Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения

xy

Г (-y)m Uxx - uyy + a(-y)^{(m 2)/2}Ux, y< 0, (ynUxx - Uyy + by^(n-2)/2 Ux,           y> 0,

где a. b. m. n — константы. причем m >  0. n >  0.

Через Q1 обозначим область, ограниченную характеристиками

^1 = AC1 ^: x — ^Д-У)'""^/² = 0'

^2 = C1B : x +--2-7: (-y/m+2/2 = r m + 2

уравнения (1) при y < 0. выходятщиш из точек A = (0, 0) 11 B = (r, 0). пересекаюнщмлея в точке C1 = (r/2, y1) ii отрсзком AB прямой y = 0. а через Q2 — область, ограниченную характеристиками ста = AC2 : x--2^y(n+2)/2 = 0, n+2

04 = C2B : x +      y'n+2)2 = r n+2

уравнения (1) при y > 0. выходятщиш из точек A 11 B. пересекающиеся в точке С₂ =

(r/2,y2) ii отрезком AB прямой у = 0. yi 9 = 91 U 9₂ U J. где J = {(x, 0) : 0 < x < r}

-

h r(m+) i^2/(m+2). y2 = h r(n+)^i2/(n+2)

— интервал AB прямой у = 0 (рис. 1).

Методами функционального анализа и интегральных уравнений в работе [1] была исследована краевая задача со смещением для уравнения (1) в случае, когда 91 = 0 и коэффициент b = 0. В работе [2] получена априорная оценка решения первой и второй задачи Дарбу для общего вырождающегося гиперболического уравнения uyy - k(y)uxx + a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = f (x, y)

с коэффициентом k(y) > 0 пр и у = 0, который может обращаться в нуль при у = 0. В случае, когда в уравнении (2) коэффициент k(y) = (-y)m, m = 1(mod2), а коэффициенты a(x,y). b(x,y). c(x,y) этого уравнения 11 его правая пасть f (x, y) удовлетворяют условиям Геллерстедта в работе [3] доказано существование и единственность функции Грина — Адамара G(x,y; Фп), с помощью которой выписывается решение второй задачи Дарбу для уравнения (2). В работе [4] были поставлены и исследованы характеристическая задача Коши и задача Гурса для класса вырождающихся внутри области гиперболических уравнений вида (2). В работе [5] сделаны некоторые обобщения по постановке и исследованию первой и второй задачи Дарбу для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения вида (2). В работе [6] в описанной выше области 9 для уравнения (1) при a = 0, b = 0 исследована краевая задача с разрывными условиями склеивания в случае, когда данные задаются на противоположных сторонах ст₂ и ста характеристического четырехугольника 9. Исследованию задачи со смещением для уравнения (1) в области 9 посвящена работа [7]. Задачи со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения, содержащего слагаемые с младшими производными исследованы в работе [8]. Достаточно полная библиография по вырождающимся гиперболическим уравнениям имеется в монографиях [9-12].

Регулярным в области 9 решением уравнения (1) назовем функцию u = u(x,y) из класса u(x, y) Е C (9) П C 1(9) П C ²(91 U 9₂); ux(x, 0), u_y (x, 0) E L(0, r), при подстановке которой уравнение (1) обращается в тождество.

В работе исследуется следующая

ЗАДАЧА 1. Найти регулярное в области 9 решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

u(x,y) = ^i(x) (V (x,y) Е СТ2),                                (3)

u(x, y) = ^2(x) (V (x, y) E CT4),                                  (4)

где ^1 (x). ^₂(x) — запанные фу1 iktiiiii из класса. C ¹[r/2,r], причем ^1 (r) = ^₂(r).

Задача 1 относится к классу краевых задач, определенному в работе [13] и названному в монографии [11, с. 236] первой краевой задачей для уравнения парабологиперболического типа.

Теорема 1. Пусть коэффициенты а и b уравнения (1) таковы, что lai 6 mm, |b| 6 n, (2a - m)2 + (2b - n)2 = 0-

Тогда существует единственное решение задачи 1.

C Введем обозначения:

uy(x, 0) = v(x), 0 < x < r.(6)

В области Qi уравнение (1) совпадает с вырождающимся гиперболическим уравнением вида

(—y)m uxx - uyy + а(—у)^т 2)/2ux = 0,(О порядок вырождения которого равен m, а в об ласти Q2 — с уравнением ynUxx - Uyy + by^n-2)/2Ux = 0(8)

n

Найдем решение задачи Коши (5)-(7). В характеристических координатах

€ = x--^(-y)^2)/2, П = x + —27^(-m+2

уравнение (7) приводится к уравнению Эйлера — Дарбу — Пуассона д2 u в1 du“1

∂ξ ∂η ξ - η ∂ξ   ξ - η ∂η , m—2am+2a

“    2(m+2)'   , ,     '2_

Пусть вначале |a| < -^ Общее решение уравнения (9) в этом случае выписывается по формуле [9, с. 14]

η

u(€, n) = (n - €)^{1-a1 -в1} j ^(s)(s - €)^в1-1(п - s)^ai-1 ds ξ

(Ю)

η

+ У Ф(s) (s - €)—a1 (n - s)—e1 ds, ξ где Ф(s) л Ф(s) — произвольные <] >упктщп из класса. C[0, г] П C2]0,r[.

Положив s = € + t(n — €) представление (10) перепишем в следующей форме:

u(€,n) = (n - €)^1—ai—в1 j Ф[€ + (n - €)t] t^—ai (i -1)^—в1 dt 0

+ / «К + (n - €)t]t^e 1 ^-1(i - t)^ai 0

(И)

¹ dt.

Область Q1 в характеристических координатах (€, n) переходит в треугольную область вида Q1 = {(€, n) ^: 0 < € < П < r} , ^а начальные условия (5)-(6) переходят в условия

u(€,€) = т (€),   [2(1 - а 1 - в1 )]^—a1 -^в1 lim (n - €Г^+в1 (u^ - un ) = v(€).      (12)

η→ξ

Удовлетворяя общее решение (11) условиям (12), находим

«(€)=           ф₍₀ = - ^^- “1 - ^в 1^)П2 ¹ v(€),

B (a1,e1)                  B(1 - a1,1 - e1)

где B(p, q) = R 1 t^{p - 1}(1 — t)q ^{- 1} dt — интеграл Эйлера первого рода (бета-функция).

Таким образом, решение задачи (12) для уравнения (9), в случае, когда |a| < mm имеет следующий вид:

<• п) = Biah?)/^{т [i + (}n^{— s)}t t^e1^{-1(1 —} t>^a1-1 dt о

— ^в^— Г - ^в 1 ^{), а}1а Т ¹ (п — 5)‘-^а1 ^-в1 / V15 + (п — 5)tl t^-ai (1 — t)^-e1 dt.

B(1 — « 1 , 1 — в1)

о

Возвращаясь к переменным (x,y), из последней формулы найдем

u ( x, y )

1 в(« 1 ,3 1 )

τ

о

X ■    2 „ У m '22 (2t — 1)

m + 2

t^e 1 ^{- 1}(1 — t)^a1-1 dt

^{B (1 — a}1,^{1 —} 3 1 )

/V

X ■    2 „ y ' '22 (2t — 1)

m +2

t^-ai (1 — t)^-e1 dt.

Из (13) при условии (3) находим

u(x,y) U

B(a ,3 1 )

J т [x + (r — x)(2t — 1)] t^e1^-1 (1 — t)^ai-1 dt о

(1 — « 1 — 3 1 )^{a i +в 1 - 1}

^{B (1 — a}1,^{1 —} 31)

( r — X )

1 - а 1 - в 1

j V [x + (r

— x)(2t — 1)] t ^a1 (1 — t) ^e1 dt = 3 1 (x).

С помощью замены s = x + (r — x)(2t — 1) последнее соотношение приводится к виду

(2r — 2x)^{1-a1 -e}1 B (0 1 ,3 1 )

r

■ j т (s)(s + r

— 2x)^e1 ^-1(r — s)^{a1 -1} ds

2 x - r

^[2(B —“ 1 — ^e i '     ¹ [ V (s)(s + r — 2x)-1 (r — s)-» 1 ds = 31 (x).

B (1 — « 1 , 1 — в1)

2x-r

2 x — r      x

r

(r   x)1-a1 — в1

-

[2(1 — a 1 — 3 1 )]^{a1 +в1-1}

^{B(1 — a}1,^{1 —} 3 1 )

r

У v (t)(t — x)^-a1 (r — t) ^{- e} 1 dt = 31 x

x + r

Воспользуемся далее следующим определением оператора дробного интегродифференцирования [14, с. 28]: оператором дробного (в смысле Римана — Лиувилля)

интегро-дифференцирования порядка |a| с началом в точке a Е [A, B] С R называется оператор Dax- который действ уст на функцию ^(t) Е L[A, B] по формуле:

x

ЩЩО = sg^x-al /ф - tr⁽“⁺ⁱ⁾ ^(t) dt, Ц-a)

a

d[a]+i

Dax v(t) = sgn [a]+i(x-a) dx[a]+i Da^-Mt), a < 0,

a > 0,

где sgn [a]+i(z) означает знак числа z, а Г(х) — интеграл Эйлера второго рода (гамма-функция). С учетом приведенного выше определения, соотношение (14) перепишется в следующей форме:

Г(в1 )(r - x)^1-a 1 ^-в1

B (а 1 ,в 1 )

D..." [т(t)(r - С ]

-

[2(1 - a i - в1 )Г^+в1-1 Г(1 - a i ) B^{(1 - a} i , ^{1 -} ft)

Drx ¹ [^{v(t)(r -} t) ^e 1 ] = ft (x+r} -

Обращая уравнение (15) относительно функции v(x), находим

^v(x) = Yi DT - ^{ai в1} т^{(t) -} Y2^{(r -} х^)в1 Dr - ^a 1

ft

t + r

где

2Г(1 - в№ + ei)               r(ai)7i

Yi =                                           Y2 =

r(ai)Г(1 - ai - ei) [2(1 - ai - ei)]^a 1 ^+e 1 ’          r(ai + ei) ’

Так как т(x), ft (x+r) Е C[0,r], а т0(x), ft (xft) Е L[0,r], то пользуясь свойством оператора дробного дифференцирования порядка 0 < a < 1 [15, с. 43]

%Д0 = ftftr - x)-a - DHV(t),              (17)

1(1 - a)

с учетом условия согласования т(r) = ft(r), выражение (16) перепишем в следующей форме:

v(x) = -71D-Y^{1 +в1)}т0(t) + Y2(r - x)^e 1 D-x^a 1 <

t + r

Соотношение (18) есть основное фундаментальное соотношение между искомыми функ-пиями т (x) 11 v (x). npiiiicccuiioc из области Qi на. .ti пшю y = 0 в случает когда |a| < ²2.

Если a = m^. то в уравпсшш (9) коэ(])(])пппспты a _i = 0. e_i = mm2 ¹¹ решение задачи (5)-(7) имеет вид [9, с. 15]

u(x, у) = т x +

_A_y_mm+²№ m+2

+ Z m + 2 J

Г 2                                1

v x + m+2(-y)^(m+2)/² (2t - 1) (1 - t)-^e 1 dt‘ (¹⁹)

Удовлетворяя (19) граничному условию (3) на характеристике н ₂ = CiB, приходим к равенству

v(x) = (2 - 2ei) ^e 1 (r - x)^e 1 ф° fx-y-r

Если же a = — mm, то « 1 = m^’ в1 = 0. Решение задачи (5)-7) в этом случае имеет вид [9, с. 15]

u(x, y) = т x--4( У''m ' 2 2

m + 2

2У [ m + 2 J ^V

x-

——(—y)(m+2)/2 (2t — 1) (1 — t)-a1 dt. 21 m+2

Из представления (21) с учетом условия (3) приходим к фундаментальному соотношению между функциями т (x) и v(x) следующего вида:

v(x) =

(2 — 2ai)-a1 Г(1 — ai)

— 2D-“ 1 т 0 (t) + D ^- _x ^a 1 <

t + r

Аналогично, используя следующие представления решения задачи (5), (6), (8) в об ласти И2:

u(x, y)

B(a2, в2)

/т

x + 4"Ч y(n+2)/2 (2t — 1)

n + 2

t^e2^-1(1 — t)^a 2 ^-1 dt

+                 Mx + "4?y^(n+2)/2(2t — 1)1 ^2(1 — t)^-e2 dt, |b| < _ (²³)

B(1 — a2, 1 — в2 )J        n + 2               J                          2

u(x, y) = т x + _+-2y^(n+2)/2

+ 2y [ v [x + -2_y(n+2)/2 (2t — 1)

(1 — t)^e 2 dt,

b = n, ⁽²⁴⁾

n+2       n+2

u(x, y) = т x — n-²^y^(n+2)/2

, 2y Г

⁺ n+d ^v 0

x-

y^(n+2)/2 (2t — 1) (1 — t) ^{- a} 2 dt,

b = — 2, (25)

с учетом условия (4) находим следующие фундаментальные соотношения между функ-пиями т (x) 11 v (x). npiiiicccuiibic it;: области И₂ на. лшшю вырождсиия J:

v(x) = YзD-x^(a2+в2)т0(t) — Y4(r — x)^e2 D - x^a 2 ^2 (tY+2) ,

|ь| < 2,

v(x) = —(2 — 2в2) в2 (r — x)e2 ^2

x+r

n b =2 ’

v (x) =

(2 — 2a2)-a2 Г(1 — a2)

2D - x^a 2 т 0 (t) — D_ra^a2 ^2

t + r

b=

n

-

.

В формулах (23)—(28)

n — 2b          n + 2b a2 = 2(n + 2)’ в2 = 2(n + 2);

_ 2Г(1 — в2)Г(а2 + в2)      _ Г(а2 )y s

Г(а2)Г(1 — а2 — в2) [2(1 — а2 — в2)]а2+в2         г(а2 + в2)

Докажем сначала единственность решения задачи 1. Рассмотрим интеграл

r

J * _ j т (x)v (x) dx. о

При ^i (x) = 0 из соотношений (18). (20). (22) для различных значений a получаем соответственно равенства

V(x) _ - i DD^т 0(t), |a| < m                  (29)

v (x) _ 0,	m a _ T;	(30)
, .      2(2 — 2aiTa 1 V (x) _ Г(1 — ai)	-α1 0            m Drx т ( t ) ,   a _   2 ■	(31)

Воспользуемся следующим свойством положительности оператора дробного интегродифференцирования (в смысле Римана — Лиувилля) О" порядка a < 1 [16, с. 46]: для любого 0 < a <  1 и любой функции u(x) Е A"[0,r] скалярное произведение (u, O'ax u)o > 0. причем (u, D^xu^ o = 0 тогда ii только тогда, когда u _ 0.

В силу данного свойства при |a| < у из соотношения (29) с учетом (17) будем иметь, что

r

J* _   т (x)V (x) dx _

o

—Y1

r j т(x) Oj.'*' +в1)т0(t) dx o

r

J т (x) O'-^^{1 +в1)}т(t) dx = Y1 o

( ^{т (x)}

O' - ¹" ^{1 +в}1 ) т (t))_o > 0.

Стало быть, и при a _ — у из соотношения (31) так же получим неравенство J * > 0, а при a _ mm из (30) по.тунасм равенство J * _ 0.

Аналогично из соотношений (26)—(28) с учетом (17) в случае однородной задачи 1,

V(x) _ Y з O - ^{a 2 +в 2 )}т 0(t) _ —YaO'-^^{2 +в}2)т(t), |b| < n              (33)

^{v (x)_0,}   b ^_ n2;                                (34)

V(x) _

2(2 — 2a ₂ )-^a2

Г(1 — a2)

D-"² т 0(t)

2(2 — 2a ₂ )-^a2

Г(1 — a2)

Or1x-a2 т (t),

n

.

Отсюда при |b| < П 11 b _ — П следует, нт о интеграл J * 6 0. а при b _ П пите гран J * _ 0.

Таким образом, при выполнении условия (2a — m)2 + (2b — n)2 _ 0 теоремы 1 для рассматриваемого интеграла J*, с одной стороны, имеет место неравенство J* > 0, а с другой J* 6 0. откуда зак.ттонаем. что J* _ 0. А равсиетво J* _ 0 в силу приведенного выше свойства положительности оператора дробного интегро-дифференцирования может иметь место в том и только в том случае, когда т(x) = 0. При этом из соотношений (29)—(31) и (33)—(35) следует, что и v(x) = 0. Тогда из формул (13), (19), (21), (23)—(25) заключаем, что u(x, у) = 0 в области П, откуда и вытекает единственность решения задачи 1.

Перейдем к доказательству существования решения задачи 1. Пусть вначале |a| < mm ii |b| < n. Для определеппост!i предположим, что m < n. При m > n исследование проводится аналогично. Исключая из соотношений (18) и (26) искомую функцию v(x), с учетом условий (3)-(4) относительно т 0 (x) приходим к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка

YiD-^{(ai +в1)}т 0 (t) + Y3D-^(a2 ^+в2)т⁰ (t)

т^¹ D^-aii( t ⁺ r ^    ^Y4(t      D^-a2i( t ⁺ r ^

= 2 (r - x) Drx ^1 I 2 / + 2 (r — x) Drx     I 2 / , т (r) = Tr, где Tr = ^i(r) = ^2(r)-

Применим к обеим частям уравнения (36) оператор дробного дифференцирования DrxD¹ и воспользуемся следующим законом композиции операторов дробного интегродифференцирования с одинаковыми началами [14, с. 44]:

Da |t - a|a+e Det^(s) = |x - a|e D^e |t - a|a V(t), который является справедливым для любых а G]0,1], в < 0 и ^(x) G L[0,г]. Тогда уравнение (36) перепишется в следующей форме:

т 0(x) + ^Y3 D - т 0 (t)= Fi (x),                           (38)

Yi где 5 = (а2 + в2) - (а1 + в1) = (m+n) (m+2) •

Fi(x) = ^(r — x)-^aiD(r — t)^ai+e1 < (', r) + T^Drx1 ^+в1 (r — t)^e2 Dr" ² ^2 f ss+r )• 2Yi                                    2       2Yi                               2

Относительно т 0(x) уравнение (38) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода с ядром

K (x,t) = (t - x)^5-1 /Г(5).

Интегрированными ядрами ядра K (x,t) служат функции

Kn(x,t) = (t-x)5-1 ]((-’+_5), n = 0,1,2’---’ а функция

R x, t;

-

Y3

Yi

∞

= X n=0

n

Kn (x, t) = (t - x)^{5 - 1}E i /5

- ^ (t - x)⁵; 5

Y1

∞ где Ei/5(z; ц) = Е r(5k+E k=0

ядра K (x,t).

функция типа Миттаг-Леффлера, служит резольвентой

С помощью резольвенты R (x,t; — Y1) ядра K(x, t) решение уравнения (38) выписывается в явном виде по формуле т 0 (x) = F1 (x) —

r

У (t — x)^5-1 E 1 /S x

— ^Y3(t — x)⁵ ; 5 γ 1

F 1 (t) dt,

откуда

r

^т(x) = ^т(r) ^— [ L ^{— Y}3 ^{( t —} x)⁵Ei/5 γ 1

x

— Y3 (t — x)⁵; 5 + 1 γ 1

F 1 (t) dt.

Для остальных значений параметров а и b решение т (x) задачи, получающейся после исключения функции v(x) из соответствующих фундаментальных соотношений находятся по формулам:

r

^т(x) = ^т(r) ^— Л2- f ⁽ r ^{— t)-a1} D^ ⁽ r ^— s^)ai+e1< fs+r Adt ²Y1                                     ²  /

x т (x) = т (r)

-

— Р —       Da₁₊₆₁-1_(r — t)₆ 2 ф₂ (+Д}

Y1                               2 /

n

|a|

’

r

/ |1 — — (t — x)5Ei/5 γ1

x

-

Y6(t — x)⁵; 5 + 1 > F₂(t) dt, γ1

|a| ,

b=

n

2’

r

т(x) = т(r) — ^Y4- / (r — t)^-a2D^ (r — s)^a2^+e2^2 fs+r) dt ²Y3 J                                \ ² /

x

— Д-^Д^¹ D^a2+e₂^-1(r — t)^e1 ^1 < t+rA,

Y3                               2 /

m

|b|

n

< 2’

т (x) = ^2

r+x

-

^{(2 — 2в}) ^в1na^-l^ j-X^a 0' (^{r +} t

-----------DrX ^{(r — t)ei} ^1 -ф—

Y6                            2

m a = "2" ’

b=

n

2’

r

т (x) = т

(r)"/

-

x

Y3 (t — x)5 E1/5 γ5

— ^Y3 (t — x)⁵ ’ 5 + 1 γ5

F3 (t) dt,

m

|b|

< n ’

т (x) = ^1

r+x

-

(2 — 2в2 )-в2 γ5

D“X 1(r

— t)^e2 ^2

r +1

a=

mb n _

r

т (x) = т

^(r)-1

x

^- 76 ⁽t^-x⁾⁵Ei/₅ γ5

- — (t — x)⁵; 5 + 1 γ5

F4(t) dt,

a =

m

-

2 ,

b =

n

2,

где

2^1-a1 (1 - a_i)^-a1          2^1-a2 (1 - a₂)^-a2

• ⁷⁵ =    Г(1 - ai)    ,  ⁷⁶ =    Г(1 - a2)    ’

• — ¹_v a пвщ. 7Щ1+в1.,( t ⁺ r A      -)S /' ( t ⁺ r \

F2^(x) = o    ^Y2^{(r - x)}    Drx^{(r -} t)      ^Vi I _Q l ^{+ Y}6 Drx^V2 I _Q

2Yi L                                   \ 2 /               у 2 /

F3 (x) = ^YD ' (r - t)^e2 D-t^a2 V2 (r+s) - 75V' (r+x) ,

2Y5 L                        V 2 /         V 2 /J

F4^(x) = 1— 75 Vi 2Y5 L

r+x

+ Y6D^-5 Vi

r +t

Если m = n, to ai + в1 = a2 + в2, а потому уравнение (36) в этом случае перепишется в следующем виде

Drx^(a1 ^+в1)т '(t)

2 (Yi + 7з)

72 ^{(r - х)в1} Drx^a1

ψ10

t + r

t+r

Решение задачи (37), (40) имеет вид т_     72       Г)а1+в1/'т Пв1 D-a1qI r + s I      D a2 +в2/'т 7-^2 D-a2-i( r + 8 1

^{т (x)} = _Q /    . x  Drx    ^{(r -} t)  Drt  Vi I _Q I ⁺ 74Drx    ^{(r -} t)  Drt  V2 I _Q I

2 (Yi + Y3) L                         V 2 /V 2 / откуда

r

• ^т(x) = ^т(r) -    ⁷²—- ^Yr - t^)-aiDrt⁽r - s^)a1 ^+e1^V' fr+s^dt

2 (Yi + Y3 )2

x

r

• —⁷⁴---- [ (r - t)^-a2De2(r - s)^a2 ^+e2V' (rr+sAdt.

2(71 + 73)V 2

x

После того, как функция т(x) найдена по одной из перечисленных выше формул, функцию v(x) легко найти из соответствующих фундаментальных соотношений. Тогда решение исследуемой задачи 1 выписывается как решение задачи Коши для уравнения (1) в соответствующей области П₁ ил и П₂. B

В случае, когда имеет место равенство (2a - m)2 + (2b - n)2 = 0 из (20) и (27) заключаем, что для разрешимости исследуемой задачи 1 необходимо, чтобы заданные (функции Vi(x) 11 V2(x) >"Довлстворяли условию

(2 - 2в1 )^-в1 (r - x)^e1 Vi

x+r ) +(2 - 2в2)^-в2 (r - x)^-e2 V2 (xy¹

= 0.

При выполнении равенства (41) однородная задача, соответствующая исследуемой задаче 1 имеет бесконечное множество линейно независимых решений вида

u^(x,y⁾ = g

x+

l + 2

I y|^(l+2)/2 - g(r),

где g(x) — произвольная <] >упктщя из класса. C 1[0, г] П C²]0, r[: l = m при y < 0 11 l = n при y > 0. Общее решение задачи 1 при соблюдении условия (41) дается формулой

u^(x,y) = g

x + 732^lyl

- g(r)

+

2y l + 2

i

/v •

x⁺ 1+2

|y|^(l+2)/2 (2t - 1) (1 - t)^-l/(l+2) dt,

^ „V 4x) = (2 - 2в1^)-в1 (r - «С C №) = -(2 - 2^2)-»- (r - x)^-2C2 (x+r).

Таким образом, в отличие от строго гиперболических уравнений, для которых однородная первая краевая задача, имеет только тривиальное решение [13], однородная первая краевая задача, для вырождающихся гиперболических уравнений вида. (1) при (2a - m)2 + (2b - n)2 = 0 будет иметь нетривиальное решение.

Автор выражает благодарность А. М. Нахушеву за. постоянное внимание и поддержку.