Полилинейное отображение для мультимоделирования динамических систем

Восстановление фазового пространства динамических систем представляет собой фундаментальную задачу в области анализа временных рядов, нелинейной динамики и машинного обучения. Классический метод временных задержек и теорема Такенса [1] показывают, что возможно восстановить аттрактор детерминированной динамической системы по одномерному временному ряду, диффеоморфный истинному. Этот подход, как и его последующие модификации [2], является стандартным инструментом в анализе нелинейных динамических систем.

«Московский физико-технический институт (пациопальпый исследовательский университет)», 2026

Традиционные методы восстановления пространства состояний [20] предполагают работу с изолированной системой и требуют наличия достаточной истории временного ряда для построения устойчивой модели, например, подходы, основанные на методе главных компонент [3]. Достаточноств объема данных определяется числом настраиваемых параметров модели. В реальных приложениях, таких как биоинформатика, нейронауки, финансы [4-6], возникает принципиально отличающаяся ситуация: имеется набор временных рядов, порожденных схожими, но не идентичными динамическими системами, которые описываются независящими от времени характеристиками, требуется восстановить фазовый портрет для новой системы с ранее не встречавшимся вектором характеристик и коротким временным рядом. Данная задача лежит в области обучения с немногими примерами (fewshot learning) [7] и переноса моделей (transfer learning) для динамических систем [15,17]. Для решения такой задачи требуются методы, способные выделять инвариантные динамические закономерности, общие для всего класса систем, и применять их к конкретным реализациям.

Современные подходы к моделированию динамических систем показывают ограниченную эффективность в условиях малых данных и небольших изменениях самих динамических систем. Методы на основе нейронных обыкновенных дифференциальных уравнений (Neural ODEs) [8,18] восстанавливают нелинейную динамику, но являются вычислительно сложными и обладают недостаточной интерпретируемостью результатов. Подходы, основанные на мета-обучении [7], такие как MAML, имеют сложную процедуру оптимизации и так же требуют большего объема данных. Методы, основанные на физически обоснованных нейронных сетях (Physics-Informed Neural Networks) [9,13] и гамильтоновых нейронных сетях (Hamiltonian Neural Networks) [10,14], позволяют использовать априорные знания о законе эволюции системы, но не всегда эффективно используют информацию о характеристиках системы внутри исследуемого класса [18]. Такие подходы требуют значительного объема данных для каждой новой конфигурации характеристик системы [19].

В данной работе предлагается новый подход, основанный на построении единого полилинейного отображения для всего класса динамических систем. Такое отображение связывает пространство временных задержек и пространство характеристики системы с фазовым подпространством. В случае появления новой динамической системы с новыми характеристиками метод позволяет восстанавливать пространство состояний по небольшому набору данных.

Проведенный вычислительный эксперимент показывает эффективность предложенного метода в задаче восстановления фазовых траекторий на основе временных рядов, записанных акселерометром мобильного устройства. Классом динамических систем являются механическая модель человека при выполнении одного типа движения — ходьбы. Данные состоят из записей 24 испытуемых с различными антропометрическими характеристиками (возраст, вес, рост). Итоги экспериментов показывают, что предложенный метод дает результаты, сопоставимые с моделями на полных данных для новых динамических систем и имеет меньшее число настраиваемых параметров в классе линейных моделей. Основной вклад работы заключается в разработке специализированного метода восстановления фазовой траектории новой динамической системы, а также подтверждение эффективности в вычислительном эксперименте.

2.    Постановка задачи восстановления фазового пространства

Рассматривается конечный набор динамических систем {Ej}^®, каждая принадлежит одному классу. Классом динамических систем назовем такие системы, которые можно описать одним набором ОДУ, отличающимися набором характеристик, например, математические маятники с различными длинами. Каждая система Ei описывается набором независимых от времени характеристик Cj G Rdc и времениым рядом {xi,t}^Ll, наблюдаемым на интервале t G [0, Д]. Ei — это функция эволюции системы, неизвестная для наблюдателя и позволяющая получить будущее состояние системы

^X i,t+1 = E (^Xi,t, d i ).

Так как истинная функция эволюции неизвестна, требуется по конечному временному ряду построить отображение в пространство состояний, в которой система сохраняет все ключевые зависимости

Si,t = Ё(жщ, ...,Xi,Ti, i, Wi), где w G RN" — параметры модели, р — размерность пространства состояний. Предполагается, что отличия пространств состояний динамических систем одного класса полностью определяются их характеристиками Ci. Таким образ ом, значения Ci параметризуют связь фазовых пространств.

Задача: при появлении новой системы E n _e +1 с новыми характеристиками c n _e +1 и временным рядом {х ^ _Е +1д}^Т=1^>г‘, где временного интервала длины Диоп недостаточно для построения фазового пространства, найти отображение E n _e +1- Тогда задача представима в виде

We min £ ||Xi - g(f (Xi))H2, wF   '

i =1

где / — функция построения фазового пространства F({Xi}^NE, {ci}^NE, wp), g — обратная функция /^-1 восстановления временных рядов из пространства состояний. Задача сводится к оценке отображения F, использующего априорную информацию о наборе временных рядов. Для восстановления фазового пространства новой системы требуются только значения вектора характеристик.

2.1.    Восстановление фазового пространства

Рассматривается временной ряд {хД^1, порождаемый некоторой динамической системой. Поскольку истинные переменные, описывающие состояние системы, скрыты, вводится функция h : М ^ R. которая проецирует точки фазового пространства М в значения одномерного временного ряда.

Согласно теореме Такенса, для большинства функций h и параметров задержки т > 0, отображение, строящее вектор xt [Xt,Xt+T, . . . , xt+(d-1)T ], будет являться вложением многообразия истинной системы в пространство Rd, если размерность d удовлетворяет условию d > 2ds + 1. Здесь ds — размерность пространства вложения, а т — выбранный временной лаг.

Траекторная матрица X для ряда {x_t} t ^V ₌₁ формируется следующим образом:

X=

х 1

Х 2

Х 2

Х 3

,X d X d+1

-| T Xk

X k+1

(

I

I

^X N

= [x 1 , X 2 ,..., X k] , k = N -d + 1,

где N — длина ряда, а т принят равным единице. Построенное таким образом фазовое пространство (1) имеет высокую размерность, которую требуется уменьшить.

С целью снижения размерности используется метод главных компонент (РСА). Пусть X G R^dxk — траекторная матрица векторов задержек из (1). Её сингулярное разложение записывается в виде

X = USVT, где U — матрица, столбцы которой являются ортонормированными собственными векторами матрицы XXr, V — матрица из ортонормированных собственник векторов XTX, а S — диагоналвная матрица с неотрицательными сингулярными числами.

Проекция в подпространство меньшей размерности строится с использованием р ведущих сингулярных чисел и матрицы U:

S = WX = [ s i, S 2,..., s _fc ] , Щ g RP    р <  d.                     (2)

Выбор параметра р осуществляется по величине объяснённой дисперсии при последовательном наращивании размерности подпространства. Для периодических рядов также используется эвристика, согласно которой р увеличивается до тех пор, пока в проекции не пропадут самопересечения — ситуации, когда одной области фазового пространства соответствуют участки ряда с различной фазой.

Комбинация метода задержек (1) и анализа главных компонент (2) формирует искомое отображение, известное как вложение глобальных главных компонент. Схема получения фазового пространства описанными методами для прогнозирования временных рядов показана на рис. 1.

Рис. 1. Упрощённая схема прогноза в фазовом пространстве и классическим линейным подходом

3.    Предлагаемый полилинейный метод

Для построения полилинейной модели снижения размерности вводится необходимая тензорная операция. Рассмотрим тензорное произведение тензора A G R^ ^{I 1 X}^^^^{x I n} и вектора v G R^J" по п-й моде. Результатом этой операции является тензор C G Rix-xin-ix/n+ix-xPv, _{элементы} которого вычисляются следующим образом:

С = А х_п v ,   C i i ,...,i _n-1 ,i _n+i ,...

^N = Е Oil,^

ⁱn = 1

,...

,i N ^V i n .

Данная операция позволяет сворачивать тензор с вектором вдоль заданной моды, снижая число мод.

В рамках данной статьи рассматривается задача анализа дискретных динамических систем. Для реконструкции пространства состояний по экспериментальным данным используется метод задержек, в котором исходный временной ряд преобразуется в набор векторов траекторий. Базовая параметрическая модель снижения размерности имеет вид si,t — A(ci)xi,t,

где x i, _t — [x_t, x_t- i ,..., x_t-n]^T — вектор временной задержки, построенный из временного ряда x i с п задержками; s _i , _t G R^p — вектор состояния в фазовом пространстве ср ^ п; C i — вектор характеристик системы; A ( c i) — матрица отображения, параметризованная характеристиками системы.

Исходная модель, представленная в уравнении (3), является линейной и не учитывает полилинейные взаимодействия между компонентами вектора задержек и характеристиками системы. Для учёта таких взаимодействий, а также дополнительной априорной информации о системе, предлагается расширить линейную систему полилинейным отображением, связывающим все исследуемые пространства состояний si,t — A ^2 xi,t ^3 ci,

^гД^е A € RP^xnxck _ параметрический тензор модели, в котором d_c — размерность вектора характеристик Ci. Операции тензорного произведения Х2 и Х3 обеспечивают учёт взаимодействий между различными компонентами модели.

Предложенная полилинейная модель (4) не включает в себя линейную и билинейные составляющие. Для их включения в модель к вектору задержек и вектору характеристик добавляется константа, что позволяет явно учитывать предложенные компоненты

^{41— в х} 2 Ш ^хз [CJ

— B ( ci ) xi, _f,

где B € RPxO+^xf^e+i) _ тензОр параметров модели, B(ci) — матрица преобразований, полученная после произведения тензора параметров с вектором характеристик. Схема предложенного метода в нотации Пенроуза представлена на рис. 2.

Рис. 2. Схема полилинейного метода снижения размерности. Входные данные взаимодействуют через тензор B, формируя вектор состояния в пространстве низкой размерности

Ключевое преимущество предложенного подхода заключается в том, что тензор B выполняет не только линейную проекцию, как в методе главных компонент (РСА), но и осуществляет нелинейную фильтрацию данных, учитывая полилинейные зависимости между временными задержками и характеристиками системы. Это позволяет более гибко и точно моделировать сложные динамические системы, сохраняя при этом вычислительную эффективность, присущую линейным методам.

3.1.    Предлагаемый алгоритм восстановления фазового пространства по неполным данным

Для новой системы формируется следующий алгоритм восстановления фазового пространства, состоящего из двух этапов — обучения и восстановления.

Этап обучения. Для каждого временного ряда {жг,Д^ 1 из обучающих данных { E i}^ по временному ряду строится траекторная матрица Xi и добавляется константное значение из (5). По полученным траекторным матрицам {Х^Д^ и векторам характеристик получаем расширенное представление matr(Хщ х Ci) € R^xni^ _Гд_{е т}щ_г _ _опе_ рация разворачивания тензора в матрицу. Оценивается параметрическая тензорная модель matr ( B ) € RP^^¹)^¹) методом главных компонент и разворачивается в тензор B € RPxCn+lWd+l),

Этап восстановления. Для нового временного ряда с характеристиками с ^_Е +1 и временным рядом {х^_Е^1,1}ДД восстанавливается матрица отображений B = B Х з с ^_Е +1. Исполвзуя новую матрицу преобразования B из (2), оценивается отображение в фазовое пространство для короткого временного ряда

^S N e +1 = ^BX N e +1 ,                                (А)

где X n _e +1 — траекторная матрица (1) нового временного ряда {х^_Е+1,t}^^h1^rt.

Такая процедура позволяет получить точки в фазовом пространстве по новым характеристикам для малого временного ряда.

4.    Вычислительный эксперимент

В данном разделе представлены результаты вычислительного эксперимента оценки восстановленных временных рядов для новых динамических систем, которые не использованы в построении отображения. Эксперименты проводились на наборах данных записей акселерометра [11] и заключались в сравнении предложенного метода с моделью, включающей вектор характеристик линейно, и выбором модели восстановления пространства, ближайшей из обучающей выборки по параметрам с.

4.1.    Наборы данных

Для проверки эффективности предложенного метода использовался набор данных записей акселерометра мобильного устройства. Данные состоят из временных рядов показателей акселерометра, записанных с частой 50 Гц на 24 испытуемых. Все временные ряды соответствуют одному типу движения — ходьбе по одному пути, в течение 5 мин. Во всех записях одна модель телефона находилась в правом кармане на уровне пояса. Каждому испытуемому соответствует вектор характеристик — пол, возраст, вес и рост.

Набор данных является классическим для сравнения подобных моделей прогноза временных рядов, что позволяет сравнивать предложенный подход с существующими методами.

4.2.    Протокол эксперимента

Вычислительный эксперимент проводился следующим образом.

Обучение моделей претендентов: выбирался набор из десяти испытуемых разного пола, возраста, веса и роста. Для классических моделей выбирались значения т = 1 и п = 35, для линейной объединенной модели т = 1 и п = 55, для полиномиальной модели т = 1 и п = 35.

• •    Классический метод: оценивались отображение в фазовое пространство для каждого временного ряда в отдельности.

• •    Объединенный линейный метод: временные ряды выравнивались по моменту начала ходьбы, и объединялись в единое признаковое описание. Из объединенных матриц строилось отображение в единое подпространство.

• •    Предложенный метод: для отобранных десяти испытуемых оценивалась единая полилинейная модель.

4.3.    Результаты

Критерий качества: для каждого метода проводилась процедура восстановления временного ряда из фазового пространства обратным отображением на новых тестовых системах. Для статистически значимой оценки выбирались оставшиеся 14 испытуемых. Для классического метода для каждого тестового испытуемого выбиралась система, ближайшая по характеристикам. С помощью отображения, полученного на ближайшей системе строилось отображение для новой. Для объединенного линейного метода к новому временному ряду и полученной траекторной матрице добавлялся вектор характеристик. С использованием уже настроенных параметров строилось отображение в фазовое пространство и далее обратное отображение в исходное пространство состояний. Для предложенного метода для каждого временного ряда с помощью полилинейной модели и вектора характеристика восстанавливала свое прямое и обратное отображение.

Для более наглядной интерпретации результатов использовался коэффициент детерминации Н для оценки доли описанной дисперсии после восстановления временного ряда из фазового пространства.

Для оценки эффективности предложенного полилинейного метода был проведен вычислительный эксперимент на наборе данных акселерометра, записанных для 24 испытуемых. Качество восстановления временных рядов оценивалось по коэффициенту детерминации Н2 для размерностей фазового пространства р от 4 до 9.

(а)

(б)

(в)

Рис. 3. Фазовые траектории временного ряда: (а) модель на полных данных, (б) предложенный подход, (в) модель на ближайшей ДС, (г) единая линейная модель

Результаты, представленные в таблице 1, демонстрируют, что предложенный метод превосходит подходы, основанные на единой линейной модели и модели, построенной на ближайшей динамической системе (ДС). При этом метод показывает результаты, близкие к модели, обученной на полных данных, что подтверждает его способность эффективно использовать априорную информацию о характеристиках системы из неполного набора данных.

На рисунке 3 показаны фазовые траектории, восстановленные различными методами. Предложенный подход (рис. 36) наиболее точно воспроизводит структуру траектории, поскольку получена с помощью модели на полных данных (рис. За), в то время как модель на ближайшей ДС (рис. Зв) и единая линейная модель (рис. Зг) демонстрируют существенные искажения и потерю геометрических особенностей. Также в сравнении с набором моделей для поиска ближайшей динамической системы предложенный метод имеет существенно меньше параметров. Модель на всех ДС для р = 5, п = 35, т = 1 имеет 1750 параметров, а предложенная модель - 700 параметров при лучших результатах, как видно из табл. 1.

Таблица 1

Сравнительные результаты точности восстановления временных рядов по коэффициенту детерминации R2

р	Модель на полных данных	Модель на ближайшей ДС	Единая линейная модель	Предложенный метод
4	0.43	0.37	0.16	0.39
5	0.49	0.42	0.26	0.42
6	0.53	0.45	0.36	0.47
7	0.58	0.48	0.39	0.51
8	0.61	0.51	0.42	0.54
9	0.64	0.54	0.46	0.57

Таким образом, экспериментальные результаты подтверждают, что полилинейное отображение позволяет эффективно учитывать взаимосвязь между временными задержками и характеристиками системы, обеспечивая точное восстановление фазового пространства для новых динамических систем.

5.    Заключение

В работе предложен новый метод восстановления пространства состояний, основанный на едином полилинейном отображении для одного класса динамических систем. Метод позволяет строить фазовые траектории для новых систем с короткими временными рядами, используя априорные знания, извлеченные из набора схожих динамических систем и их характеристик.

Теоретическая значимость исследования заключается во введении полилинейной модели, которая обобщает классические линейные подходы, такие как метод глобальных главных компонент. Практическая ценность метода подтверждена результатами вычислительного эксперимента, который показал его преимущество по сравнению с альтернативными подходами по точности восстановления временных рядов.

Основное ограничение метода связано с линейным классом моделей, необходимостью наличия репрезентативного набора данных для обучения и корректного выбора параметров модели, таких как размерность пространства состояний р и число временных задержек п. Однако, как показал эксперимент, даже при относительно небольшом объеме обучающих данных метод демонстрирует высокую эффективность на новых системах.

Перспективные направления дальнейших исследований включают использование нелинейных представлений фазового пространства для работы с нелинейными динамическими системами, использование нескольких временных рядов из каждой динамической системы для получения более точной структуры фазовых траекторий, а также применение тезорных разложений для оптимизации числа настраиваемых параметров модели.