Поле давления в пласте с трещиной гидроразрыва конечной длины

Наблюдение за эволюцией месторождений нефти и газа в процессе длительной эксплуатации представляется весьма важным для оптимизации процесса добычи и учета полученных сведений при разработке новых продуктивных горизонтов как для повышения эффективности извлечения углеводородов, так и для избегания/устранения возникающих экологических проблем [1, 2] . Необходимость мониторинга все более осознается в процессе накопления фактической информации, анализ которой порождает новые теоретические задачи [3] .

Одна из таких задач заключается в изучении искусственных и естественных трещин в процессе освоения месторождения. Неконтролируемое развитие трещин существенно изменяет условия в породном пласте и влечет за собой экологическую опасность, особенно при добыче сланцевого газа из сравнительно неглубокозалегающих пластов.

Результаты исследования месторождений свидетельствуют о возможном появлении трещин в пространстве между нагнетательными и эксплуатационными скважинами. Процесс получил название автогидроразрыва пласта (автоГРП) [4, 5] . Главной причиной образования трещин является величина давления в нагнетательной скважине, необходимая для поддержания достаточно высокого уровня пьезопроводности — способности пласта-коллектора передавать давление. Присутствие трещин приводит к обводнению эксплуатационной скважины и уменьшению количества нефти в продукции при ее достаточно высоком содержании в зоне разработки. Таким образом, детальное изучение процесса автоГРП позволит понять причины и условия его возникновения и развития.

При этом важное место отводится задачам фильтрации, которые в рассматриваемом случае осложнены необходимостью учета как наличия трещин, так и возможности их продвижения. Задачи с подвижными границами являются нелинейными даже при использовании линейных уравнений пьезопроводности, а их решение и численная реализация сталкиваются со значительными трудностями.

Решение задач фильтрации такого рода требуется для совершенствования главного подхода к исследованию трещин автоГРП [6, 7] — трассерных технологий, которые основываются на растворении в закачиваемой в пласт воде специальных добавок (трассеров) и последующем измерении их концентрации в продукции соседних добывающих скважин. Улучшение интерпретации данных измерений побуждает к решениям задач конвективной диффузии, в которых важнейшим этапом является определение полей скорости фильтрации, возникающих от действия полей давления.

В данной статье решается задача нахождения поля давления в пласте-коллекторе с трещиной конечной длины. При этом учитывается возможность роста трещины при достижении критического давления P A в окрестности ее вершины. Отметим, что представления о критическом давлении, основанные на экспериментальных исследованиях и численном моделировании, позаимствованы из работы [8] .

Построение аналитического решения задачи потребовало модификации асимптотического подхода, возможности которого пока мало реализованы в теории фильтрации. Асимптотические методы исторически

Статья опубликована в открытом доступе по лицензии CC BY 4.0

послужили основой многих открытий в области небесной механики и практически во всех разделах физики, а также активно развивались математиками [9 –14] . Примерами успешного применения асимптотических методов авторами данной статьи могут служить задачи сопряжения математической физики (см. публикации [15 –19] ).

Используемый здесь подход включает: дополнение задачи асимптотическим параметром, полученным из физических соображений; последующее представление параметризованной задачи в виде бесконечной последовательности задач для коэффициентов асимптотического разложения, решение которых может быть найдено хорошо известными методами, например, методом интегральных преобразований.

• 2.    Постановка задачи

  

  Рис. 1. Ближняя к скважине зона горизонтального пласта с вертикальной трещиной гидроразрыва, локализованной в слое ( - d/2)

  
  

На рисунке 1 показана ближняя к скважине зона горизонтального пласта с вертикальной трещиной гидроразрыва: ( - d/2) . Ось Oz прямоугольной декартовой системы координат параллельна оси скважины и локализована на ее внешней цилиндрической поверхности. Плоскость Oxy ориентирована параллельно границам пласта и проходит через его геометрический центр.

На рисунке 2 схематически изображена геометрия задачи фильтрации в направлении трещины гидроразрыва, имеющей толщину d и конечную длину L и расположенной около ствола нагнетательной скважины. Трещина окружена проницаемой средой, в которую осуществляется закачка жидкости для поддержания заданного давления. Среда имеет такие же характеристики, как реальный пласт-коллектор.

			.У п У = d/2	Л	( б )
t У = dft	p.	( а )
x = 0 P		X	x = 0 P		X
	x = L			x = L
у = - d/2			у = - d/2

Рис. 2. Геометрия задачи фильтрации в пласте с трещиной гидроразрыва переменной длины L в горизонтальном сечении пласта ( а ) и вспомогательная геометрия для построения аналитического решения ( б )

Предполагается, что в системе выполняются условия глобального термического и химического равновесия. Вследствие этого, как известно [13, 15] , для исследования глобальных неравновесных механических процессов применима теория нестационарных физических полей давления, в рамках которой фильтрующаяся жидкость не обладает аномальными свойствами, является ньютоновской, а скорость фильтрации и градиент (изменение на единицу длины) давления связаны законом Дарси для анизотропной среды. При таких допущениях движение жидкости описывается уравнением пьезопроводности, вывод которого приводится в [1, 2] .

Условия формирования осадочных пород способствуют возникновению анизотропии [1, 2] , причем проницаемость вдоль пласта чаще всего намного превышает поперечную. Процесс закачки в трещину гидроразрыва гранулообразного материала (пропанта) приводит к анизотропии проницаемости. Принято допущение, что компоненты тензора проницаемости и сжимаемость сред не зависят от величины давления. Учет анизотропии в рассматриваемой задаче предоставляет дополнительные возможности для исследования течений с сильно отличающимися значениями градиента давления в различных направлениях. Для упрощения задачи предполагается также, что пористая среда и трещина обладают трансляционной симметрией по оси Oz .

Необходимо найти поля давления P(x,y,t) в трещине, заполненной пропантом, и P 1 (x,y,t) в окружающем слое-коллекторе. Его свойства — компоненты проницаемости, пористость и вытесняющую способность, соответственно, обозначим как k x , k y , m , β .

Математическая постановка задачи фильтрации к трещине гидроразрыва (Рис. 2а ) включает уравнение пьезопроводности с компонентами тензора проницаемости k px , k py , пористостью m p и вытесняющей способностью β p :

∂P1     ∂2P    ∂2P mpвр ^~дГ -kpx dX2 - ky W =0,

t> 0, 0

В расчетной области задачи ft = {t>0, 0 (d/2)}U{t>0, x>L, -ж 0, 0

∂P1     ∂²P1

'■ - kx ^

-

∂²P1

^ky Л 2    ^0.

∂y²

На входе в трещину задаем давление Pw :

.     . dp.

Plx=0 = Pw,  (-d/2

= 0, |y| > (d/2). ■=0

На остальных границах S трещины принимаем условия равенства давлений и фильтрационных потоков:

^P |S = P1|S,

— kpy Ъ s

, dPi y дУ s ’

В начальный момент времени возмущения давления отсутствуют, а величину естественного гидростатического давления берем за отсчетную:

P lt=o = 0, Pilt=o = 0.                                             (5)

Для построения аналитического решения область Ω разбиваем на три подобласти (Рис. 2б). Вводим обозначение Pa для поля давления в подобласти Q₂ = {t>0, x>L, (-d/2) , сохраняя обозначение P_i для остальных частей области Ω. Такое разбиение упрощает построение аналитического решения, поскольку позволяет использовать подходы, развитые ранее для трещины бесконечной протяженности.

Рассматриваемая задача является симметричной относительно линии у = 0. Ее математическая постановка существенно упростится, если принять во внимание условие симметрии:

∂P ∂y

= 0, y=o

∂Pa ∂y

= 0. y=o

Тогда можно ограничиться построением решения только в квадранте положительных значений x и y . Решение задачи отыскиваем в виде асимптотических разложений по формальному параметру ε:

P = P⁽⁰⁾+eP⁽¹⁾+...+enP⁽ⁿ⁾+ 6⁽ⁿ\

Pa = Pi⁰ + eP^ + ...+EⁿPa⁽ⁿ⁾+0^,                             (7)

P_i= Pi⁰+eP11 +...+eⁿPin + 0(ⁿ¹.

Для реализации асимптотического метода параметризуем задачу (1)–(6) путем замены kpy и kay величинами k_py/e и k_ay/e как в уравнении (1), таки в граничном условии (4). Этим обеспечиваем построение решения для усредненного по сечению трещины поля давления в нулевом (или главном) асимптотическом приближении [16–19]. В частных случаях найденные таким образом решения совпадают с построенными по «схеме сосредоточенной емкости», которая широко используется в реальных расчетах [15].

Поперечные размеры трещины гидроразрыва чаще всего имеют порядок ~10^-2 м, поэтому для практических целей достаточно определять усредненное поле давления. Это позволяет ограничиться построением только главного приближения задачи. Тогда формулировка задачи в симметризованной и параметризованной постановке приобретает вид:

∂P mpβp µ _∂t - k

d2P

^:px dx2

∂Pa mβµ - k ∂t

ax

dPi и mβµ _∂t - k_x

d²Pa dx²

d ²Pi dx²

kpy d²P ₌ e dy²

kay d²Pa

0,

t> 0,

0

0<у< (d/2),

e dy² , ^d2Pi ^kydy2

= 0,

= 0,

t> 0,

t> 0,

x>L,

0 <у< (d/2),

0 (d/2),

P\x=o = Pw ,

0

dPi

∂x

= 0, |y| > (d/2),

^P \y=(d/2) = ^P1|y=(d/2),

kpy∂P ε ∂y

y=^(d/2)

= ky

x=o dPi ∂y

, t> 0, 0 y=^(d/2)

^Pa ly=(d/2) = ^Pi|y=(d/21,

kpy ε

∂Pa ∂y

P\x=L = Pal

px

∂P ∂x

^P\t=o = ^0,

∂P ∂y

=k y=^(d/2)

dPa — kax q ox „

^Pa|t=o

= 0,

y=o

= 0, ∂Pa ∂y

dPi

y

∂y

y=^(d/2)

, t> 0, x>L,

,

t> 0,

^Pi\t=o

= 0,

= 0.

y=o

0

• 3.    Асимптотическое представление задачи

После подстановки (7) в (8) и несложных преобразований получаем:

kpy d²P⁽⁰⁾_n dP⁽⁰⁾   , d²P⁽⁰⁾ , d²P⁽¹⁾

A 9  + mp вр ' 91    kpx A 9    kpy й 9  + s   dy2            dt         dx2         dy2

+e(mpPpM^kpx^ddP2kpy''P^ )+- =⁰

Выражение (17) содержит коэффициенты асимптотических разложений (7) и позволяет построить уравнения для их отыскания. Например, для устранения сингулярности порядка 1/s приходим к уравнению: d²P⁽⁰⁾/ду² = 0. Аналогичная подстановка асимптотических формул в (12) и (13) приводит к граничным условиям для производной нулевого коэффициента асимптотического разложения: I dP⁽⁰⁾/ду ) I =0 и ( дР⁽⁰⁾/ду ) I =0.Найденному

\            / Iy=L \            J ly=0

уравнению и граничным условиям, как нетрудно видеть, удовлетворяют только решения, не зависящие от координатыу: Р⁽⁰⁾= Р⁽⁰⁾(x,t).

После осуществленного выше устранения сингулярности минус первого порядка из (17) имеем уравнение для нулевого порядка ε:

mp^M^Pt—kpx ^P—kpy ^P-=0,

связывающее нулевой и первый коэффициенты асимптотического представления искомого поля давления. Такие уравнения в асимптотических разложениях называются зацепленными.

Воспользуемся процедурой расцепления, заключающейся в следующем. Интегрируем уравнение (18), учитывая, что P⁽⁰⁾(x,t) не зависит от у:

дР⁽¹⁾ kpy ∂y

mpβpµ

дР⁽⁰⁾ ∂t

px

д2Р (0)\ я 2  ) y + C.

дх2 )

Константу интегрирования C находим из условия ( дР⁽¹⁾/ду] I = 0, следующего из (16): C = 0. Далее \              I y=0

с помощью равенства kpy (дР⁽¹⁾/ду}I       = k_y( дР^/ду] I      , вытекающего из (13), получаем

'            ' ।y=W²⁾                       ' ly=(d/²⁾

расцепленное уравнение для нулевого коэффициента:

_n дР⁽⁰⁾  ,  д²Р⁽⁰⁾   2k_yдР(^}

mp^'^t   ^kpxдх² = “d" ду

Заметим, что правая часть уравнения (20) содержит след производной из внешней области.

Уравнение (20) применимо в интервале 0. Аналогичные построения для интервалаx>L позволяют получить соответствующее расцепленное уравнение:

(0)           ₂   (0)                (0)

YLaь. ^{д Ра    2}ky ^дР1

flip'         kax а 9 —  1 а дt        дх2 d ду

.

y=^(d/2)

Построение аналитических выражений для нулевого коэффициента асимптотического приближения имеет большое практическое значение, так как получаемые приближения составляют главную часть поля давления. Поэтому особую ценность имеют те асимптотические представления, в которых значения первого коэффициента вносят лишь небольшую поправку. Сравнения, убеждающие в этом, чаще всего выполняются на основе вычислительных экспериментов в интересующем диапазоне параметров.

• 4.    Главное приближение

Построение остальных уравнений и граничных условий для нулевого коэффициента особых трудностей не испытывает. В результате окончательная постановка задачи в главном приближении приобретает вид:

_n дР⁽⁰⁾ mpβpµ _∂t

k

д²Р⁽⁰⁾ _ 2k_yдР^⁰

'^pxдх²

d

∂y

, t> 0, 0 0 <у< (d/2), y=(d/2)

дР⁽⁰⁾ mβµ _∂t

i. д2Ра0) kax дх2

2k_y d

дР(^}

∂y

, t>0, x>L, 0<у< (d/2), y=(d/2)

dP (0)     d^ P (0)     d 2p (0)

тв^       kx    1ky „ 1 =0, t> 0, 0 (d/2), dt       dx2       dy2

P⁽⁰⁾|    = Pw, (-d/2)

I x-0

dP(⁰ ∂x

= 0, x-0

|y| > (d/2),

P⁽⁰⁾|     = P_a⁽⁰⁾

P⁽⁰⁾= P⁽⁰⁾|       , t> 0, 0

¹ly-(d/2)

Pa⁰⁾= P1⁽⁰⁾|          t>⁰,  X>^L,

¹ y^-(d/2)

. dP⁽⁰⁾         .   dP⁽⁰                           , . , .

kpx^—   = kax^—   , t>0, 0

dx           dx x-L            x-L

p^{(0) 1}   =0,  Pa°¹   =0,  p(^{0) 1}   =0.

11-0                 lt-0                 lt-0

Для упрощения аналитического решения дополнительно пренебрегаем вкладом потоков, ориентированных параллельно рассматриваемой трещине. Такие потоки ожидаемо малы, особенно при значительной протяженности трещины. Эту процедуру осуществляем формальным обнулением kx в уравнении (24) и исключением соответствующих условий из постановки задачи.

5. Построение главного приближения в пространстве изображений

При построении аналитического решения начально-граничной задачи (22)–(29) со следом в уравнениях производной из внешней области наиболее эффективным является метод интегральных преобразований Лапласа– Карсона [20]. Переход в пространство изображений осуществляется путем умножения каждого уравнения и условия задачи (22)-(29) на множитель pexp(-pt) и последующего интегрирования по времени t в пределах от

∞

нуля до бесконечности [20], например, P⁽⁰⁾ⁱ

⁽р) = Р

j exp(-pt)P ⁽⁰⁾(t)dt.

В пространстве изображений математическая постановка задачи не содержит производных по времени и

приобретает более простой вид:

трвр^рР⁽⁰⁾i - kpx

d ²P⁽⁰⁾ⁱ dx²

2k_ydP^ d ∂y

y-(d/2)

0 0

твцрР⁽⁰⁾-kax

d²Pa⁽⁰⁾i dx²

2k_y d

dp(}i

∂y

, x>L, 0 y-(d/2)

тв^рР^)¹

- ky

d²P?* dy²

= 0,

0to, y>(d/2),

P(0)i |    = Pw , x-0

0 (d/2),

P⁽⁰⁾ⁱ= P(^{0)i 1}       , 0

¹    y-(d/2)

P(0)i = p(0)i |        , x>l, a       1    y-(d/2)

P⁽⁰⁾ilx-L = ■           kpx '       = kax  ■        , 0 (^/2).

x-L

Решение уравнения (32) с граничными условиями (34) и (35) представляется как

P^ = p⁽⁰⁾i exp

0 (d/2),

Pi⁰) = P_a⁽⁰⁾iexp

mβµ d

-1/ k P[y^- 2 J у ^x>^L, У>^(d/2).

Используя (37), (36) и (33), переписываем решение уравнения (30) в виде:

_p (0)i_ sh(^Y(p)(L-x)) ^sh(Y(p)x)  (0)i|       0

P = sh(Y(p)L) Pw +sh(Y(p)L) P L—L, °       , y>W2), где y(p) =

mpβpµ

kpx

2ky  ImfJji p kpxd    ky p.

Аналогично преобразуем решение уравнения (31) с учетом (38) и первого условия из (36):

P^ = p⁽⁰⁾ⁱ|^exp(-Ya(p)(x-L)), x>L, y> (d/2)

Здесь Ya(p) =

mβµ

k_ax

2k_y lmfJji ^p kaxd    ky ^p.

Второе условие из (36) имеет особое значение. Подстановка в него выражений (39) и (40) приводит к виду:

(ch(Y(p)L) + ^Ya(p)k^ax sh(Y(p)L)} P⁽⁰⁾ⁱ|    = Pw,

\              Y (p) kpx            J lx —L который удобен для рассмотрения двух следующих случаев, встречающихся на практике.

Первый случай отвечает недеформируемой трещине. Такая модель применима к реальным условиям до достижения давлением критического значения Pc, провоцирующего дальнейший рост трещины, и соответствует эксплуатации добывающих и нагнетательных скважин при сравнительно небольших депрессиях (забойное давление в скважине ниже пластового) и репрессиях (забойное давление в скважине выше пластового). В этом случае выражение P⁽⁰⁾ⁱ| из (41) представляем в виде:

p⁽⁰⁾i | _ = Pw/ fch(Y(p)L) + "-^pkx sh(Y(p)L)} , ' x ^{— L}      / \              ^Y\p)^kpx            J

что позволяет записать решение задачи определения поля давления в пласте с недеформируемой трещиной как

P (0)i =   Pw sh(Y(p)L)

sh(Y(p)(L-x)) +

(0) a=

sh(Y(p)x)

^ch(Y⁽P^)L)+ ^^pkx^sh(Y⁽p^)L)_; ^Y(p) kpx            /

Pwexp(-Ya(p) (x-L)

ch⁽Y ⁽P^{)L) +}'^pYx sh⁽Y⁽p^)L)

^Y\p)^kpx

p⁽⁰⁾ⁱ_ p⁽⁰⁾ⁱ  ___^Pw___p

^P1  =^P   =sh(Y(p)L)^eXP

x sh(Y(p)(L-x)) +

(0)i

^P1  =

\

, 0 (d/2)

, x>L, y>^(d/²⁾

sh(Y(p)x)

^ch(Y⁽P^)L)+ ^Ya/^Pkax ^sh(Y⁽p^{)L) Y (p}) kpx            /

mβµ d

/ -v ply^- 2) X^х

\

------ , 0

Pwexp(-Ya(p) (x-L))

^ch(Y⁽P^)L)+ ^Ya/^Pkax^sh(Y ⁽p^{)L) Y}\P)^kpx

exp -

mβµ d d k p[y- 2 J J, x>L, У>(d/2).

Второй случай реализуется при достижении давлением в окрестности вершины трещины критического значения Pc , при котором наблюдается ее дальнейшее развитие. Такие условия имеют место при создании в

= Pc, и условие (41) представляется в

нагнетательных скважинах высоких репрессий. Для этого случая P(0)i | виде:                                                               x—L ch(Y (P)L) + kax (P^ntY^L = Pw, kpx                Pc

( , Ya(P) _ I kpxmP       22    ky ymβ

где^(p)  Y(p) V kaxтрвр у ^⁺d VkXmev

Выражение (47) является неявным уравнением в пространстве изображений; его решение позволяет судить о зависимости от времени длины L трещины автогидроразрыва при критическом давлении Pc , что подчеркивает практическую важность уравнения (47).

Решение задачи определения поля давления в пласте с растущей трещиной имеет вид:

P ⁽⁰⁾i =    PW \T } f^sh(Y ⁽P^)(L -x^{)) +}PA sh⁽Y ⁽P)x))

0 (d/2),

sh(Y (p)L)                   Pw

P^P = Paexp(-Ya(p)(x-L)), x>L, y> (d/2),

P sh(Y(P)(L-XN'     slHY (p)x)

P_w

0 (d/2), (50)

p⁽⁰⁾i =   Pw

¹      s^h(Y ⁽p)L)

D (0)i                           m/p      d x>L, y> (d/2).

^P1 ’ = PA^exP -Ya ⁽P)^(X - ^L) -I k ///У - ^ J

Можно показать, что при L → ∞ из полученных выражений следует известное решение для бесконечно протяженной трещины, которое совпадает с представленными в работах [17–19] и других.

Таким образом, построено единственное нетривиальное решение задачи для нулевого коэффициента асимптотического разложения поля давления. Найденное решение составляет главную часть фильтрационного поля давления в нефтяном пласте, в котором создана трещина гидроразрыва, заполненная пропантом.

Построение выражений для более высоких коэффициентов разложения осуществляется аналогично, а предложенная модификация асимптотического метода важна с общетеоретической точки зрения и может использоваться при рассмотрении широкого круга практических проблем.

• 6.    Обсуждение результатов вычислительных экспериментов

Итак, полученные выражения описывают поля давления в пласте с трещиной гидроразрыва в пространстве изображений Лапласа–Карсона, причем их аналитическое представление в пространстве оригиналов, которое могло бы применяться в практических целях, затруднено. По этой причине для расчетов пространственных и временных распределений поля давления в пласте с трещиной гидроразрыва прибегают к численным алгоритмам [21, 22]. Алгоритм Штефеста для обращения преобразования Лапласа [21] основан на стохастическом описании, предложенном Гавером Д.П. [22]. Алгоритм Ден Изегера [22] реализован с помощью гауссовских квадратур.

В настоящей работе названные численные алгоритмы адаптированы для обращения преобразования Лапласа– Карсона, а результаты обращения с помощью обоих алгоритмов служат здесь для подтверждения достоверности расчетных данных, которые получены согласно выражениям (42)–(51). Алгоритмы численного обращения открывают широкие возможности применения в научной и инженерной практике отыскания физических полей и параметров процессов в технических системах на основе решений задач, построенных к настоящему времени в огромном количестве, но только в пространстве изображений.

Использование указанных алгоритмов позволило создать программу-симулятор для расчетов полей давления в пластах с трещиной гидроразрыва, длина которой как постоянна, так и способна изменяться со временем при превышении критических давлений, при которых происходит разрыв пористой среды. Программа обеспечивает графическую визуализацию расчетных пространственно-временных распределений полей давления, скорости фильтрации и производительности трещин (меры способности трещины пропускать жидкость или газ через себя)

в широком диапазоне параметров.

При получении представленных данных вычислений участвовали параметры пласта: пористость m = 0.18, проницаемость k_y = 1 мД, сжимаемость в = 10-¹⁰ 1/Па, параметры трещины: полудлина L = 150 м, проницаемость k_px = 100 Д, полураскрытие d/2 = 2.5 мм, а также вязкость жидкости p = 10^-3 Па^с. Величина перепада давления скважина–пласт составляла 50 атм.

Рис. 3. Профиль давления вдоль трещины (у = 0 м) в разные моменты времени t, сут: 1 (кривая 1), 30 (2), 365 (3)

На рисунке 3 приведены результаты расчетов давления в трещине гидроразрыва длиной 150 м и примыкающем коллекторе в зависимости от расстояния до скважины в разные моменты времени после начала закачки. Из анализа показанных кривых, следует, что перепад давления (разность между давлением флюида, вводимого в трещину, и давлением в пласте) в рассматриваемых по длине трещины точках и соответствующие градиенты давления малы в сравнении с градиентами в прилегающем коллекторе. Такое распределение давления благоприятствует развитию трещины при закачке воды в пласт.

Рисунок 4 демонстрирует результаты расчетов поля давления после начала закачки в примыкающем коллекторе в поперечном

у, км

Рис. 4. Распределение давления в коллекторе вдоль оси y при различных расстояниях x от скважины, м: 10 (а), и 151 (б), в разные моменты времени после начала закачки t, сут: 1 (кривая 1), 5 (2), 10 (3)

к трещине гидроразрыва направлении на различных расстояниях от поверхности скважины, то есть в трещине и вне ее. Анализ приведенных кривых показывает, что размеры зоны влияния закачки, ориентированной поперек по отношению к трещине, больше ее длины. Сравнение кривых рисунков 3 и 4 позволяет констатировать: размеры зон возмущения по пути эволюции трещины и перпендикулярных ему значительно отличаются.

На рисунке 5 представлена зависимость от времени давления в вершине трещины. Приведенная кривая свидетельствует об относительно быстром установлении давления (порядка суток). При этом достигаемая величина давления близка к амплитудному значению. Заметим, что в отсутствие трещины давление на таких расстояниях не имеет столь высоких значений в течение всего времени эксплуатации скважины. Значительное различие давлений в отсутствие трещины на расстояниях порядка ее длины объясняется тем, что наряду с повышенным диссипативным перепадом существенное влияние оказывает гидродинамический напор, связанный с пространственным ускорением потока при

^{Рис. 5. Динамика давления во времени в вершине}радиальном течении в призабойной зоне скважин.

трещины: y = 0 м, x = 150 м                      Кривая на вложенной иллюстрации приведена для оценки времени задержки — временного интервала, по истечению которого давление начинает заметно увеличиваться. Он составляет порядка 10 с. В отсутствие трещины, как показывают вычислительные эксперименты, времена задержки на несколько порядков выше. Отметим, что при использовании программы-симулятора графики такого рода позволяют оперативно, образно говоря, «с помощью курсора на дисплее компьютера», определять время достижения давлением критического значения, при котором начинается процесс неконтролируемого развития трещины (автогидроразрыв).

• 7.    Заключение

Итак, на основе асимптотического метода в пространстве изображений Лапласа–Карсона найдено решение задачи определения поля давления в пласте с трещиной гидроразрыва конечной протяженности. На основе алгоритма численного обращения осуществлены расчеты пространственно-временных распределений давления в трещине и окружающем коллекторе.

Установлено, что давление в трещине сравнительно быстро становится близким к давлению нагнетания, а основные изменения давления по пути развития трещины сконцентрированы в области, размеры которой существенно меньше размеров зоны возмущений, ориентированной поперек трещины. Показано, что значения градиентов давления в коллекторе в направлении роста трещины намного больше величин градиентов в боковых от трещины зонах коллектора. Это создает благоприятные условия для эволюции трещины.

Примененная модель определения полей давления позволяет оценить время достижения в вершине трещины критического давления, при котором начинается процесс автогидроразрыва в области влияния нагнетательной скважины. Описанный аналитико-численный подход и найденные решения открывают новые возможности для исследования полей давления в нефтегазовых пластах с трещинами гидроразрыва.