Поглощение звука решеткой резонаторов с трением в стоячем звуковом поле

Электронный журнал «Техническая акустика»

Известно [1-3], что некоторые малые препятствия в среде (например, газовые пузырьки в жидкости) интенсивно рассеивают падающие на них звуковые волны. Решетка из таких малых препятствий (рассеивателей) является эффективным изолятором звука. В работе [4] была рассчитана звукоизоляция плоской решетки из одинаковых неподвижных сфер, характеризуемых эффективным импедансом Z _o. Импеданс Z _o равен отношению полной радиальной силы, действующей на сферу, к объемной скорости этой сферы. Радиус сферы равен а и он мал по сравнению с длиной волны. Было показано, что интенсивное рассеяние звука происходит только при взаимной компенсации реактивных компонент импеданса препятствий и излучения. Рассеивающая решетка с пространственными периодами, не превышающими половину длины звуковой волны, является эффективным отражателем звука резонансной частоты. Трение в резонаторах уменьшает эффективность решетки как отражателя звука. Резонаторы с трением частично поглощают звуковую энергию. При оптимальном трении (сопротивление трения равно сопротивлению излучения) решетка поглощает половину энергии падающей звуковой волны.

Представляет интерес исследовать эффективность резонаторов как поглотителей звука в стоячем звуковом поле. Ниже рассмотрена задача о рассеянии звука от решетки резонаторов с трением. Эта решетка расположена на расстоянии D от стенки, характеризуемой реактивным импедансом. Показано, что решетка резонаторов с определенным трением, расположенная в пучности давления суммарного поля падающей и отраженной волн, полностью поглощает отраженную волну резонансной частоты.

Пусть полупространство z > 0 заполнено однородной средой и ограничено снизу стенкой, характеризуемой реактивным импедансом Zj = iXx. Сверху на эту стенку падает плоская гармоническая волна с давлением p’(x,y,z) = Aexp[i(k0x + kJy - kz00)], (1) где kJ, kJ и (-kz>0) — соответственно проекции волнового вектора падающей волны на оси x, у и z, A — амплитуда волны, временной множитель exp(-iat) опускаем.

Отраженная от стенки волна давления имеет вид p" (x, y, z) = AQ00 exp [ i (kX x + k°y y + kJ0)],

где коэффициент отражения Q ⁰⁰ определяется по формуле

Q 00 = { X 1 - р ек/ 00_}{ iX 1 + P cy 00} ^{- 1} ,                                               (3)

kz              kz р и c — плотность среды и скорость звука в ней, k = У^ — волновое число. Полное поле в среде равно p(0) = p'+p".

Требуется поглотить отраженную волну p". С этой целью в плоскости z = D поставим решетку резонаторов с трением, резонаторы поместим в точках с координатами x = qL, y = sl, z = D, где L и l — соответственно периоды решетки по осям x и у , q и s принимают значения 0,±1,±2,±3,.... Под действием звукового поля р(0) резонаторы пульсируют и создают рассеянное поле р(1). Обозначим через V объемную скорость резонатора, находящегося в точке с координатами x = 0, y = 0, z = D. Объемная скорость резонатора, находящегося в точке с координатами  x = qL, y = sl, z = D,  будет V exp[ i (kJ qL + kJ sl)].  Рассеянное  поле монопольного  типа равно полю, создаваемому решеткой  монополей. Оно удовлетворяет уравнению

A p ⁽¹⁾ + k ² p ⁽¹⁾ = iapV exp[ i ( k 0 x + k⁰_yy )] J ( z - D ) ^ ^ ( x - qL ) ^ ( y - sl ),                    (4)

q, s где A( z) — дельта-функция. Решение уравнения (4), удовлетворяющее граничному условию на стенке, характеризуемой реактивным импедансом, получим методом Фурье. Оно имеет вид

p(1)(0 < z < D) = У k'cV exp[i(kmx + kny + kmnD)]{exp(-ikmnz) + Qm exp(ikmnz)}, mn            x        y        z                     z                         z /J, m,n 2Llkz

⁽¹⁾f₇       V ^kpc ^—exnr/fk ^m Y+ n m^mn7\Upw(im^mn mV”" pw(ik-^mn

p (z > D) =7, m mn exp[ i(kx x + kyy + kz z)]{exp( ikz D) + Q exp( ikz D)}, m,n 2Llkz где mn kmn = 7 k2 - (km )2 - (ky )2,

суммирование

km = kx + m (2n)/L,    kny = koy + n (2П l), производится по всем m и n . Согласно формуле (6), рассеянное поле p(1) при z > D состоит из однородных и неоднородных спектров Брэгга (плоских волн). Спектр mn является однородной волной при (km )2 + (ky)2 < k2 и неоднородной волной при

( k m ) ² + ( k^y ) ² >  k ² . Для однородных спектров величину Q^mn можно представить в виде

Q mn         mn         mn        mn

= exp(l£  ) = cos £  + l sin £  , где cos £mn = {X2 - [kpymmn ]2}{X2 + [/p'r ]2}-1, sin smn = {2 X1[ kp/kmn ]}{X12 + [ kp/kmn ]2}-1.

Для неоднородных спектров величина Q^mn вещественная.

Объемную скорость V получим из граничных условий на резонаторах. Структура рассеянного поля определяется периодом рассеивающей решетки. Полное поле ( p ⁽⁰⁾ + p ⁽¹⁾), умноженное на exp[ - l ( k ° x + k 0 y )], является периодической функцией x с периодом L и периодической функцией y с периодом l . По этой причине достаточно удовлетворить граничным условиям на сфере с центром (0,0, + D ). Полная радиальная сила, действующая на эту сферу, равна

- | [ Р ^<0> + Р "’ ] r = a dS ,

S где r = -Jx2 + y2 + (z - D)2 , интегрирование производится по этой сфере. На пульсирующей сфере, характеризуемой эффективным импедансом Z , выполняется соотношение

Z o V = - J [ Р ⁽⁰⁾ + Р ⁽¹⁾] r = a dS .

S

Преобразуем его к виду

( Z o + Z)V =- J [ p ^<0) ] r = a dS ,                                                                 (9)

S где Z = — [[p(1)]r_adS импеданс излучения монополя в решетке. При учете формул (5) r = a

S

– (8) получим следующие выражения для вещественной и мнимой частей импеданса излучения:

R ^ Re Z « 2У ' ^{k p cS 0} cos ² ( k m D + ^£ ™Z), ^{mn      z}             2

m , n ^{2 Llk}z

X = Im Z = —У " kpcS0 . {1 + Qm exp [ -2| kmn D)} { Jo (k™a sin 0)exp [ - kmn la cos 0]sin 6d0 , (11) mn                              Z                   0 xy                         lzl m, n 2 Llkz                              0

где k m = J ( k m ) ² + ( k" ) ² , S _o = 4 na² — площадь сферы. J_o ( k m" a sin 0) — функция

Бесселя. В формуле (10) суммирование производится по всем m и n , при которых k^mn — вещественное, в формуле (11) суммирование производится по всем m и n , при которых k^mn — мнимое. В соотношении (9) правая часть равна приближенно

— 2 AS₀ exp( i s ⁰⁰/2)cos( k °⁰ D + £ ⁰⁰/2) .

Из этого соотношения найдем объемную скорость монополя

V = — 2 AS₀ exp( is ⁰⁰/2)cos( k _z ¹⁰ D + s ⁰⁰/2){( R _o + R ) + i ( X _o + X )} ^{— 1},

где R и X — соответственно вещественная и мнимая части эффективного импеданса Z _o. Подставляя V в формулы (5) и (6), получим рассеянное поле p ⁽¹⁾. Согласно формулам (5), (6) и (12), интенсивное монопольное рассеяние происходит только при взаимной компенсации реактивных компонент импедансов Z и Z , т.е. при выполнении соотношения X ₀+ X = 0. В этом случае амплитуда однородного рассеянного спектра mn будет равна

A

mn

_А    ⁴ Pc ^kS р

2 Llk m ( R _o + R )

exp[ i ( s ⁰⁰ + s^mn )/2]cos( k _z ¹⁰ D + s ⁰⁰/2)cos( k mn D + s^m /2).

Пусть пространственные периоды решетки не превышают половину длины волны.

Тогда все рассеянные спектры, кроме спектра 00, неоднородные, и сопротивление излучения монополя в решетке, находящейся перед импедансной стенкой, будет равно 2 R 'cos ² ( k °⁰ D + s ⁰⁰/2), где R ' = ( k p cS₀ )/(2 Llk 0⁰ ) — сопротивление излучения

монополя в решетке, находящейся в безграничной среде. Амплитуду спектра 00

получим по формуле

А⁰⁰ =— A exp( is ⁰⁰)

4cos ² ( k _z¹⁰ + s ⁰⁰/2)

[ R/R '+ 2cos ² ( k_z ¹⁰ D + s ⁰⁰/2)]

Амплитуда давления в суммарном поле отраженной волны p " и рассеянного спектра 00 равна

B ⁰⁰ = AQ ⁰⁰ + A ⁰⁰ = A exp( is ⁰⁰){1 —

4cos ² ( k _z ⁾⁰ D + s ⁰⁰/2)

[ R_o /R ’+ 2 cos ² ( k _z ⁰⁰ D + s ⁰⁰/2)]^} ’

Пусть решетка расположена в одной из пучностей давления суммарного поля падающей и отраженной волн. Тогда ( k_z ¹⁰ D + s ⁰⁰/2) = Nn , где N — целое число, и формула (13) дает

B00

( R 0 — 2 R ’)

( R 0 + 2 R ’)

A exp( is ⁰⁰)

При R _o = 2 R ' амплитуда B ⁰⁰ равна нулю и отраженная звуковая волна полностью поглощается резонаторами, величина 2 R ' есть сопротивление излучения монополя в пучности давления.

Рассчитаем рассеянное поле дипольного типа. Оно обусловлено движением жидкости относительно неподвижных рассеивателей [1]. Расчет выполним раздельно для волн p' и p ". При падении плоской волны (1) каждый рассеиватель эквивалентен диполю с моментом, равным - 2па ³ v’ ,  где v’ — колебательная скорость

“замороженной” жидкости в объеме этого рассеивателя. В первом приближении колебательная скорость v’ в точке с координатами x = qL, y = sl, z = D равна k’ A'/(ap)exp[i(k0qL + k0ysl)], где k’ — волновой вектор падающей волны (1), A’ = A exp( - ikyy D). В безграничной однородной среде эта решетка диполей создает поле p:=XFmn exp[i(Kx + kny±k?(z-D)], mn где 3

F±n = i —— [ km к1 + k"kv' + kmnk)y], A = exp( - ik'y D), mn          mn    x x     У У     z z J,                   z , верхний и нижний знаки выбираются соответственно при z > D и при z < D. Рассеянные волны, бегущие от решетки в отрицательном направлении оси z, отражаются от импедансной стенки, и поэтому при ее наличии рассеянное дипольное поле имеет вид p2'(z>D) = £[Fm+n + QmnFmn]exp{i[^x + kny + k?(z-D)]} . mn

Аналогично вычислим рассеянное дипольное поле для падающей плоской волны (2). Оно равно p2"(z > D) = £[M?n + Qm'Mmn]exp {i[k^x + kny + k?’(z-D)]}, где

M* = i — ---[ k m k_r ' + k ” k_v ¹ ± k^mnк ^,y ], A " = exp( ik ^yy D ) .

?’           x x   yy   zz J,            z

Полное рассеянное дипольное поле равно p ₂'+ p ₂" .

Пусть пространственные периоды решетки не превышают половину длины волны. Тогда все рассеянные спектры, кроме спектра 00, неоднородные. В дипольном поле p2'+p2" амплитуда спектра 00 равна i4 TkA {[(k0)2 + ( k0)2]co^ 0°/2)cos(kyo + s yy/2) + (kz°°)2sin(s °°/2)sin(kyo D + s 00/2)}exp( is00 - ik™D )]. Llkz

Ее модуль мал по сравнению с величиной |А00| при резонансной частоте, A00 — амплитуда спектра 00 в монопольном поле p(1).

Различные аспекты применения резонаторов Гельмгольца обсуждаются в работах [5-9].