Персонализированное 0D-3D-моделирование течения крови у новорожденных для прогнозирования рисков осложнений после оперативного лечения

Кучумов Алексей Геннадьевич – доктор физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики, механики и биомеханики (e-mail: ; тел.: 8 (342) 239-17-02; ORCID: .

Камалтдинов Марат Решидович – кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией ситуационного моделирования и экспертно-аналитических методов управления (e-mail: ; тел.: 8 (342) 237-18-04; ORCID: .

Хайрулин Александр Рафаилович – студент кафедры вычислительной математики, механики и биомеханики (e-mail: ; тел.: 8 (342) 239-17-02; ORCID: .

Шмурак Марина Ивановна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики, механики и биомеханики (e-mail: ; тел.: 8 (342) 239-17-02; ORCID: .

дифицированный шунт Блэлока – Тауссига продолжает оставаться процедурой высокого риска, которая может привести к чрезмерной объемной нагрузке и острому тромбозу [4, 5]. Выбор оптимального диаметра шунта является важной задачей, которая не решена по настоящее время [6, 7].

Заболевание аортального клапана является одним из наиболее распространенных сердечнососудистых заболеваний, при этом нарушения клапанов могут быть врожденными, как в случае формирования двустворчатого клапана, или могут развиться позже в течение жизни в виде кальцификации створок [8, 9]. Обычно диагностика заболевания клапана проводится путем визуального изучения медицинских изображений пациента врачом, что является субъективной оценкой [10]. Существует потребность в точных методах, позволяющих количественно оценить функцию аортального клапана. С помощью подходов компьютерного моделирования можно точно моделировать движение аортального клапана и извлекать информацию для качественной и количественной оценки функции клапана [11].

Применение методов вычислительной гидродинамики и математического моделирования несет несколько преимуществ. Во-первых, можно спрогнозировать характеристики кровотока при различных сценариях оперативного вмешательства. Во-вторых, по результатам моделирования можно получить критические уровни характеристик здоровья у конкретного пациента, свидетельствующие о целесообразности проведения операции. Кроме того, применение биомеханического моделирования может предсказать некоторые фундаментальные закономерности, характерные для патологических процессов.

На текущий момент сложилось понимание, что необходимо разрабатывать комплексные многомасштабные модели для решения подобного рода задач [12]. Разработаны основные принципы сопряжения 0D, 1D, 3D для получения характеристик кровотока [13, 14]. В исследовании [15] рассматривалось соединение 1D–3D-моделей, при этом учитывалась упругость стенки сосудов. В работе [16] реализовано объединение конечно-элементной модели аорты и левого желудочка с 0D-моделью кровообращения для пациента с диагнозом легочной артериальной гипертензии. В результатах исследований [17] рассмотрены характеристики объединения 3D-твердо-тельной двухжелудочковой модели сердца с 0D-мо-делью сердечно-сосудистой системы с замкнутым контуром на основе приложения CircAdapt. В работе [18] представлена модель течения крови при коарктации аорты, при этом непосредственно дуга аорты рассматривалась как трехмерная область, а остальные сосуды были представлены 0D- и 1D-моделями. Моделирование сложной гидродинамики и движения створок аортального клапана требует применения подхода взаимодействия жидкости и твердого тела (FSI) [19, 20]. Двумерные (2D) исследования FSI имеют некоторые ограничения из-за высокой турбулентности аортального клапана, и эти 2D-мо-дели должны быть адаптированы к реалистичной геометрии 3D-модели [21, 22].

Проблема, с которой сталкиваются врачи, связана с объективизацией оперативного вмешательства при коарктации аорты и оценке влияния параметров шунта и места его установки на кровоток для правильного развития легких у детей с врожденными патологиями сердца. Для решения проблемы целесообразно построение персонализированной модели кровотока на нескольких масштабных уровнях. На предыдущем этапе работы была разработана концептуальная 0D–3D-схема системного кровотока у новорожденных с модифицированным шунтом Блэлок – Тауссига (рис. 1), подробно рассмотрены результаты 0D-модели [23]. Основы построения 0D-модели системного кровотока заключаются в использовании аналогии между течением крови в сосудах и протеканием тока по электрической цепи. Участок аорты и легочной артерии с шунтом заменяется 3D-моделью с двусторонним взаимодействием «жидкость – твердое тело» (FSI). Участок сосуда с аортальным клапаном рассматривается в отдельной 3D-модели. В данной работе рассмотрены алгоритмы сопряжения разработанных моделей разного уровня и некоторые результаты 3D-моделирования, позволяющие прогнозировать эффективность шунтирования и риски развития осложнений после операции.

Цель исследования – разработка сопряженной 0D–3D-модели течения крови у новорожденных для прогнозирования рисков осложнений после оперативного лечения.

Материалы и методы. Математическая постановка задачи 0D включает несколько десятков дифференциальных и алгебраических уравнений, для их численного решения использованы схемы Рунге – Кутты 4-го порядка точности [23].

Геометрия 3D-модели аортального клапана создается на основе реальных снимков компьютерной томографии пациента (рис. 2). Снимки преобразованы в трехмерную твердотельную модель с помощью программного обеспечения InVesalius. С использованием программного продукта Meshmixer была построена расчетная сетка. Уравнения потока решаются с помощью программного пакета CFD FLUENT, используются уравнения Навье – Стокса и неразрывности для несжимаемой и однородной текучей среды. Влиянием силы тяжести и теплопередачи между кровью и аортальным клапаном в моделях пренебрегают из-за их незначительного воздействия на деформацию створки. Для моделирования турбулентного характера в аортальном клапане используется модель k –ε [24]. Аорта и створки клапана моделируются как гиперупругие, закон упругости задается моделью Огдена первого порядка [24].

Рис. 1. Концептуальная схема системного кровотока [23]

а б                               в

Рис. 2. Аортальный клапан: а – КТ-снимки грудной клетки; б – твердотельная модель; в – построенная расчетная сетка

Аналогичный подход используется для моделирования трехмерного течения в участке аорты и легочной артерии с шунтом.

Алгоритм сопряжения 0D-модели полного системного кровотока и 3D-моделей основан на соблюдении условий равенства давлений и объемных расходов крови на границе взаимодействия [25]. Рассмотрим этапы итерационного алгоритма: 1) определенные на этапе инициализации расходы и давления передаются в 3D-модель для решения; 2) в 3D-моде-ли в стационарной задаче рассчитываются значения давлений на входе и расходов на выходах; 3) рассчитанные на этапе 2 значения снова возвращаются в 0D-модель в качестве граничных условий для решения и определения значений расходов на входе в аор- ту и легочную артерию, давления на выходах; 4) проверяются условия сходимости на границах:

I p (0)( k ) _ p (0)( k -1)

| P i )          P ( i )        | <  ° P ( i ) ;

| Q а^*^k) - Q (.r k ^{- 1)}| <  ° Q ( - ) ,

где P _{( i )} ^{(0)( k )} – давление на i -й границе в нулевой момент времени на k -й итерации (для первой итерации k = 1);

Q _{( i )} ^{(0)( k )} – объемный расход на i -й границе в нулевой момент времени на k -й итерации;

δ P _{( i )} , δ Q _{( i )} – значения критериев сходимости.

В том случае, если критерии (1) выполняются, считается, что получено решение на нулевом шаге,

Рис. 3. Визуальное представление расчетных сеток (слева направо: внутреннее сечение аорты, стенка аорты, створки клапана)

и можно осуществлять переход к следующему временному шагу. В противном случае, значения Q _{( i )} ^{(0)( k )} на входах и P _{( i )} ^{(0)( k )} на выходах снова передаются в 3D-модель, и алгоритм повторяется с этапа 2.

Алгоритм идентификации персональных параметров основан на нахождении такого решения оптимизационной задачи, которое обеспечивало бы периодичность решения по кровотоку и давлению в любой точке 0D-модели. Подробно алгоритм идентификации будет рассмотрен в последующих публикациях авторов.

Результаты и их обсуждение. Зависящая от времени величина скорости на входе в аортальный клапан задавалась в виде синусоиды при максимальной скорости потока 0,4 м/с во время систолы. Для крупных артерий скорость деформации сдвига в потоке превышает 50 с^-1, а вязкость крови почти постоянна из-за высокой скорости сдвига [26]. Поэтому кровь принимается как ньютоновская жидкость с постоянной плотностью 1050 кг/м³ и динамической вязкостью 0,0035 Па∙с [20].

В результате численных экспериментов было проанализировано несколько характеристик течения с различной индивидуальной геометрией аорты и клапана. На рис. 3 представлена наиболее подходящая расчетная сетка с учетом лучшей сходимости для случая, в котором наблюдаются пиковые значения характеристик течения, свойственных патологическим состояниям.

На рис. 4, а, представлено распределение скоростей в аорте. Пиковая скорость потока в самых узких местах достигает 1,874 м/с, что в 4,68 раза превышает скорость потока на входе в аорту, также отчетливо видны зоны турбулентности. Наибольшее значение пристеночных касательных напряжений проявляется на створках клапана со стороны входящего потока (рис. 4, б). Пиковое значение составляет 209,4 Па, в свою очередь пристеночное касательное напряжение на стенке аорты достигает только 15 Па. На рис. 4, в, представлены перемещения относительно начальной позиции (в нулевой момент времени) до ее положения после расчета. На рис. 4, г, красным выделены участки, которые больше всего подвержены упругим деформациям – межстворчатые треугольники. Результаты показывают перемещения створок клапана и стенок аорты, а также можно наблюдать завихрения крови в районе полулунных заслонок. Наблюдаемые пристеночные напряжения с медицинской точки зрения могут рассматриваться как факторы риска возникновения кальцификации на створках клапана и других заболеваний клапана.

В качестве расчетной области в 3D-системе «аорта – шунт – легочная артерия» была взята модель с центральным расположением шунта. В результате решения задачи были получены распределения важных с медицинской точки зрения гемодинамических параметров, таких как: скоростные характеристики кровотока, давление на стенки сосуда, пристеночные касательные напряжения, осредненные за сердечный цикл пристеночные касательные напряжения. Результаты были получены в момент времени, соответствующий максимальному значению объемного расхода кровотока t = 0,125 c. Распределение скоростей при использовании 0D-граничных условий хорошо согласуется с имеющимися литературными данными [25] (рис. 5, а ), несмотря на различные геометрии моделей. Максимальные значения скоростей наблюдаются в области стыка шунта с аортой и в самом шунте, а низкие – в области легочной артерии. Максимальных значений кровоток достигает в области шунта (значения колеблются в пределах 6 м/с). Что касается распределения касательных напряжений, то также стоит отметить, что результаты имеют как качественное, так и количественное согласование с имеющимися литературными данными [25] (рис. 5, б ). Максимальные значения локализуются в областях ответвлений аорты и шунте и колеблются в пределах 100 Па. Минимальные же значения наблюдаются в основном в легочной артерии, восходящей и нисходящей части аорты. При сравнении результатов нужно отметить и различия, которые возникли при моделировании. Результаты распределения скоростей отличаются от имеющихся литературных данных, где максимальные скорости составили только 3,6 м/с [27]. Аналогичная ситуация и с распределением касательных напряжений, давлений, осредненных за

б

в                                                                г

Рис. 4. Распределение характеристик течения в аорте: а – скоростей; б – пристеночных касательных напряжений; в – перемещений створок аортального клапана; г – эквивалентных упругих деформаций створок аортального клапана сердечный цикл касательных напряжений. Максимальные значения касательных напряжений различаются более чем в 2 раза: 40 Па в работах [27, 28] и 100 Па на рис. 5, б. Максимальные значения давлений различаются в 2 раза: 13,89 кПа в работах [27, 28] и 26 кПа в данной работе (рис. 5, в). Максимальные значения осредненных за сердечный цикл касательных напряжений различаются более чем в 3 раза: 45 Па в работах [27, 28] и 150 Па на рис. 5, г. Данные различия объясняются только лишь различием подходов в моделировании течения кровотока, а именно в граничных условиях. В [27] задаются некоторые осредненные профили скорости на входе и константы давления на выходах. В данной же статье граничные условия определяются из совместного решения 0D–3D-модели системного кровотока. Полученный результат для инди- вида можно трактовать как высокий риск развития осложнений в среднесрочной перспективе при использовании центрального расположения шунта.

Выводы. Разработана сопряженная 0D–3D-мо-дель течения крови у новорожденных для прогнозирования рисков осложнений после оперативного лечения. Результаты 0D-моделирования позволяют прогнозировать распределение кровотока в различных частях организма, оценивать изменения потоков крови в легкие после установки шунта. С другой стороны, трехмерные постановки задачи течения крови в аортальном клапане, системе «аорта – шунт – легочная артерия» позволяют прогнозировать важные гемодинамические параметры с пространственным распределением, что делает возможным визуализацию наиболее критических точек.

в

Рис. 5. Распределение характеристик течения в 3D-системе «аорта – шунт – легочная артерия»: а – скоростей; б – касательных напряжений; в – давления; г – осредненных за сердечный цикл пристеночных касательных напряжений

б

г

Показано, что результаты индивидуального моделирования при использовании сопряженных моделей могут давать существенно разные гемодинамические характеристики, что подчеркивает важность использования пациент-ориентированных параметров модели. Разработанные подходы, в первую очередь, могут быть полезны для принятия решений в хирургической практике для прогнозировании риска осложнений в различных вариантах оперативного лечения. На данный момент это может быть затруднено из-за большой требуемой вычислительной мощности для проведения расчетов.

В дальнейшем планируется разработать алгоритм подбора оптимальных параметров шунтирования, места установки шунта, его размеров на основе численного эксперимента. Также целесообразно разрабатывать подходы для оценки риска тромбоза шунта. Планируется учет в модели процессов сатурации и кислородного обмена для оценки адекватности снабжения легких кислородом.

Финансирование. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Пермского края в рамках научного проекта № 20-41-596005.