Пирсовский пучок полуколец для полукольца с инволюцией

Лицензировано по CC BY 4.0. Чтобы посмотреть копию этой лицензии, посе тите

Введение и первоначальные понятия

Представление алгебр сечениями пучков является известным и хорошо зарекомендовавшим себя методом исследования алгебр. Смысл использования пучков заключается в том, что изучаемая абстрактная алгебра интерпретируется как алгебра непрерывных функций. Как правило, при пучковых представлениях выбираются конструкции пучков с более простыми алгебрами-слоями; привлечение топологических свойств пучков часто позволяет глубже понять структуру представляемого объекта. Настоящая статья посвящена пирсовским представлениям полуколец с инволюцией.

Пирсовские пучки являются наиболее востребованными пучковыми конструкциями. Это обуславливается тем, что пирсовский пучок имеет хорошее базисное пространство, а само пирсовское представление является изоморфным для всех алгебр, к которым применимы пучковые представления (кольца, ограниченные дистрибутивные решетки, почти-кольца, решеточно упорядоченные группы и кольца, полукольца). Изоморфные пирсовские представления имеют также кольца и полукольца с инволюцией.

Основная идея нашей статьи следующая. Рассмотрим полукольцо S с инволюцией. Для него имеются два пирсовских пучка - пучок полуколец P(S) и пучок полуколец с инволюцией P * (S). Полукольцо, изоморфное полукольцу с инволюцией, является полукольцом с инволюцией. Поэтому полукольцо r(P(S)) всех глобальных сечений пирсов-ского пучка является полукольцом с инволюцией. Очевидно, что сечение а * будет сопряженным к сечению а. Одна из задач заключается в нахождении связи между значениями сечений а * и а в каждом слое (еще раз подчеркнем, что в слоях инволюции нет). Для этого мы рассматриваем преобразование пирсовского пучка P(S), при котором с помощью инволюции на S переставляются как точки базисного пространства пучка, так и соответствующие пирсовские слои. Полученное преобразование задает антиавтоморфизм пирсовского пучка (теорема 1), который позволяет указать вид инволюции полукольца глобальных сечений r(P(S)) (теорема 2).

Начнем с основных определений.

Под полукольцом мы понимаем алгебру (S, +, •, 0,1), которая является коммутативной полугруппой с нулем относительно сложения, полугруппой с единицей относительно умножения, умножение дистрибутивно справа и слева относительно сложения, нуль мультипликативен (т. е. справедливо условие а0 = 0 = 0а для любого а 6 S). Будем рассматривать полукольца с единицей, отличной от нуля.

Определение 1. Полукольцо S называется *- полукольцом (или полукольцом с инволюцией ), если существует антиавтоморфизм * : а ^ а* полукольца S:

а ** = а, (а + Ь) = а * + Ь * , (аЬ) = Ь*а*.

Примеры полуколец с инволюцией.

• 1.    Любое кольцо с инволюцией является *-полукольцом.

• 2.    Любое коммутативное полукольцо можно рассматривать как полукольцо с тождественной (а * = а) инволюцией.

• 3.    Полное полукольцо матриц есть *-полукольцо, где в качестве инволюции берется транспонирование матриц.

• 4.    Пусть В - конечная булева алгебра, т - произвольная перестановка второго порядка атомов (т.е. т раскладывается в произведение независимых транспозиций). Для любого ненулевого а 6 В имеем а = е 1 + —+ e_k для однозначно

определенных атомов e i . Положим а* = т(е 1 ) + —+ т(е_к). Стандартно проверяется, что * - инволюция на В . Более того, любая инволюция * на В задается некоторой перестановкой атомов, поскольку, легко показать, как каждый атом переводит в атом.

Определение 2. Тройка (П,п,Х) называется пучком полуколец , если выполняются условия:

• 1)    П,X - топологические пространства;

• 2)    п: П ^ X - локальный гомеоморфизм;

• 3)    для любого х £ X П_% = п ^-1 (х) - полукольцо;

• 4)    сложение, умножение в каждом П_% являются непрерывными операциями;

• 5)    отображения, сопоставляющие каждому х £ X нуль и единицу из П_% , непрерывны.

Если в пункте 3) заменить полукольцо на *-полукольцо, а в пункте 4) потребовать непрерывность инволюции, рассматриваемой как унарная операция, то получим определение пучка *-полуколец.

Пространства X и П называются базисным и накрывающим соответственно; П_% называется слоем пучка. Непрерывное отображение о: X ^ П, определенное на всем X и такое, что о(х) £ П_% называется глобальным сечением ; непрерывное отображение, определенное на открытом подмножестве базисного пространства, называется локальным сечением . Локальные сечения образуют базис открытых множеств накрывающего пространства.

Множество Г(П) всех глобальных сечений с послойно определенными операциями образует полукольцо. Пучковым представлением полукольца S называется произвольный гомоморфизм S в полукольцо глобальных сечений пучка П.

Основными конструкциями, интересующими нас, являются пирсовские пучок полуколец и пучок *-полуколец. Напомним их строение.

• I.    Пусть S - произвольное полукольцо.

• 1)    Мультипликативный идемпотент e = e ² £ S называется центральным дополняемым , если для любого а £ S выполняется ае = еа и найдется такой элемент е ¹ , что е + е ¹ = 1 и ее ¹ = 0. Элемент е ¹ находится однозначно и также является центральным дополняемым идемпотентом.

• 2)    Обозначим через BS множество всех центральных дополняемых идемпотентов полукольца S. Положим для е,/ £ BS:

е V / = е/1 + / = е1/ + е, е Л / = е/.

Тогда (BS,V,Л) - булева алгебра. Элемент е ¹ , определенный в пункте 1), будет также дополнением к е в булевой алгебре BS . Порядок в BS задается стандартно: е < / ^ е = е/.

• 3)    Пусть Max BS - множество всех максимальных идеалов булевой алгебры BS. С топологией Стоуна-Зарисского Max BS становится топологическим пространством с открытыми множествами вида

^(Л) = {М £ MaxBS:Л £ М)

для произвольного идеала А из BS. Пространство Max BS является нульмерным компактом, т. е. компактным хаусдорфовым пространством с базисом открыто-замкнутых множеств вида d(e) = {М Е Max BS: е £ М], е Е BS.

• 4)    Рассмотрим конгруэнцию р_м на полукольце S , положив для произвольных a,b ES, М Е MaxBS:

а = b (mod р_м) ^ ае = be для некоторого е Е BS \ М.

Факторполукольцо S/p_M называется пирсовским слоем полукольца S.

• 5)    Наконец, пирсовский пучок полукольца S имеет вид

(P(S),Max BS), где P(S) - накрывающее пространство пучка, являющееся дизъюнктным объединением пирсовских слоев S/pM по всем точкам базисного пространства MaxBS.

Рассмотренная конструкция является обобщением классического пучка колец, введенного в обиход Р.С. Пирсом в 1967 г. [1]; в этой же работе получено изоморфное представление произвольного кольца сечениями своего пирсовского пучка (theorem 4.4). Изоморфизм пирсовского представления произвольного полукольца установлен В.В. Черм-ных в 1993 г. (см. теорема 3 в [2]).

• II.    Конструкция пирсовского пучка *-полуколец имеет следующие отличия от пир-совского пучка полуколец.

Пусть S - произвольное *-полукольцо. Элемент а Е S называется самосопряженным , если а* = а. Дополняемый самосопряженный идемпотент называется проекцией . Обозначим через B*S булеву алгебру всех центральных проекций. Пространство Max B * S - множество всех максимальных идеалов кольца B*S c топологией Стоуна-За-рисского. Рассмотрим конгруэнцию p M на *-полукольце S, положив для произвольных a,b ES,М Е MaxB * S:

а = b (mod p M ) ^ ае = be для некоторого е Е B*S \ М.

Факторполукольцо S/p*_M называется пирсовским слоем *-полукольца S. Тогда пирсовский пучок *-полукольца S имеет вид

(P*(S),MaxB*S), где P*(S) - накрывающее пространство пучка, являющееся дизъюнктным объединением пирсовских слоев S/pM по всем точкам базисного пространства MaxB*S.

Пример. Приведем простой пример, показывающий отличия пирсовского пучка полуколец и пирсовского пучка * -полуколец для * -полукольца. Пусть B - восьмиэлементная булева алгебра с атомами а, b, с, а инволюция на B задана условиями а* = b и с* = с. Тогда пирсовский пучок P(B) полуколец имеет трехточечное базисное пространство, а его слои двухэлементны. В свою очередь пирсовский пучок P * (B) *-полуколец содержит два слоя, один из которых двухэлементная, а другой – четырехэлементная булева алгебра.

Впервые изоморфное пирсовское представление было получено для произвольного *-кольца К. Салавовой [3], для *-полукольца - Р.В. Марковым [4]. Если S - произвольное полукольцо, то элементу s Е S при пирсовском представлении соответствует глобальное сечение S, где S(М) = s_M - класс элемента s в пирсовском слое S/p_M .

Постановка задач

Во-первых, отметим, что полукольцо, изоморфное полукольцу с инволюцией, также является полукольцом с инволюцией. Действительно, пусть 5" - *-полукольцо, Т -полукольцо, р - полукольцевой изоморфизм. Для любого t Е Т положим t * = p(s * ) где ((s') = t. Тогда t ** = (p(s * )) = p(s ** ) = ((s') = t. Если и = ((v), то из p(sv) = tu следует (tu)* = (((svY) = p(v*s*) = ((v^p^s *) = u * t * . Таким же образом устанавливается, что (t + и) * = t * + и * .

Пусть сейчас 5 - *-полукольцо. Будем рассматривать 5 как полукольцо, забыв об инволюции, и пусть (P(5),MaxB5) - его пирсовский пучок полуколец (не * -полуколец!). Поскольку 5 изоморфно полукольцу Г = Г(Р(5)), то полукольцо Г является полукольцом с инволюцией. Легко проверяется, что для произвольного сечения ci Е Г, а Е 5, сопряженный к нему элемент (а)* - глобальное сечение а * . Пирсовские слои полукольца 5 в общем не являются полукольцами с инволюцией, поэтому мы не можем оперировать элементами вида (а_м) * . Возникают следующие вопросы:

• 1)    Как связаны значения сечений ci и а* в произвольной точке пирсовского пучка?

• 2)    Конгруэнцию р на * -полукольце 5 будем называть стабильной относительно инволюции * (или * - конгруэнцией ), если а = b(mod р) ^ а * = b*(mod р) . Пусть р - * -конгруэнция на 5, тогда факторполукольцо 5/р становится полукольцом с инволюцией, если положить а р = (а * )_р для любого а_р Е 5/р. Когда пирсовская конгруэнция на *-по-лукольце 5 является *-конгруэнцией?

Основные результаты

Исследования пирсовского пучка полуколец * -полукольца 5 позволило заметить связанное с инволюцией преобразование пирсовского пучка Р(5). Для описания этого преобразования потребуется понятие изоморфизма пучков. Заметим, что пучок кроме алгебраической имеет и топологическую составляющую, поэтому совпадение соответствующих слоев двух пучков, даже на одном и том же базисном пространстве, еще не позволяет сделать вывод о каком-либо равенстве пучков. Наиболее употребительное определение изоморфизма пучков дается через рассмотрение пучков как предпучков. При таком подходе с каждым открытым множеством U базисного пространства связано полукольцо P(U) (это в случае, если мы рассматриваем пучок полуколец, а если работаем с пучком алгебр сигнатуры П, то P(U) - алгебра сигнатуры П). Тогда для совпадения пучков требуется гомеоморфизм базисных пространств и изоморфизм полуколец над соответствующими при этом гомеоморфизме открытыми множествами. Поскольку пучок определяется нами в терминах расслоенного пространства, то мы используем следующее определение изоморфизма пучков.

Определение 3. Пусть П - пучок полуколец П_х над пространством X, Л - пучок полуколец Л у над пространством Y . Изоморфизмом пучков П и Л называется гомеоморфизм ф: Y чХи семейство {f y -y Е Y} изоморфизмов f y : П ^(у) ч Л у , таких, что для любого локального сечения а на открытом множестве U ^ X пучка П отображение в, определенное по формуле

в(У) = f y (а(ф⁽У))),У Е ф^-1(и), непрерывно.

Для любого подмножества А *-полукольца 5 положим

А * = {а* Е 5: а Е А}.

Лемма 1. Пусть S - * -полукольцо, a,b Е BS. Тогда справедливы утверждения:

1)    (a1)* = (a*)1; 2)    (aVb) = a^Vb*; 3)    если M Е Max BS, то М* Е Max BS.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Проверяется стандартно.

Лемма 1 позволяет определить отображение:

ф:Max BS ^ Max BS, такое, что ф(М) = М * .

Лемма 2. Отображение ф является гомеоморфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Поскольку (М * ) * = {е*. е Е М*} = {(е * ) * : е Е М} = {е: е Е М} = М, то ф = ф ^-1 . Поэтому, чтобы показать, что биекция ф является гомеоморфизмом, достаточно показать непрерывность ф .

Пусть д(е) = {М Е MaxBS:е^M}. Тогда    ф^-1(d(е)) = ф(д(е)) = {М Е

Max BS:M * Е д(е)} = {М Е Max BS-.е £ М*}. Поскольку е £ М* ^ е* £ М, имеем, {М Е MaxBS: е £ М * } = {М Е MaxBS: е* £ М} = б(е*) и ф^-1(б(е)) = б(е*) открыто. Следовательно, отображение ф непрерывно.

Далее, для каждого М Е Max BS определим отображение между пирсовскими слоями

/ м :S/p ф(м) ^ S/p_M по правилу/_M(a ^( _M ) ) = ⁽a * )_M.

Лемма 3. Для любого М Е MaxBS * -полукольца S отображение f_M является антиизоморфизмом полуколец.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть a = b (mod р_ф ( _М ) ) Тогда ao = Ье для некоторого е Е BS \ ф(М). Действуя инволюцией, получим a*е* = Ь*е*. Поскольку е £ ф(М) = М * , то е* £ М, а значит, a* = b* (mod р_М). Верно и обратное, таким образом, a = b (mod р_ф ( _М ) ) равносильно условию a* = b* (mod р_М). Это означает, что отображение f_M задано корректно и является инъективным. Сюръективность легко проверяется, поэтому f_M - биекция. Поскольку (a + b) = a* + b * то (a + b) = a * + b * (mod р М для любого М; аналогично, (ab~)* = b*a* (mod р_М). Договоримся элемент a ^( _M ) факторполукольца S/p_ф ( _M ) обозначать через a_M * . Получаем:

fM&M* + Ьм * ) = f M ⁽⁽a + Ь)м*) = (a + b) M = a M + b M = fM^*) + f M ⁽b M * ), ^f M ^(a M * ■ ^b M * ) = ^f M ^((ab) M * ⁾ = ^(ab'⁾ M = ^b M ’ ^a M = ^f M ^(b M *) ■ ^f M ^(a M *} .

Следовательно, f_M - антиизоморфизм.

Для произвольного локального сечения о над открытым множеством U Q Max BS, зададим определенное на ф-1(и) отображение о*, так, что о\Ю = ^(о(ф(Ю))

для любого N Е ф^-1(и).

Локальное сечение о является объединением локальных сечений вида sj | и. для от крытых подмножеств U^ Q MaxBS, дизъюнктное объединение которых дает U. Произвольная точка N Е ф-1(и) попадает в некоторое открытое множество ф-1(и^), поэтому

(^^(ф^))

локальное сечение о|у. совпадает с SJy .

Следовательно, о^*

^(N) для произвольной точки N Е ф ¹(U j ) . Получаем, o * l_v -i ( _U. ) совпадает с s j на ф^-1(и^, поэтому о * - непрерывное отображение.

Подведем итоги. Предыдущим рассуждением и леммами 1 и 2 установлено:

• 1)    отображение ф: MaxBS ^ MaxBS, ф(М) = М*, является гомеоморфизмом;

• 2)    для каждого М Е MaxBS отображение f_M:S/Q_v ( _M ) ^ S/9_M, f_M(cL_v ( _M ) ) = (^a * )_M является полукольцевым антиизоморфизмом;

• 3)    для произвольного локального сечения о над открытым U £ Max B S отображе

ние o*(N) = f (о(ф(N))), NЕф ¹(U), непрерывно.

Рассмотрим аналог определения 3, сформулированный для полуколец, без использования инволюции, и с антиизоморфизмами вместо изоморфизмов. Назовем получаемое соответствие между пучками антиизоморфизмом пучков. Изоморфизм пучков с условиями X = Y и П = Л назовем автоморфизмом пучков. Пользуясь этими соглашениями и пунктами 1)-3), получаем:

Теорема 1. Для произвольного * -полукольца S (ф, {f_M}) - антиавтоморфизм пир-совского пучка (P(S),MaxBS) .

Обозначим пучок полуколец – образ при антиавтоморфизме, указанном в теореме 1, через (P * (S),MaxBS). В следующей теореме описывается инволюция на полукольце глобальных сечений пирсовского пучка полуколец, построенного для полукольца с инволюцией. Тем самым, дается некоторый вариант ответа на вопрос 1) раздела 1.

Теорема 2. Для произвольного * -полукольца S отображение f : а ^ (а)* задает * -антиизоморфизм между * -полукольцами глобальных сечений пучков полуколец (P(S),Max BS) и (P * (S),Max BS) .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Из проведенных выше рассуждений понятна связь между аддитивными и мультипликативными операциями полуколец сечений, показывающая, что f является антигомоморфизмом. Легко устанавливается биективность f, например, из а Ф Ь следует, что а(М~) Ф Ь(М) для некоторой точки М Е Max BS, поэтому (а) Ф (Ь) в точке М* пучка P * (S). Наконец, заметим, что с любым глобальным сечением а пучка сопряжено глобальное сечение а * . Действительно, для любой точки М Е Max BS сечение а принимает значение o._M , а сечение а* принимает значение ^(М) = f_M * (а(ф(М))) = f_M(a_ф ( _M ) ) = (o * )_M . Поэтому f (а * ) = (а * ) * = (а * ) * = f (а) * , теорема доказана.

О стабильности пирсовской конгруэнции

Укажем некоторые условия, при которых пирсовская конгруэнция pM является *-конгруэнцией.

Пусть S - *-полукольцо, М Е Max BS. Рассмотрим ситуацию, когда найдется атом е Е BS, не лежащий в М; в этом случае будем пользоваться обозначением М = М_е .

Лемма 4. Пусть М = М_е, тогда справедливы утверждения:

• 1)    е - единственный атом из BS, не лежащий в М;

• 2)    М_е = (е¹) - главный идеал, порожденный е¹;

• 3)    если а = b (mod p_M), то ае = Ье.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

• 1)    Если е,f- два различных атома из BS \ М, то 0 = еf Е М, противоречие с простотой максимального идеала М.

• 2)    Пусть а Е М, тогда ае = 0, поэтому а = ае¹.

• 3)    Если а = b (mod р_М), то af = bf для некоторого f Е BS \ М . Поскольку f¹ Е М, то f¹ = ^е¹ по пункту 2). Тогда f = (f¹e¹)¹ = fe¹ + е, поэтому fe = е. Следовательно, ае = be.

Предложение 1. Пусть S - * -полукольцо, М Е Max BS - максимальный идеал вида М_е для некоторого атома е Е BS. Тогда равносильны условия:

• 1)    (М е ) = М е ;

• 2)    е * = е;

• 3)    пирсовская конгруэнция р_Ме является *-конгруэнцией .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

• 1)    ^ 2). Элемент е не лежит в М_е , поэтому е * & (М_е)*. Поскольку (М^* Е Max BS и е * - атом, то из (М_еУ = М_е и пункта 1) леммы 4 следует е* = е.

• 2)    ^ 3). Пусть а = b (mod р_М) тогда ае = Ье по пункту 3) леммы 4. Следовательно, а*е = Ь * е и а* = b* (mod р_М)

• 3)    ^ 1). Пусть (М е )* Ф М_е , тогда е Е (М^*, и поэтому е * Е М_е . Отсюда следует е * = 0 (mod р_Ме) и, учитывая е = 1 (mod р_Ме), получаем е* £ е (mod р_Ме), т. е. р_Ме не является *-конгруэнцией.

• 2. Максимальные идеалы всякой конечной булевой алгебры имеют вид М_е .

Непосредственно из предложения 1 вытекает

Следствие 1. Любая пирсовская конгруэнция *-полукольца S с конечной булевой алгеброй BS стабильна относительно инволюции.

Примеры. 1. Не каждый максимальный идеал булевой алгебры имеет вид М_е для некоторого атома е. Например, рассмотрим Р(Ы) - булеан множества натуральных чисел. Это атомная булева решетка, одноэлементные подмножества являются ее атомами. Рассмотрим собственный идеал в в(Ы), состоящий из всех конечных подмножеств множества Ы. По лемме Цорна он содержится в некотором максимальном идеале, который, очевидно, содержит все атомы булевой алгебры. Вместо Ы может быть выбрано любое бесконечное множество.

В заключение отметим, что авторам не известен какой-либо аналог предложенной конструкции преобразования пирсовского пучка, ни для полуколец, ни для колец с инволюцией. В дальнейшем нами предполагается применить полученную конструкцию для изучения конкретных полуколец с инволюцией.