Площадь образов измеримых множеств на многообразиях Карно глубины два с сублоренцевой структурой
Автор: Карманова М.Б.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.26, 2024 года.
Бесплатный доступ
Статья посвящена анализу метрических свойств образов измеримых множеств на многообразиях Карно с сублоренцевой структурой. Настоящее исследование продолжает результаты, полученные ранее для классов компактных множеств на группах Карно. Основное отличие состоит в том, что, во-первых, отображение определяется на измеримом множестве (не обязательно компактном), а во-вторых, прообраз и образ отображения не имеют групповой структуры. Также модифицировано определение сублоренцевого аналога меры Хаусдорфа (который, вообще говоря, мерой не является): в отличие от предыдущих исследований, оно не требует "равномерной" субримановой дифференцируемости. Одним из результатов является свойство квазиаддитивности этого сублоренцева аналога. Последнее позволяет получить его параметризацию субримановой мерой Хаусдорфа. В свою очередь, это свойство означает, что сублоренцев аналог меры Хаусдорфа обладает классическими свойствами меры на определенном классе множеств. Основным результатом статьи является формула сублоренцевой площади на многообразии Карно. Мы также продемонстрируем основные идеи ее доказательства и покажем их специфику.
Группа Карно, липшицево отображение, измеримое множество, сублоренцева структура, квазиаддитивная функция множества, формула площади
Короткий адрес: https://sciup.org/143183735
IDR: 143183735 | DOI: 10.46698/o2525-4975-1563-x
Список литературы Площадь образов измеримых множеств на многообразиях Карно глубины два с сублоренцевой структурой
- Karmanova, M. B. Metric Characteristics of Classes of Compact Sets on Carnot Groups with Sub-Lorentzian Structure, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2024, vol. 26, no. 3, pp. 47-55. DOI: 10.46698/d9212-8277-5800-l.
- Miklyukov, V. M., Klyachin, A. A. and Klyachin, V. A. Maksimal'nye poverkhnosti v prostranstve-vremeni minkovskogo [Maximal Surfaces in Minkowski Space-Time], Volgograd, VolSU, 2011, 530 p. (in Russian).
- Krym, V. R. and Petrov, N. N.Equations of Motion of a Charged Particle in a Five-Dimensional Model of the General Theory of Relativity with a Nonholonomic Four-Dimensional Velocity Space, Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 2007, vol. 40, no. 1, pp. 52-60. DOI: 10.3103/S1063454107010062.
- Krym, V. R. and Petrov, N. N. The Curvature Tensor and the Einstein Equations for a Four-Dimensional Nonholonomic Distribution, Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 2008, vol. 41, no. 3, pp. 256-265. DOI: 10.3103/S1063454108030060.
- Berestovskii, V. N. and Gichev, V. M. Metrized Left-Invariant Orders on Topological Groups, St. Petersburg Mathematical Journal, 2000, vol. 11, no. 4, pp. 543-565.
- Karmanova, M. B. Lipschitz Images of Open Sets on Sub-Lorentzian Structures, Siberian Advances in Mathematics, 2024, vol. 34, no. 1, pp. 67-79. DOI: 10.1134/S1055134424010036.
- Basalaev, S. G. and Vodopyanov, S. K. Approximate Differentiability of Mappings of Carnot-Caratheodory Spaces, Eurasian Mathematical Journal, 2013, vol. 4, no. 2, pp. 10-48.
- Gromov, M. Carnot-Caratheodory Spaces Seen from Within, Sub-Riemannian Geometry, Basel, Birkhauser Verlag, 1996, pp. 79-318. DOI: 10.1007/978-3-0348-9210-0_2.
- Karmanova, M. and Vodopyanov, S. Geometry of Carnot-Caratheodory Spaces, Differentiability, Coarea and Area Formulas, Analysis and Mathematical Physics, Basel, Birkhauser, 2009, pp. 233-335. DOI: 10.1007/978-3-7643-9906-1_14.
- Nagel, A., Stein, E. M. and Wainger, S. Balls and Metrics Defined by Vector Fields I: Basic Properties, Acta Mathematica, 1985, vol. 155, pp. 103-147. DOI: 10.1007/BF02392539.
- Postnikov, M. M. Lectures in Geometry. Semester V: Lie Groups and Lie Algebras, Moscow, Mir, 1986, 446 p.
- Bonfiglioli, A., Lanconelli, E. and Uguzzoni, F. Stratified Lie Groups and Potential Theory for Their Sub-Laplacians, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, Springer, 2007, 828 p. DOI: 10.1007/978-3-540-71897-0.
- Karmanova, M. B. Fine Properties of Basis Vector Fields on Carnot-Caratheodory Spaces under Minimal Assumptions on Smoothness, Siberian Mathematical Journal, 2014, vol. 55, no. 1, pp. 87-99. DOI: 10.1134/S003744661401011X.
- Folland, G. B. and Stein, E. M. Hardy Spaces on Homogeneous Group, Princeton, Princeton University Press, 1982, 286 p.
- Vodopyanov, S. K. and Ukhlov, A. D.Set Functions and Their Applications in the Theory of Lebesgue and Sobolev Spaces. I, Siberian Advances in Mathematics, 2004, vol. 14, no. 4, pp. 78-125.
- Vodopyanov, S. K. and Ukhlov, A. D. Set Functions and Their Applications in the Theory of Lebesgue and Sobolev Spaces. II, Siberian Advances in Mathematics, 2005, vol. 15, no. 1, pp. 91-125.
- Vodopyanov, S. Geometry of Carnot-Caratheodory Spaces and Differentiability of Mappings, The Interaction of Analysis and Geometry. Contemporary Mathematics, vol. 424, Providence, RI, AMS, 2007, pp. 247-301.
