Побочные платежи в одной кооперативной игре с учетом рисков

Рассматривается кооперативная игра двух лиц с побочными платежами и при неопределенности, которая отождествляется с кортежем

Г' = ((1.2}.{Х,}ы2,Г,^(х,Д=|2),                        (1)

где 1 и 2 - порядковые номера игроков, X, с R"' (/ = 1,2) множество стратегий х, у /-го игрока. О неопределенностях у е У с R™ игроки не имеют каких-либо статистических данных, известна только область их изменения.

Игра (1) происходит следующим образом. Игроки совместно и согласованно выбирают свои стратегии х, (/ = 1,2), в результате чего складывается ситуация х = (х],х2) g X = X, хХ2 с R" (и = пх + п2) .

Независимо от действий игроков реализуется некоторая неопределенность у е У . На образовавшихся парах (х,у)еХхУ определена скалярная функция выигрыша /-го игрока /(х,у):ХхУ-> R (/ = 1, 2), значение которой на выбранной игроками ситуации х и появившейся независимо от ситуации неопределенности у называется предварительным выигрышем /- го игрока. Предварительным риском [1] /-го игрока будет вычисленное на этой же паре значение функции риска [2]

Ф.^у^ Дх^р (у),у)- f(x,y) (/=1,2),               (2)

где х^р (у) - максимальная по Парето альтернатива [3] в двухкритериальной задаче rM^xJ/^U),               (3)

полученной из игры (1) при каждой фиксированной неопределенности у е У. Функция Ф, (х,у) численно оценивает риск /-го игрока, связанный с тем, что он выбрал свою стратегию из ситуации х , а не из х^р (у), хотя последняя и доставляет максимум по Парето в задаче (3).

Полученные таким образом суммарный предварительный выигрыш /] (х,у) + /2 (х,у) и суммарный предварительный риск Ф, (х,у) + Ф2 (х,у) игроки, в дальнейшем, путем переговоров перераспределяют между собой. При этом выигрыши суммируются только с выигрышами, а риски - с рисками. Целью /-го игрока на «содержательном уровне» является такой выбор своей стратегии и такое последующее перераспределение предварительных выигрышей и предварительных рисков, что получившийся в результате его окончательный выигрыш был по возможности больше, а перераспределенный риск по возможности меньше. Одновременно с этим, игроки должны ориентироваться на возможность реализации любой неопределенности у е У.

Ниже используются максимины и минимаксы:

/° [у] = max min / (х],х2,у), Ф° [у] = min тахФ, (xt,x2,y) (/,7 = 1,2, /*7) VyGy,

Xj£A.; Xj6Aj                                XjGAj XjGXj применяются вектора / = (/,/2), Ф = (Ф1,Ф2) и предполагается, что все максимумы и минимумы в следующем определении достигаются, а функции J^x,y^ и Ф,(х,у) (/ = 1,2) непрерывны на произведении непустых компактов X х У; [^(a)J = Idem\a -> Z>] означает выражение в скобках [ ... ] в левой части равенства, где а заменено на b.

Определение 1. Гарантированным по выигрышам и рискам решением (ГВР) кооперативной игры двух лиц с побочными платежами и при неопределенности (1) называется [2] тройка (х* ,f* ,Ф*), для которой существует неопределенность у_Р еУ такая, что выполняются следующие три условия:

• 1 условие коллективной рациональности

max £ /\х, уР) = Idem [х -> х*];(4)

• 2° условие «неухудшаемости» суммарного выигрыша и риска

mmL[Z (^*,у)-Ф, (^у)] = Idem\y ур"\;

• 3° условие индивидуальной рациональности^-.

справедлива система из четырех неравенств

/‘▻/“[^Ф^Ф^] (/=1,2),(6)

где

2        .            .      2                      2         .2

/=1                   /=1               1=1/=1

при этом пару /* = (/Л/г*) назовем гарантированным векторным дележом, пару Ф* = (ф*,Ф₂) - гарантированным векторным риском игры (1), ах* - ситуацией, гарантирующей эти дележи и риски.

Замечание 1. Приведенное выше определение ГВР имеет место и при количестве игроков N>2.

• 2.    Побочные платежи

Рассмотрим один из возможных способов распределения гарантированного суммарного 2                                                                                                       2

выигрыша F(x*,y_P) = '^_if_i(x*,y_P) и гарантированного суммарного риска Ф(х‘,у_?) = ^Ф/х*,^) 1=1

в игре (1). Такое распределение можно осуществить, если указать числа 0 <  а < 1 и ^ей такие, что первый игрок получит часть /* = aF(x*,y_P) гарантированного суммарного выигрыша и часть Ф* = рФ^х*,у_р^ гарантированного суммарного риска, а второй игрок /₂* = (1 -a^F^x* ,у_р") и Ф₂ = (1-/7)Ф(х*,^_р) соответственно.

Будем считать

Р1х,у^ V(x,y)eXxY (/ = 1,2).                      (7)

Если в (1) функции /(х,у) (/ = 1,2) непрерывны, а множества X,, X, и Y - суть компакты, то условие (7) всегда можно осуществить, используя замену

/=/ + Л/ + 1 (/ = 1,2), где М = тах^ max J/ (х,у)|. При таком преобразовании игры (1) к

^Жх, U.2 T.i/; Ж)=/ Гй+м+1}я/ ситуации х*, реализующие гарантированный суммарный выигрыш и гарантированный суммарный риск, не изменятся, гарантированные дележи в преобразованной игре будут f*-f* + М + 1 (/ = 1,2), гарантированные риски Ф* (/ = 1,2) останутся теми же, что и в игре (1).

Кудрявцев К.Н.

Побочные платежи в одной кооперативной игре с учетом рисков

Утверждение 1. Предположим, что для игры (1) выполнено условие (7) и существует пара (х*,ур)е X х Y, для которой Ф(х*,Ур)> 0 и maxF(x,yP) = F(x\yP);                              (8)

хеХ

т\ххЖх\у^Ф1ЛуЖР1ЛуЖФ1х,ур^ max min /Ж^Ур")= УЧУрЪ UJ = 1,2; i * j); ^eX.ujeXj min тахФДМрг^У/^Ф^У;,] = 1,2; i * j). u^X^^Xj

(9) (10) (И)

Тогда гарантированные дележ /* = {f’,/^ и риск Ф* = (Ф*,Ф*) игры (1) имеют вид

УЖ<Жх\уД £=1\-«№*,Ур\(12)

Ф^РФ^уД Ф^Х-РЖУрУ(13)

аГВРРбудет (х‘,/*,Ф*), где а и Р - любые постоянные числа, удовлетворяющие включениям:

«еЦ^,1--^Ш(14)

L^,^) F(x,y_P^\

ф^*,^)^^*,^)

Для доказательства достаточно проверить, что для векторов /* = {f*, f₂) из (12), (14) и Ф* = (Ф[,Ф₂) из (13), (15) выполнены требования Г и 3° из определения 1. При рассмотрении же указанных требований следует иметь в виду, что постоянная а должна дополнительно удовлетворять условиям а е [0,1].

С учетом обозначений из (10), (11) и [2]

F(x*, уР) = max[Z (м, уР) + /2 (и, уР )] > weX

5 max min/(w₁₅w₂,yp) ⁺ max mm /₂(u_1;u₂,yp) - /“1Ур1 + /“ЬуЪ (16) _И)еХ,»₂еХ₂             „₂еХ₂«_|еХ₁

Ф« у_Р ) = min^_t (м, у_Р ) + Ф₂ (и, у_Р )] <

^ min ттсФ|(И1,м2,Ур)+ min т^Ф2(«1,ы2,У/,) = Ф?[уР] + Ф2[уР].

(19) выполнено

Кроме того, согласно (12) и (13),

F(x\y_P) = У/Лх*,Ур) = aF(x*,y_P) + (1 -a)F(x*,y_P) = f' + /₂‘,

Ф(х\уР) = £фДх\уа = /7Ф(^,Ур)чД1-/^^

при любых а = const е [0,1], Д = const g!R, поэтому для всех таких а и р требование 1° определения 1.

Наконец, с учетом (12)—(15)

р* = aF(x\y_P) > -ti-F(/,y_f) = у»_М,

F(x ,уР)

/; = 0-«)F(x*,yP)>

( F^x*,yp\

^«y/.) = /20[y/>L

Ф[ = РФ{х,у_р) < ^[^ ф^,^) = Ф»^], ФОс ,Ур)

Ф*2 = (1-Р)Ф(х*,ур)<

Ф2°[Ур]

Ф(х*,УР))

Ф(х\уР) = Ф°2[Ур],

т.е. имеет место требование 3° определения 1, если только

₍₂₀₎ ^(т*,^) F(x*,y_P)

Ф(х\уР) Ф(х*,уР)'

Установим справедливость цепочки неравенств (20). В самом деле, вследствие (7), будет /^о[у_/,]^>0 и F(x\y_P) = /.(.х^урЗ + У^х^Ур^О и поэтому

Среднее неравенство в (20)

/ГЫ Л^УрУ/'Ш

F{x,yP) F(x\yP)

также имеет место, ибо F^x^yp) > 0 и, согласно (7) и (16) Р(х*,у_р)-/₂⁰[Ур] ^ /^[уД.

Последнее неравенство в (20) выполняется, так как Р(х\у_рУ> Q и /₂°[»]>0. Далее, неравенство (21) справедливо в силу Ф(х*,у_р) > 0 и (17).

Замечание 2. Схема доказательства утверждения 1 позволяет ослабить требование (7), заменив его лишь на условие

F(x,y_p)>0, УЧу_Р1>0 О'= 1,2), так как выполнение именно этих неравенств и использовалось в доказательстве утверждения 1.