года.
Бесплатный доступ
В работе исследуются вопросы о существовании периодических или ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка вида y′′+g(y,y′)=f(t,y,y′). Здесь функция g(y,z) - непрерывная и положительно однородная первого порядка, а f(t,y,z) - непрерывная функция, определенная при всех значениях t, y, z и удовлетворяющая условию малости по отношению |y|+|z| на бесконечности. Для данного уравнения вопросы существования априорной оценки, периодических решений вслучае периодической по t функции f(t,y,z), и ограниченных решений в случае лишь ограниченности поt функции f(t,y,z), тесно связаны с качественным поведением решения однородного уравнения y′′+g(y,y′)=0. Поэтому, на первом этапе представляется важным исследование характера поведения траектории эквивалентной однородному уравнению системы. Перейдя к полярным координатам, получим формулы представления решения системы, которые позволяют описать полную классификацию всевозможных фазовых портретов решения системы в терминах свойства функции g(y,y′). В частности, получены условия отсутствия ненулевых периодических или ограниченных на всей оси решений. Задача существования периодических решений исходного уравнения эквивалентна существованию решений интегрального уравнения в пространстве C[0,T]-непрерывных на отрезке [0,T] функций. В свою очередь, интегральное уравнение порождает вполне непрерывное векторное поле в пространстве C[0,T], нули которого определяют решение интегрального уравнения. Получены формулы для вычисления вращения векторного поля на сферах достаточно большого радиуса пространства C[0,T]. На основе полученных результатов найдены условия существования периодических и ограниченных решений неоднородного уравнения. Отметим, что полученные результаты доведены до расчетных формул.
Дифференциальное уравнение, периодическое и ограниченное решение, однородное уравнение, гомотопия, вполне непрерывные векторные поля, фазовые портреты
Короткий адрес: https://sciup.org/143178747
IDR: 143178747 | УДК: 517.91 | DOI: 10.46698/g4784-3971-1105-g
Periodic and bounded solutions of second-order nonlinear differential equations
The paper investigates questions about the existence of periodic or bounded solutions of nonlinear second-order differential equations of the form y′′+g(y,y′)=f(t,y,y′). Here the function g(y,z) is continuous and positively homogeneous of the first order, and f(t,y,z) is continuous function defined for all values of t, y, z and satisfying the smallness condition with respect to |y|+|z| at infinity. For this equation, the questions of the existence of a priori estimate, periodic solutions in the case of a function f(t,y,z) periodic in t, and bounded solutions in the case only the boundedness in t of the function f(t,y,z) are closely related to the qualitative behavior of the solution of the homogeneous equations y′′+g(y,y′)=0. Therefore, at the first stage, it seems important to study the nature of the behavior of the trajectory equivalent to the homogeneous equation of the system. Passing to polar coordinates, we obtain the representations of the solution of the system, which allow one to describe the complete classification of all possible phase portraits of the solution of the system in terms of the property of the function g(y,y′). In particular, the conditions for the the absence of nonzero periodic solutions or solutions bounded on the entire axis were obtained. The challenge of existence periodic solutions to the original equation is equivalent to the existence of solutions to the integral equations in the space C[0,T]-functions continuous on the segment [0,T]. In turn, the integral equation generates a completely continuous vector field in the space C[0,T], the zeros of which determine solution of an integral equation. Formulas for calculating the rotation of a vector field on spheres of sufficiently large radius of the space C[0,T] are obtained. Based on the results obtained, conditions for the existence of periodic and bounded solutions of an inhomogeneous equation are found. Note that the results obtained have been brought up to calculation formulas.
Список литературы Периодические и ограниченные решения уравнения второго порядка
- Кафаров В. В., Глебов М. Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств. М.: ЮНИТИ, 1991. 400 с.
- Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. М.: Ижевск, 2002. 232 с.
- Занг В. Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. 335 с.
- Колемаев В. А. Математическая экономика. М.: Высш. шк., 1998. 240 с.
- Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 с.
- Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МГУ, 1984. 296 с.
- Бобылев Н. А. О построении правильных направляющих функций // Докл. АН СССР. 1968. Т. 183, № 2. C. 265–266.
- Мухамадиев Э. М. К теории периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1970. Т. 194, № 3. C. 510–513.
- Мухамадиев Э. М. К теории ограниченных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Диф. уравнения. 1974. Т. 10, № 5. C. 635–646.
- Ахмедов Дж. Т., Мухамадиев Э. М., Нуров И. Д. Периодические и ограниченные решения квазилинейных уравнения второго порядка // Вестн. Воронежского гос. ун-та. 2019. № 3. С. 59–66.
- Gomory R. E. Critical points at infinity and forced oscillation // Annals of Mathematics Studies. 1956. Vol. 3, № 36. P. 85–126.
- Абдуваитов Х. Некоторые достаточные условия существования периодических и ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Диф. уравнения. 1985. T. 21, № 12. C. 74–84.
- Азизов Р. Э. Об априорных оценках для ограниченных решений системы трех дифференциальных уравнений с однородными главными членами // Докл. АН Тадж. ССР. 1988. Т. 31, №9. C. 555–558.
- Ахмедов Дж. Т. О периодическом и ограниченном решении нелинейного уравнения второго порядка с фазовыми портретами // Докл. НАН Таджикистана. 2020. Т. 63, № 9–10. С. 579–585.
