Почти сходящиеся последовательности из 0 и 1 и простые числа
Автор: Авдеев Николай Николаевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.23, 2021 года.
Бесплатный доступ
В статье изучаются последовательности из нулей и единиц. Устанавливается связь между значениями верхнего и нижнего функционалов Сачестона на такой последовательности и множеством всевозможных делителей элементов, входящих в носитель такой последовательности. Если объединение множеств всех простых делителей чисел из носителя некоторой последовательности из нулей и единиц конечно, то такая последовательность почти сходится к нулю. Изучаются такие последовательности из нулей и единиц, носитель которых в точности состоит из чисел, кратных элементам некоторого заданного множества, и устанавливаются необходимые и достаточные условия для обращения в единицу верхнего функционала Сачестона на такой последовательности. Доказывается, что существует бесконечно много таких последовательностей, на которых нижний функционал Сачестона принимает значение 1, при этом в нуль нижний функционал Сачестона ни на одной такой последовательности не обращается.
Пространство ограниченных последовательностей, банахов предел, функционал сачестона, почти сходящаяся последовательность, последовательности из нулей и единиц, разложение на множители, подмножеcтва натуральных чисел
Короткий адрес: https://sciup.org/143178033
IDR: 143178033 | УДК: 511.1+517.982 | DOI: 10.46698/p9825-1385-3019-c
Almost convergent 0-1-sequences and primes
This paper is devoted to 0-1-sequences. We establish the connection between values that Sucheston functional can take on 0-1-sequence and multiplicative structure of the support of the sequence. If the set of all the divisors of support elements is finite, then the sequence is almost convergent to zero. Then we consider characteristic sequences of sets of multiples and establish necessary and sufficient conditions for the upper Sucheston functional to be 1 on such sequence. We prove that there are infinitely many sets of pairwise relative prime numbers such that the lower Sucheston functional evaluates to 1 on the corresponding set of multiples (and lower Sucheston functional never evaluates to 0 on a set of multiples).
Список литературы Почти сходящиеся последовательности из 0 и 1 и простые числа
- Mazur S. O metodach sumowalnosci // Ann. Soc. Polon. Math. (Supplement). 1929. P. 102–107.
- Банах С. Теория линейных операций. М.–Ижевск: Регуляр. и хаот. динамика, 2001, 272 с.
- Lorentz G. G. A contribution to the theory of divergent sequences // Acta Mathematica. 1948. Vol. 80, № 1. P. 167–190. DOI: 10.1007/BF02393648.
- Sucheston L. Banach limits // Amer. Math. Monthly. 1967. Vol. 74. P. 308–311. DOI: 10.2307/2316038.
- Семенов Е. М., Сукочев Ф. А., Усачев А. С. Геометрия банаховых пределов и их приложения // Успехи мат. наук. 2020. Т. 75, № 4 (454). С. 153–194. DOI: 10.4213/rm9901.
- Авдеев Н. Н. О пространстве почти сходящихся последовательностей // Мат. заметки. 2019. Т. 105, №3. С. 462–466. URL: http://mi.mathnet.ru/rus/mz/v105/i3/p462. DOI: 10.4213/mzm12298.
- Hall R. R., Tenenbaum G. On Behrend sequences // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Cambridge University Press, 1992. Vol. 112. P. 467–482. DOI: 10.1017/S0305004100071140.
- Davenport H., Erdos P. On sequences of positive integers // Acta Arithm. 1936. Vol. 2. P. 147–151. DOI: 10.4064/aa-2-1-147-151.
- Davenport H., Erdos P. On sequences of positive integers // J. Indian Math. Soc., New Series. 1951. Vol. 15. P. 19–24. DOI: 10.18311/JIMS/1951/17063.
- Besicovitch A. On the density of certain sequences of integers // Mathematische Annalen. 1935. Vol. 110, № 1. P. 336–341. DOI: 10.1007/BF01448032.
- Hall R. R. Sets of Multiples. Cambridge: Cambridge University Press, 1996. (Cambridge Tracts in Mathematics). DOI: 10.1017/CBO9780511566011.
- Euler L. Variae observationes circa series infinitas // Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 1737. Vol. 9, № 1737. P. 160–188.
