Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения
Автор: Балкизов Жираслан Анатольевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.18, 2016 года.
Бесплатный доступ
При определенном условии на коэффициенты, входящие в рассматриваемое уравнение, в работе найдено условие однозначной разрешимости первой краевой задачи для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения. Единственность решения задачи доказана методом Трикоми, а существование - методом интегральных уравнений. Решения, получающиеся относительно следа от искомого решения интегральных уравнений, найдены и выписаны в явном виде. Показано, что в случае, когда нарушено условие теоремы, однородная задача, соответствующая исследуемой задаче 1 имеет бесконечное множество линейно-независимых решений.
Вырождающееся гиперболическое уравнение, первая краевая задача, задача гурса, задача коши, функция миттаг-леффлера
Короткий адрес: https://sciup.org/14318534
IDR: 14318534
Текст научной статьи Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения
xy
Г (-y)m Uxx - uyy + a(-y)(m 2)/2Ux, y< 0, (ynUxx - Uyy + by(n-2)/2 Ux, y> 0,
где a. b. m. n — константы. причем m > 0. n > 0.
Через Q1 обозначим область, ограниченную характеристиками
^1 = AC1 : x — ^Д-У)'""^/2 = 0'
^2 = C1B : x +--2-7: (-y/m+2/2 = r m + 2
уравнения (1) при y < 0. выходятщиш из точек A = (0, 0) 11 B = (r, 0). пересекаюнщмлея в точке C1 = (r/2, y1) ii отрсзком AB прямой y = 0. а через Q2 — область, ограниченную характеристиками ста = AC2 : x--2^y(n+2)/2 = 0, n+2
04 = C2B : x + y'n+2)2 = r n+2
уравнения (1) при y > 0. выходятщиш из точек A 11 B. пересекающиеся в точке С2 =
(r/2,y2) ii отрезком AB прямой у = 0. yi 9 = 91 U 92 U J. где J = {(x, 0) : 0 < x < r}
-
h r(m+) i2/(m+2). y2 = h r(n+)i2/(n+2)
— интервал AB прямой у = 0 (рис. 1).
Методами функционального анализа и интегральных уравнений в работе [1] была исследована краевая задача со смещением для уравнения (1) в случае, когда 91 = 0 и коэффициент b = 0. В работе [2] получена априорная оценка решения первой и второй задачи Дарбу для общего вырождающегося гиперболического уравнения uyy - k(y)uxx + a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = f (x, y)
с коэффициентом k(y) > 0 пр и у = 0, который может обращаться в нуль при у = 0. В случае, когда в уравнении (2) коэффициент k(y) = (-y)m, m = 1(mod2), а коэффициенты a(x,y). b(x,y). c(x,y) этого уравнения 11 его правая пасть f (x, y) удовлетворяют условиям Геллерстедта в работе [3] доказано существование и единственность функции Грина — Адамара G(x,y; Фп), с помощью которой выписывается решение второй задачи Дарбу для уравнения (2). В работе [4] были поставлены и исследованы характеристическая задача Коши и задача Гурса для класса вырождающихся внутри области гиперболических уравнений вида (2). В работе [5] сделаны некоторые обобщения по постановке и исследованию первой и второй задачи Дарбу для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения вида (2). В работе [6] в описанной выше области 9 для уравнения (1) при a = 0, b = 0 исследована краевая задача с разрывными условиями склеивания в случае, когда данные задаются на противоположных сторонах ст2 и ста характеристического четырехугольника 9. Исследованию задачи со смещением для уравнения (1) в области 9 посвящена работа [7]. Задачи со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения, содержащего слагаемые с младшими производными исследованы в работе [8]. Достаточно полная библиография по вырождающимся гиперболическим уравнениям имеется в монографиях [9-12].
Регулярным в области 9 решением уравнения (1) назовем функцию u = u(x,y) из класса u(x, y) Е C (9) П C 1(9) П C 2(91 U 92); ux(x, 0), uy (x, 0) E L(0, r), при подстановке которой уравнение (1) обращается в тождество.
В работе исследуется следующая
ЗАДАЧА 1. Найти регулярное в области 9 решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям
u(x,y) = ^i(x) (V (x,y) Е СТ2), (3)
u(x, y) = ^2(x) (V (x, y) E CT4), (4)
где ^1 (x). ^2(x) — запанные фу1 iktiiiii из класса. C 1[r/2,r], причем ^1 (r) = ^2(r).
Задача 1 относится к классу краевых задач, определенному в работе [13] и названному в монографии [11, с. 236] первой краевой задачей для уравнения парабологиперболического типа.
Теорема 1. Пусть коэффициенты а и b уравнения (1) таковы, что lai 6 mm, |b| 6 n, (2a - m)2 + (2b - n)2 = 0-
Тогда существует единственное решение задачи 1.
C Введем обозначения:
uy(x, 0) = v(x), 0 < x < r.(6)
В области Qi уравнение (1) совпадает с вырождающимся гиперболическим уравнением вида
(—y)m uxx - uyy + а(—у)^т 2)/2ux = 0,(О порядок вырождения которого равен m, а в об ласти Q2 — с уравнением ynUxx - Uyy + by^n-2)/2Ux = 0(8)
n
Найдем решение задачи Коши (5)-(7). В характеристических координатах
€ = x--^(-y)^2)/2, П = x + —27^(-m+2
уравнение (7) приводится к уравнению Эйлера — Дарбу — Пуассона д2 u в1 du“1
∂ξ ∂η ξ - η ∂ξ ξ - η ∂η , m—2am+2a
“ 2(m+2)' , , '2_
Пусть вначале |a| < -^ Общее решение уравнения (9) в этом случае выписывается по формуле [9, с. 14]
η
u(€, n) = (n - €)1-a1 -в1 j ^(s)(s - €)в1-1(п - s)ai-1 ds ξ
(Ю)
η
+ У Ф(s) (s - €)—a1 (n - s)—e1 ds, ξ где Ф(s) л Ф(s) — произвольные <] >упктщп из класса. C[0, г] П C2]0,r[.
Положив s = € + t(n — €) представление (10) перепишем в следующей форме:
u(€,n) = (n - €)1—ai—в1 j Ф[€ + (n - €)t] t—ai (i -1)—в1 dt 0
+ / «К + (n - €)t]te 1 -1(i - t)ai 0
(И)
1 dt.
Область Q1 в характеристических координатах (€, n) переходит в треугольную область вида Q1 = {(€, n) : 0 < € < П < r} , а начальные условия (5)-(6) переходят в условия
u(€,€) = т (€), [2(1 - а 1 - в1 )]—a1 -в1 lim (n - €Г+в1 (u^ - un ) = v(€). (12)
η→ξ
Удовлетворяя общее решение (11) условиям (12), находим
«(€)= ф(0 = - ^^- “1 - в 1)П2 1 v(€),
B (a1,e1) B(1 - a1,1 - e1)
где B(p, q) = R 1 tp - 1(1 — t)q - 1 dt — интеграл Эйлера первого рода (бета-функция).
Таким образом, решение задачи (12) для уравнения (9), в случае, когда |a| < mm имеет следующий вид:
<• п) = Biah?)/т [i + (n— s)t te1-1(1 — t>a1-1 dt о
— ^в— Г - в 1 ), а1а Т 1 (п — 5)‘-а1 -в1 / V15 + (п — 5)tl t-ai (1 — t)-e1 dt.
B(1 — « 1 , 1 — в1)
о
Возвращаясь к переменным (x,y), из последней формулы найдем
u ( x, y )
1 в(« 1 ,3 1 )
τ
о
X ■ 2 „ У m '22 (2t — 1)
m + 2
te 1 - 1(1 — t)a1-1 dt
B (1 — a1,1 — 3 1 )
/V
X ■ 2 „ y ' '22 (2t — 1)
m +2
t-ai (1 — t)-e1 dt.
Из (13) при условии (3) находим
u(x,y) U
B(a ,3 1 )
J т [x + (r — x)(2t — 1)] te1-1 (1 — t)ai-1 dt о
(1 — « 1 — 3 1 )a i +в 1 - 1
B (1 — a1,1 — 31)
( r — X )
1 - а 1 - в 1
j V [x + (r
— x)(2t — 1)] t a1 (1 — t) e1 dt = 3 1 (x).
С помощью замены s = x + (r — x)(2t — 1) последнее соотношение приводится к виду
(2r — 2x)1-a1 -e1 B (0 1 ,3 1 )
r
■ j т (s)(s + r
— 2x)e1 -1(r — s)a1 -1 ds
2 x - r
[2(B —“ 1 — e i ' 1 [ V (s)(s + r — 2x)-1 (r — s)-» 1 ds = 31 (x).
B (1 — « 1 , 1 — в1)
2x-r
2 x — r x
r
(r x)1-a1 — в1
-
[2(1 — a 1 — 3 1 )]a1 +в1-1
B(1 — a1,1 — 3 1 )
r
У v (t)(t — x)-a1 (r — t) - e 1 dt = 31 x
x + r
Воспользуемся далее следующим определением оператора дробного интегродифференцирования [14, с. 28]: оператором дробного (в смысле Римана — Лиувилля)
интегро-дифференцирования порядка |a| с началом в точке a Е [A, B] С R называется оператор Dax- который действ уст на функцию ^(t) Е L[A, B] по формуле:
x
ЩЩО = sg^x-al /ф - tr(“+i) ^(t) dt, Ц-a)
a
d[a]+i
Dax v(t) = sgn [a]+i(x-a) dx[a]+i Da^-Mt), a < 0,
a > 0,
где sgn [a]+i(z) означает знак числа z, а Г(х) — интеграл Эйлера второго рода (гамма-функция). С учетом приведенного выше определения, соотношение (14) перепишется в следующей форме:
Г(в1 )(r - x)1-a 1 -в1
B (а 1 ,в 1 )
D..." [т(t)(r - С ]
-
[2(1 - a i - в1 )Г+в1-1 Г(1 - a i ) B(1 - a i , 1 - ft)
Drx 1 [v(t)(r - t) e 1 ] = ft (x+r} -
Обращая уравнение (15) относительно функции v(x), находим
v(x) = Yi DT - ai в1 т(t) - Y2(r - х)в1 Dr - a 1
ft
t + r
где
2Г(1 - в№ + ei) r(ai)7i
Yi = Y2 =
r(ai)Г(1 - ai - ei) [2(1 - ai - ei)]a 1 +e 1 ’ r(ai + ei) ’
Так как т(x), ft (x+r) Е C[0,r], а т0(x), ft (xft) Е L[0,r], то пользуясь свойством оператора дробного дифференцирования порядка 0 < a < 1 [15, с. 43]
%Д0 = ftftr - x)-a - DHV(t), (17)
1(1 - a)
с учетом условия согласования т(r) = ft(r), выражение (16) перепишем в следующей форме:
v(x) = -71D-Y1 +в1)т0(t) + Y2(r - x)e 1 D-xa 1 <
t + r
Соотношение (18) есть основное фундаментальное соотношение между искомыми функ-пиями т (x) 11 v (x). npiiiicccuiioc из области Qi на. .ti пшю y = 0 в случает когда |a| < 22.
Если a = m^. то в уравпсшш (9) коэ(])(])пппспты a i = 0. ei = mm2 11 решение задачи (5)-(7) имеет вид [9, с. 15]
u(x, у) = т x +
_A_y_mm+2№ m+2
+ Z m + 2 J
Г 2 1
v x + m+2(-y)(m+2)/2 (2t - 1) (1 - t)-e 1 dt‘ (19)
Удовлетворяя (19) граничному условию (3) на характеристике н 2 = CiB, приходим к равенству
v(x) = (2 - 2ei) e 1 (r - x)e 1 ф° fx-y-r
Если же a = — mm, то « 1 = m^’ в1 = 0. Решение задачи (5)-7) в этом случае имеет вид [9, с. 15]
u(x, y) = т x--4( У''m ' 2 2
m + 2
2У [ m + 2 J V
x-
——(—y)(m+2)/2 (2t — 1) (1 — t)-a1 dt. 21 m+2
Из представления (21) с учетом условия (3) приходим к фундаментальному соотношению между функциями т (x) и v(x) следующего вида:
v(x) =
(2 — 2ai)-a1 Г(1 — ai)
— 2D-“ 1 т 0 (t) + D - x a 1 <
t + r
Аналогично, используя следующие представления решения задачи (5), (6), (8) в об ласти И2:
u(x, y)
B(a2, в2)
/т
x + 4"Ч y(n+2)/2 (2t — 1)
n + 2
te2-1(1 — t)a 2 -1 dt
+ Mx + "4?y(n+2)/2(2t — 1)1 ^2(1 — t)-e2 dt, |b| < _ (23)
B(1 — a2, 1 — в2 )J n + 2 J 2
u(x, y) = т x + _+-2y(n+2)/2
+ 2y [ v [x + -2_y(n+2)/2 (2t — 1)
(1 — t)e 2 dt,
b = n, (24)
n+2 n+2
u(x, y) = т x — n-2^y(n+2)/2
, 2y Г
+ n+d v 0
x-
y(n+2)/2 (2t — 1) (1 — t) - a 2 dt,
b = — 2, (25)
с учетом условия (4) находим следующие фундаментальные соотношения между функ-пиями т (x) 11 v (x). npiiiicccuiibic it;: области И2 на. лшшю вырождсиия J:
v(x) = YзD-x(a2+в2)т0(t) — Y4(r — x)e2 D - xa 2 ^2 (tY+2) ,
|ь| < 2,
v(x) = —(2 — 2в2) в2 (r — x)e2 ^2
x+r
n b =2 ’
v (x) =
(2 — 2a2)-a2 Г(1 — a2)
2D - xa 2 т 0 (t) — Draa2 ^2
t + r
b=
n
-
.
В формулах (23)—(28)
n — 2b n + 2b a2 = 2(n + 2)’ в2 = 2(n + 2);
_ 2Г(1 — в2)Г(а2 + в2) _ Г(а2 )y s
Г(а2)Г(1 — а2 — в2) [2(1 — а2 — в2)]а2+в2 г(а2 + в2)
Докажем сначала единственность решения задачи 1. Рассмотрим интеграл
r
J * _ j т (x)v (x) dx. о
При ^i (x) = 0 из соотношений (18). (20). (22) для различных значений a получаем соответственно равенства
V(x) _ - i DD^т 0(t), |a| < m (29)
v (x) _ 0, |
m a _ T; |
(30) |
, . 2(2 — 2aiTa 1 V (x) _ Г(1 — ai) |
-α1 0 m Drx т ( t ) , a _ 2 ■ |
(31) |
Воспользуемся следующим свойством положительности оператора дробного интегродифференцирования (в смысле Римана — Лиувилля) О" порядка a < 1 [16, с. 46]: для любого 0 < a < 1 и любой функции u(x) Е A"[0,r] скалярное произведение (u, O'ax u)o > 0. причем (u, D^xu^ o = 0 тогда ii только тогда, когда u _ 0.
В силу данного свойства при |a| < у из соотношения (29) с учетом (17) будем иметь, что
r
J* _ т (x)V (x) dx _
o
—Y1
r j т(x) Oj.'*' +в1)т0(t) dx o
r
J т (x) O'-^1 +в1)т(t) dx = Y1 o
( т (x)
O' - 1" 1 +в1 ) т (t))o > 0.
Стало быть, и при a _ — у из соотношения (31) так же получим неравенство J * > 0, а при a _ mm из (30) по.тунасм равенство J * _ 0.
Аналогично из соотношений (26)—(28) с учетом (17) в случае однородной задачи 1,
V(x) _ Y з O - a 2 +в 2 )т 0(t) _ —YaO'-^2 +в2)т(t), |b| < n (33)
v (x)_0, b _ n2; (34)
V(x) _
2(2 — 2a 2 )-a2
Г(1 — a2)
D-"2 т 0(t)
2(2 — 2a 2 )-a2
Г(1 — a2)
Or1x-a2 т (t),
n
.
Отсюда при |b| < П 11 b _ — П следует, нт о интеграл J * 6 0. а при b _ П пите гран J * _ 0.
Таким образом, при выполнении условия (2a — m)2 + (2b — n)2 _ 0 теоремы 1 для рассматриваемого интеграла J*, с одной стороны, имеет место неравенство J* > 0, а с другой J* 6 0. откуда зак.ттонаем. что J* _ 0. А равсиетво J* _ 0 в силу приведенного выше свойства положительности оператора дробного интегро-дифференцирования может иметь место в том и только в том случае, когда т(x) = 0. При этом из соотношений (29)—(31) и (33)—(35) следует, что и v(x) = 0. Тогда из формул (13), (19), (21), (23)—(25) заключаем, что u(x, у) = 0 в области П, откуда и вытекает единственность решения задачи 1.
Перейдем к доказательству существования решения задачи 1. Пусть вначале |a| < mm ii |b| < n. Для определеппост!i предположим, что m < n. При m > n исследование проводится аналогично. Исключая из соотношений (18) и (26) искомую функцию v(x), с учетом условий (3)-(4) относительно т 0 (x) приходим к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка
YiD-(ai +в1)т 0 (t) + Y3D-(a2 +в2)т0 (t)
т^1 D-aii( t + r ^ Y4(t D-a2i( t + r ^
= 2 (r - x) Drx ^1 I 2 / + 2 (r — x) Drx I 2 / , т (r) = Tr, где Tr = ^i(r) = ^2(r)-
Применим к обеим частям уравнения (36) оператор дробного дифференцирования DrxD1 и воспользуемся следующим законом композиции операторов дробного интегродифференцирования с одинаковыми началами [14, с. 44]:
Da |t - a|a+e Det^(s) = |x - a|e D^e |t - a|a V(t), который является справедливым для любых а G]0,1], в < 0 и ^(x) G L[0,г]. Тогда уравнение (36) перепишется в следующей форме:
т 0(x) + Y3 D - т 0 (t)= Fi (x), (38)
Yi где 5 = (а2 + в2) - (а1 + в1) = (m+n) (m+2) •
Fi(x) = ^(r — x)-aiD(r — t)ai+e1 < (', r) + T^Drx1 +в1 (r — t)e2 Dr" 2 ^2 f ss+r )• 2Yi 2 2Yi 2
Относительно т 0(x) уравнение (38) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода с ядром
K (x,t) = (t - x)5-1 /Г(5).
Интегрированными ядрами ядра K (x,t) служат функции
Kn(x,t) = (t-x)5-1 ]((-’+_5), n = 0,1,2’---’ а функция
R x, t;
-
Y3
Yi
∞
= X n=0
n
Kn (x, t) = (t - x)5 - 1E i /5
- ^ (t - x)5; 5
Y1
∞ где Ei/5(z; ц) = Е r(5k+E k=0
ядра K (x,t).
функция типа Миттаг-Леффлера, служит резольвентой
С помощью резольвенты R (x,t; — Y1) ядра K(x, t) решение уравнения (38) выписывается в явном виде по формуле т 0 (x) = F1 (x) —
r
У (t — x)5-1 E 1 /S x
— Y3(t — x)5 ; 5 γ 1
F 1 (t) dt,
откуда
r
т(x) = т(r) — [ L — Y3 ( t — x)5Ei/5 γ 1
x
— Y3 (t — x)5; 5 + 1 γ 1
F 1 (t) dt.
Для остальных значений параметров а и b решение т (x) задачи, получающейся после исключения функции v(x) из соответствующих фундаментальных соотношений находятся по формулам:
r
т(x) = т(r) — Л2- f ( r — t)-a1 D^ ( r — s)ai+e1< fs+r Adt 2Y1 2 /
x т (x) = т (r)
-
— Р — Da1+61-1(r — t)6 2 ф2 (+Д}
Y1 2 /
n
|a| ’ r / |1 — — (t — x)5Ei/5 γ1 x - Y6(t — x)5; 5 + 1 > F2(t) dt, γ1 |a| b= n 2’ r т(x) = т(r) — Y4- / (r — t)-a2D^ (r — s)a2+e2^2 fs+r) dt 2Y3 J \ 2 / x — Д-^Д^1 Da2+e2-1(r — t)e1 ^1 < t+rA, Y3 2 / m |b| n < 2’ т (x) = ^2 r+x - (2 — 2в) в1na^-l^ j-X^a 0' (r + t -----------DrX (r — t)ei ^1 -ф— Y6 2 m a = "2" ’ b= n 2’ r т (x) = т (r)"/ - x Y3 (t — x)5 E1/5 γ5 — Y3 (t — x)5 ’ 5 + 1 γ5 F3 (t) dt, m |b| < n ’ т (x) = ^1 r+x - (2 — 2в2 )-в2 γ5 D“X 1(r — t)e2 ^2 r +1 a= mb n _ r т (x) = т (r)-1 x - 76 (t-x)5Ei/5 γ5 - — (t — x)5; 5 + 1 γ5 F4(t) dt, a = m - 2 , b = n 2, где 21-a1 (1 - ai)-a1 21-a2 (1 - a2)-a2 75 = Г(1 - ai) , 76 = Г(1 - a2) ’ — 1v a пвщ. 7Щ1+в1.,( t + r A -)S /' ( t + r \ F2(x) = o Y2(r - x) Drx(r - t) Vi I Q l + Y6 DrxV2 I Q 2Yi L \ 2 / у 2 / F3 (x) = YD ' (r - t)e2 D-ta2 V2 (r+s) - 75V' (r+x) , 2Y5 L V 2 / V 2 /J F4(x) = 1— 75 Vi 2Y5 L r+x + Y6D-5 Vi r +t Если m = n, to ai + в1 = a2 + в2, а потому уравнение (36) в этом случае перепишется в следующем виде Drx(a1 +в1)т '(t) 2 (Yi + 7з) 72 (r - х)в1 Drxa1 ψ10 t + r t+r Решение задачи (37), (40) имеет вид т_ 72 Г)а1+в1/'т Пв1 D-a1qI r + s I D a2 +в2/'т 7-^2 D-a2-i( r + 8 1 т (x) = Q / . x Drx (r - t) Drt Vi I Q I + 74Drx (r - t) Drt V2 I Q I 2 (Yi + Y3) L V 2 /V 2 / откуда r т(x) = т(r) - 72—- Yr - t)-aiDrt(r - s)a1 +e1V' fr+s^dt 2 (Yi + Y3 )2 x r —74---- [ (r - t)-a2De2(r - s)a2 +e2V' (rr+sAdt. 2(71 + 73)V 2 x После того, как функция т(x) найдена по одной из перечисленных выше формул, функцию v(x) легко найти из соответствующих фундаментальных соотношений. Тогда решение исследуемой задачи 1 выписывается как решение задачи Коши для уравнения (1) в соответствующей области П1 ил и П2. B В случае, когда имеет место равенство (2a - m)2 + (2b - n)2 = 0 из (20) и (27) заключаем, что для разрешимости исследуемой задачи 1 необходимо, чтобы заданные (функции Vi(x) 11 V2(x) >"Довлстворяли условию (2 - 2в1 )-в1 (r - x)e1 Vi x+r ) +(2 - 2в2)-в2 (r - x)-e2 V2 (xy1 = 0. При выполнении равенства (41) однородная задача, соответствующая исследуемой задаче 1 имеет бесконечное множество линейно независимых решений вида u(x,y) = g x+ l + 2 I y|(l+2)/2 - g(r), где g(x) — произвольная <] >упктщя из класса. C 1[0, г] П C2]0, r[: l = m при y < 0 11 l = n при y > 0. Общее решение задачи 1 при соблюдении условия (41) дается формулой u(x,y) = g x + 732^lyl - g(r) + 2y l + 2 i /v • x+ 1+2 |y|(l+2)/2 (2t - 1) (1 - t)-l/(l+2) dt, ^ „V 4x) = (2 - 2в1)-в1 (r - «С C №) = -(2 - 2^2)-»- (r - x)-2C2 (x+r). Таким образом, в отличие от строго гиперболических уравнений, для которых однородная первая краевая задача, имеет только тривиальное решение [13], однородная первая краевая задача, для вырождающихся гиперболических уравнений вида. (1) при (2a - m)2 + (2b - n)2 = 0 будет иметь нетривиальное решение. Автор выражает благодарность А. М. Нахушеву за. постоянное внимание и поддержку.
Список литературы Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения
- Нахушев А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения//Докл. АН СССР.-1969.-Т. 187, № 4.-С. 736-739.
- Нахушев А. М. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений//Диф. уравнения.-1971.-Т. 7, № 1.-С. 49-56.
- Gellerstedt S. Sur un equation linearre aux derivees partieelles de type mixte//Arkiv Mat., Astr. och Fysik.-1937.-Bd. 25A, № 29.-P. 1-25.
- Кальменов Т. Ш. О характеристической задаче Коши для одного класса вырождающихся гиперболических уравнений//Диф. уравнения.-1973.-Т. 9, № 1.-С. 84-96.
- Нахушев А. М. К теории краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений//Сообщения АН ГССР.-1975.-Т. 77, № 3.-С. 545-548.
- Кумыкова С. К., Нахушева Ф. Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области//Диф. уравнения.-1978.-Т. 14, № 1.-С. 50-64.
- Кумыкова С. К. Краевая задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения//Диф. уравнения.-1980.-Т. 16, № 1.-С. 93-104.
- Салахитдинов М. С., Мирсабуров М. О некоторых краевых задачах для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области//Диф. уравнения.-1981.-Т. 17, № 1.-С. 129-136.
- Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения.-Минск: Вышэйшая школа, 1977.-160 с.
- Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов.-Самара: Самарский филиал СГУ, 1992.-161 с.
- Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных.-М.: Наука, 2006.-287 с.
- Кальменов Т. Ш. К теории начально-краевых задач для дифференциальных уравнений. Цикл научных работ Т. Ш. Кальменова.-Алматы: ИМММ, 2013.-406 с.
- Нахушев А. М. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа//Диф. уравнения.-1978.-Т. 14, № 1.-С. 66-73.
- Нахушев А. М. Уравнения математической биологии.-М.: Высшая школа, 1995.-301 с.
- Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.-Минск: Наука и техника, 1987.-688 с.
- Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение.-М.: Физматлит, 2003.-271 с.