Периодические и ограниченные решения уравнения второго порядка

В работе исследуются вопросы о существовании периодических или ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка вида y′′+g(y,y′)=f(t,y,y′). Здесь функция g(y,z) - непрерывная и положительно однородная первого порядка, а f(t,y,z) - непрерывная функция, определенная при всех значениях t, y, z и удовлетворяющая условию малости по отношению |y|+|z| на бесконечности. Для данного уравнения вопросы существования априорной оценки, периодических решений вслучае периодической по t функции f(t,y,z), и ограниченных решений в случае лишь ограниченности поt функции f(t,y,z), тесно связаны с качественным поведением решения однородного уравнения y′′+g(y,y′)=0. Поэтому, на первом этапе представляется важным исследование характера поведения траектории эквивалентной однородному уравнению системы. Перейдя к полярным координатам, получим формулы представления решения системы, которые позволяют описать полную классификацию всевозможных фазовых портретов решения системы в терминах свойства функции g(y,y′). В частности, получены условия отсутствия ненулевых периодических или ограниченных на всей оси решений. Задача существования периодических решений исходного уравнения эквивалентна существованию решений интегрального уравнения в пространстве C[0,T]-непрерывных на отрезке [0,T] функций. В свою очередь, интегральное уравнение порождает вполне непрерывное векторное поле в пространстве C[0,T], нули которого определяют решение интегрального уравнения. Получены формулы для вычисления вращения векторного поля на сферах достаточно большого радиуса пространства C[0,T]. На основе полученных результатов найдены условия существования периодических и ограниченных решений неоднородного уравнения. Отметим, что полученные результаты доведены до расчетных формул.