Полиномиальные решения дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами I

• 1.    Введение

• 2.    Пространство полиномиальных решений

Предлагаемая вашему вниманию статья посвящена построению и исследованию полиномиальных решений систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами общего вида. Изучению полиномиальных решений конкретных уравнений в частных производных посвящено много работ. В основном это исследования поли-гармонических [1, 2], поливолновых [3], тепловых [4] и других полиномов [5]. В [6] исследуются базисные системы полиномиальных решений множества различных уравнений, однако при построении решений существенно используется структура дифференциального оператора уравнения. Следует отметить, что работа [7] посвящена такой же проблеме, но только для системы специального вида (несколько уравнений и только одна неизвестная функция). В работе [8] строятся полиномиальные решения полигармонического уравнения с помощью формулы Альманси, в [9] исследуется зависимость полиномиальных решений от коэффициента при старшей производной, а в [10] сделаны первые попытки общего подхода нахождения полиномиальных решений. Существование полиномиальных решений краевых задач для уравнений эллиптического типа исследовал С.М. Никольский [11]. В [15] построены полиномиальные решения неоднородного полигармонического уравнения и уравнения Гельмгольца. В настоящей работе не имеет значения ни структура оператора уравнения, ни тип дифференциального уравнения. В разделе 2 исследуется размерность пространства полиномиальных решений систем дифференциальных уравнений и в теореме 4 предложен метод, сводящий отыскание решений системы уравнений к решению только одного уравнения, но более высокого порядка. В качестве примера применения полученных результатов доказана разрешимость в гармонических полиномах общего уравнения вида B{D)u{x) = и₀(х), где и₀(х) - гармонический полином.

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор порядка q с постоянными коэффициентами вида q цо>^LAD^ LAD>>= 2 A«D“^                 (0

j=k                      \a\=j где L^D)^ 0, aeNg (здесь N0sNu{0}), Da = D“'•■ • D“n и матрицы Aa принадлежат

L(C⁵,C') - пространству линейных отображений С⁵ в C^z (s,f е N). Определим множества: к

?к - № = 2 Р_ах^а : Р_а е С}, И^ - {Г W = 2 ^pj ^ ^: W ^{G Р}Л 1«1=к                                        /=0

и обозначим Р' = lim Uj[. Очевидно, что все эти множества могут быть наделены естественной £->СО структурой линейного пространства над С .

Карачи к В. В.                        Полиномиальные решения дифференциальных уравнений________________________8 частных производных с постоянными коэффициентами I

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида

ЬфМх) = /ф,                         (2)

где будем считать, что /еР⁽, и е Р⁵ и х е R". Множество функций - классических решений системы (2) (и ё О'⁷ (R” ) ) при / = 0 обозначим kerZ(D). Основным средством исследования этого параграфа является следующая полуторалинейная форма на линейном пространстве Р⁵:

где (.,.) - скалярное произведение в С⁵. Аналогичная форма была рассмотрена в [12], но на пространстве Р_к.

Покажем, что форма (.,.) является скалярным произведением в Р5. Нетрудно проверить справедливость формулы

(3) О, иначе где обозначено х“ = xv ■ • -х“" (ln,! = tn!n\), а порядок на Nq определяется так: a< р <^>^1^1п, at < Pj, где In = {1,2,...,«}. Далее, в соответствии с (3) будем иметь

(p4x),Q4x)} = ^ оДР_афЛ а

Полученное равенство позволяет нам утверждать, что форма (.,.) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения в Р5. Форма (.,.) полуторалинейная

^ЛРЧх) + МНЧхШЦ = ^^Ра + PR^Qa) = а аа

(Пт),1№)) - X       £ ^Qa,Pa) = ^РЧхШЦ аа и положительная

^рчх\рчх^=х<раФф=X«!hll2 > °, аа если Ps (х) * 0 .

Введем оператор Tm(L): U^ м U^,, который определяется по оператору ЦП) и при т>к имеет вид min(m,) TmW= £ Ц^, i-k где T^ : 1ф t-> U^ - проектор

т_(/)£№)=£ем i=0          /=0

причем Q‘ (x) g Р/ , L^x) ^^^x" и как обычно А* = Q_j(). а

Лемма 1. Для любого оператора вида (1) имеет место равенство

Z(n)U^=U^©ker4(Z).

Доказательство. Нетрудно убедиться, что для P4x)eUsm справедливы равенства q т                  min(m,qr)

Рф)РЧх)^2к^)Р}Чх)= Z 11к(О)РРДх),(4)

i=k j=i                   i=k/=0

Математика а следовательно, Z(£>)U^ сU^ . Теперь покажем, что для РДхЭеИ^ и Q? фе\Ут_к имеет место равенство

(Т(О)Р^ (х), 0 Ц = (p^s (х), Т_т ф)^ (х)).                     (5)

Действительно, из равенства (4), заменяя i ->т-1, а затем, меняя порядок суммирования и обозначая при этом а = max(m - q, 0), b=m-k, получаем min(m,9) m-i                   b у

^)РДх) = ^ ^LAD)P^x) = ^L_m^D)P^^^ i=k j=0                i=aJ=0

»      »                             ь y=0 i=max(y,a)

Используя очевидное утверждение

Р$Ф е Фр,д5ф е U^ => (p4x),Q4x)\ = ^^Pf ф, $(7)

i=0

находим

^UD)P4x),Q\x)) = X ^‘фф‘ф) = X £ \^Lm-j 1=0                     /=0 y=max(i,a)

Теперь покажем, что имеет место равенство

(4 ф^ (х), Q*, ф} = ^ (х), ХкФОг to) •                  (8)

В самом деле, так как РД^ОР^/С*) с Р/, то

= ^ФО^^Ц = {PkAx\L кФЙ ф) •

Используя полученное равенство, находим b ь уф^ф^фу^ £ ^-Мьт-АШх^ 1=0 j=inax(i,a)

и значит, возвращаясь по цепочке (6) назад, получаем min(m,g) т- j ^Ьф^фф‘фу £ ^^Ф'ТЧх^фУ j=k i=0

min(m,i7) и                             min(m,^) т+к

= S Тдр^фФенАУ 2 Ц^ф,1Дх)2‘_нф). j=k i=j                              j=k   i=j

Теперь следует заметить, что в соответствии с определением оператора Т_тф т1п(т,у)

Т_тф0ф= Е ь,фТ_и__к^ф = j=k т1п(т,у) m-j+k                min(m,) т+к

= X Z р,Ф2‘ф= £ У,Т)Ф0_НФ-j=k i=0                    j=k   i=j

Поэтому, если воспользуемся (7), то будем иметь min(m,<7) т+к

^ф^ь^фу ^У^хУьЧх^^фУУффЧхШфУ j=k i=j что совпадает с (5).

Если теперь предположить, что ЗР‘феХ]‘_т__к и Р* ф V Ьф^ХЗ^, а затем обозначить

H^s ф = Т_т фР¹ ф, то согласно (5) получим

У⁵ ф, н^$ ф^ = уф)ф ф, р‘ (х)} = о,

Карачик В.В.                        Полиномиальные решения дифференциальных уравнений_______________________________в частных производных с постоянными коэффициентами / откуда сразу следует, что Tm(L)P‘(x) = 0, а, значит, верно включение

Uzm_,0Z(Z))U^CkerZm(Z).

Если в (5) выбрать Q‘(х) е ker T_m(L), то VP\x\^L(P)P^s(x),Q4x)^ = 0 и мы получаем обратное включение ker T_m(L) с k5‘_m__k О Z(Z))U^ . Лемма доказана. □

Следствие 1. Из леммы 1, при Дх)е VS‘_m__k, следует простое необходимое условие существования решения уравнения (2), принадлежащего U* . Оно имеет вид

I(xV(x) = '£P_i(x')^3ii(x)^0. i

Доказательство. В самом деле, пусть условие следствия не выполнено, т.е. пусть ЦтШ^)-^. Rj(x) и ^i Поскольку имеет место равенство min(m,g)      m-i         min(m,q)

T_mW(x) = X Uxf^J^ £ У               (9)

i=k         j=0            i=k /+j

Будем говорить, что квадратная матрица ЛДх), элементы которой т,у(х) принадлежат Р = Р1, невырожденная, если полином detZZ(x), как элемент Р отличен от нуля, т.е. det3Z(x) * О в Р.

Теорема 1. Если матрица Z(x) - квадратная, а матрица ЬДх) - невырожденная, то для оператора Z(Z)) вида (1) верно равенство Z(Z))Uf„ = \}^l_m__k (,s = t).

Доказательство. Покажем, что в условиях теоремы ker Тт (Z) = {0}, а значит, в силу леммы 1 U^ О Z(Z>)U„ = {0} и теорема будет верна. Пусть Pz (x)g ker Tm(Z). Напомним, что U'OT_fc -область определения оператора Tm(Z). Сначала докажем справедливость утверждения т-к

Р^хД^РКх^Р^хД».

i=j

Действительно, из равенства (9) для оператора Tm(L) следует, что однородный полином наименьшей степени, входящий в Тт (L)Pe (х), будет иметь вид £ k{x)Pj (х) • Следовательно, из верности утверждений det Lk (х) = 0 <=> det £ к(х) = 0, detz.(x) * 0 => ^£к(х)Р*(х) = 0^РЧхД О),                   (10)

которые становятся очевидными, если их рассмотреть над полем частных О = y\x)/Q(x): Р(х), Q(x) е Р} кольца Р, сразу найдем Pj (х) = 0 .

Применяя доказанное утверждение т-к раз к произвольному полиному из kerT_m(Z), приходим к выводу, что он должен быть нулем. Теорема доказана. С

Лемма 2. Имеет место следующее разложение пространства U^.' U^=(kerZ(Z))nU^®T_m(Z)U^.

Доказательство. Рассмотрим подпространство и^ = ТД1?)\3¹_т__к пространства U^ и найдем элементы из U^,, которые ортогональны ему. Имеем

Математика _________________________________________

(вЧхУ^^ = 0 => ^Чх^Цу^ 0 kerTm(Z)^ = О, и следовательно, в силу леммы 1 и (5) запишем ^L(D)RS (%),Z(D)U^ = 0. Полученное равенство справедливо лишь при Ps(x)ekerZ(D)nU^. Поскольку приведенная выше цепочка утверждений обратима, т.е.

R4x) е ker Z(Z)) nU^ =>(К4х)д№>) - О, то лемма доказана. □

Следует отметить, что в силу (5) оператор T_m(L) является сопряженным к оператору ЦОД действующему из U„ в U^, а именно С (О) = T_m(L).

Определение!. Систему полиномов Pi(x\...,Pk(x') с коэффициентами из некоторого линейного пространства над С, удовлетворяющую условию Vi = l,k, deg7)(x) = m, назовем линейно независимой по старшему члену, если для любых аъ...,ак из С выполнено равенство deg(a]P1 (х) + • • • + акРк (х)) = т.

Из данного определения следует, что если полиномы Д (х),...,РДх) однородные степени т , то линейная независимость по старшему члену совпадает с линейной независимостью.

Теорема 2. Максимальное число линейно независимых по старшему члену полиномиальных степени т решений однородного уравнения (2) - Nm(n,k) находится по формуле

/ т + н-1 ) N^n^-sX      -Z

I и -1 J

^m-k-vn-XA ,       ,

+ dimPm-dirnPm_1,

И — 1 J

(И)

в которой обозначено i>m

Доказательство. Установим, что т dim

(12) ' /=о

Для этого докажем следующее утверждение. Если {Р^ (х): a g Л} - базис в пространстве ker HD) о U^_], а {Pj (х): Д е 5,degP^(x) = ти} - максимальная система линейно независимых по старшему члену полиномиальных степени т решений однородного уравнения (2) (к этой системе нельзя добавить полинома степени т из ker£(Z))nU^, чтобы она осталась линейно независимой), то система полиномов ^Рд^х\Рр^ху.аеА,РеВ^ является базисом в пространстве kerZ(D)oU^. Действительно, если некоторый полином Q4x)e kerZ(Z))nU^ нельзя представить как линейную комбинацию полиномов этой системы, то система ^Qs (х), Рр (х): Р^В} линейно независима по старшему члену, поскольку в противном случае Эс е С,Эс^ е С, cQ4x^   СрР= (х) е kerЦП^гл U^„

Дей а это означает, что Зса е С, сОНх^^СрР^Х^^сЛ^У (ЗеВ            а^А что противоречит допущению о непредставимости полинома Q4x). Однако линейно независимость по старшему члену системы ^Qs(x),Pp(x): р£ В} тоже невозможна в силу максимальности

Карачик В.В.                        Полиномиальные решения дифференциальных уравнений

_______________________________в частных производных с постоянными коэффициентами / системы {Z^ ф: ^еВУ Итак, система полиномов ф® (х), Р^ (х): а е А,/3 g В} - базис в пространстве ker L(D) nU’r Поэтому dim f ker L{D) nU^ = Nm (n, k) + dim ^ker L{D} n U^_] ^j.

Отсюда по индукции устанавливается справедливость (12).

Из общих свойств линейного оператора T^L) находим dim(z_m(Z)U^z_w__A) = dimU^z_m__ft - dim kerT_m(L\ а поэтому из леммы 2 с учетом (12) следует, что

^ N_t (n,k) = dim U^ - dim U^.^ + dim ker T_m (L). ;=0

Выписывая аналогичное равенство при т = т -1, а затем, вычитая получившееся равенство из имеющегося, будем иметь

Wm(n,£) = dim U^, -dimU^ -dimU^ +dimU^_, +

+ dim ker T_m (L)- dim ker T_m__x (L).

Нетрудно заметить, что т + п -1

п-1

dimll^ -dimU^_] =dimP^ =sdimP^ =5 а значит найдем fm+и-Л fm-к+п-У

N (n,к) = s\          -Z              + dim ker7_m(Z)-dim kerZ_m_](Z).        (13)

n —1 J и —1    )

Как отмечалось в следствии 1, если в выражении ЬфР*(х) отбросить все члены, порядок которых выше т, то получим T_m(L)P^l(xy Поэтому, если обозначить ^^S=U_i>m^’ ^{то для} Р¹ (х) е U^ будем иметь

ШРЧх^-ТтЩР\х^^5.

Если Р'(х) ekerZ_m(Z), то L(x)P\x)g W⁵ и значит Р'(х)&У^. Верно и обратное. Если P\x)gV^,to L(x)P‘(x) е W⁵ и значит T_m(L)P^! (х)g W^s , а это означает, что T_m(L)P^l(x) = 0, т.е. ^(х) g kerT_m(L). Значит, kerZ_m(Z) = V^ и из равенства (13) следует утверждение теоремы. Доказательство завершено. □

Пример!. Пусть 8_к(х,у) и R_k(x,y) - некоторые полиномы, не имеющие общих делителей в кольце С[х,у] полиномов над С. Рассмотрим два дифференциальных уравнения: 8_кф_х,О_уМх,у) = 0, R_k^D_x,D_yW^ = 0.

Существуют ли полиномиальные решения этих уравнений, общие для обоих из них и как много таких решений [7]?

Определение 2. Полиномиальное решение дифференциального уравнения с однородным степени к оператором Z^Z^Z^) будем называть простым решением, если степени каждого монома, входящего в это решение, либо по х, либо по у меньше к .

Запишем рассматриваемые уравнения в виде системы

(8кфхф?У

ЦВ_хФ_уМх,у)=          к(х,у) = 0.                  (14)

фкФхФу) )

Найдем N_m - число линейно независимых однородных полиномов степени т , которые являются решениями обоих рассматриваемых уравнений. Для этого воспользуемся теоремой 2 для системы (14) полагая s = l, t=n=l, q = k и значит в этом случае L ф у) = С (х, у) = (S_k( х, у), R_k (х, у)).

Математика

Найдем число Х_т = dim К^ = ^^(х) е U²__t: Z(x)J*²(x) е (J_j>m Р₍'| • Используя равенства

^к (х, у) + R_k(x,y))\            = S_k (х, у)Р_т__к (х, у) + R_k (х, y)Q_m__k (х, у) = О

\Vm-kVx,y))

и учитывая, что полиномы 8_к(х,у) и Q_k(x,y) не имеют общих делителей, можем утверждать, что полином Р_т__к(х,у) должен делиться на полином R_k(x,y) и выполнено равенство Qm-k (^х> У)⁼ ~^к (^%> У^Рщ-к (^х> У^Рк ^^Х’ У) ■ Поэтому т - к > к и поскольку полином P_m__k^x,y^!R_k^x,y^ имеет степень т-2к и может быть выбран произвольно, то таких однород-ных полиномов от двух переменных будет , а значит

( т-2к + Х

Ли —     =     ,

Следовательно, из равенства (11) получаем

( ту1)

, Г2

т-к +В (т-2к + 1 +

откуда N_m = 0 для т > 2к, N_m = 2к-т-\ для 2к > т > к и N_m = т +1 для к > т > 0. Таким образом, все полиномиальные решения, общие для рассматриваемых уравнений - простые.

Предложение 1. Если матрица £(х) символа оператора системы (2) квадратная, а матрица

L_k (х) символа оператора младших производных этой системы невырожденная, то решение системы (2) существует при любой правой части /(х) е\У_т__к и максимальное число линейно независимых по старшему члену полиномиальных степени т решений однородной системы (2) имеет вид

^щ + и-1) (m-k-vn-V

N_m(n,k) = s\ -5 л-1 ) ( л-1 J

Существование решения системы (2) сразу следует из теоремы 1. Значение N^n,^ получается из теоремы 2, если учесть, что в данном случае L_k(x) У 0 => L_k(x) у О и значит полином низшей степени, входящий в Е(х)Р‘(х), будет иметь вид L_k(x)P{(х), где Р, (х) - однородный полином низшей степени, входящий в Р⁽(х) и 1<т-к. Поэтому включение Z(x)P^z(x)e[J_(mP,^s

(5 = /) возможно лишь при Р¹ (х) = 0, а значит V^ = {0}.

Замечание 1. Если квадратная матрица L_k(x) невырожденная, то используя предложение 1

и п+1 п+т п+т+1

и известное комбинаторное тождество +    ++    = находим

I П I П                        I n + l J

™           т<г + п_2Л

^^(Л-1Л) = 5^

/=о               z=o\ п 2 )

I-к + п-2\ (т + п-1\ (т-к + п-\ = 5         -5

= N>,kY

л-2  )   (^ л-1 )   (   л-1

Например, максимальное число линейно независимых однородных степени т гармонических полиномов от л переменных равно максимальному числу линейно независимых гармонических полиномов до степени т включительно от л -1 переменной.

Пример 2. Подсчитаем число линейно независимых по старшему члену полиномиальных степени т решений системы уравнений вида:

М» "«Ху - V^ = 0, U^-Uyy-V^ 0, возникающей при исследовании некоторых задач термоупругости. Перепишем систему в виде

D^-D1^

Ь1 -D2

^ХХ УУ

Карачик В.В.                        Полиномиальные решения дифференциальных уравнений_______________________________в частных производных с постоянными коэффициентами /

Для этой системы имеем Г = s = 2, и = 2,   £ = 1, q = 2 и кроме этого det Lx (х, у) = det Ц (х, у) = 0, но det Цх, у) Ф 0. По аналогии с примером 1 обозначим Лт = dim V^. Нетрудно видеть, что

Л 2         2

(лй)^^ ^{х х} у I Lu^

p_t = 0=0 для 0т__гфу),Р_т__х = хР^г,Q_m__x = -yR_m_₂.

В силу произвольности й_т_₂(х,у) будем иметь Л_т = ^т~¹ |. Поэтому

и значит N_m = 3 для т > 2 и N_m = 2 для т = 0,1.

Теорема 3. Для любого оператора ЦО) вида (1) верно равенство

ЦО)Р⁵ =Р' 0kerZ(x).

Доказательство. Положим Р⁵ф е Р⁵, ()‘ф е Р'. Если обозначить k +I = т, то из равенства (8) нетрудно получить

^кф)рцхшЦ=^мМ^Ц-

Здесь уже можно считать, что числа к,1 и т независимы, поскольку при тФк + l мы имеем очевидное тождество 0 = 0. Поскольку P^s(x) = ^_m7^(x) и 0^z(x) = ^_/0_/^z(x), то, суммируя это равенство по I и т и полагая к = 1, получаем

^Д ф)Р^$ ф, Q‘ ф} = (р⁵ф, Цф^ ф).

Если полученное равенство просуммировать по / от к до q, то найдем ^ЦО)Р⁸фф‘ф^ = ^фДф^ф^.

Отсюда сразу следует, что для оператора ЦО): Р⁵ н> P^z справедливо равенство Дф) = Цх): P^z м Р⁵. Проводя рассуждения, аналогичные сделанным в конце доказательства леммы 1, приходим к равенству ЦО)Р^$ = P^z О kerZ(x), завершающему доказательство теоремы.

Имеет место утверждение аналогичное предложению 1.

Предложение 2. Пусть матрица Еф символа оператора системы (2) квадратная. Тогда если det Цх) Ф 0, то полиномиальные решения иф е Р⁵ системы (2) существуют для любой правой части /фсP^zЦ-t).

Это утверждение следует из того очевидного факта, что если deti(x)^0, то однородная система ЕфР'ф = 0 имеет только нулевое решение Р¹ф = 0, т.е. kerZ(x) = {0}. Тогда из теоремы 3 следует, что ЦО)Р⁵ = P^z.

Пример 3. Рассмотрим известную систему уравнений Ляме 50       . —

Aи, + Ц"•"” - /ф) i = ^n, ОХ, где <Эи - объемное расширение, имеющее вид 0М = div и . Запишем эту систему в виде [13]

Е_ци = Ам + р,Ои = / (х),                               (15)

где О = й\аЦОХх,...фХп)Кй\а%фч,...ф:(п), а матрица А состоит из одних единиц, т.е. А = (1).    . Обозначим через Е единичную матрицу. Убедимся, что для любого ц е С, но цф-\ верно равенство Ефп =Р". Для этого воспользуемся предложением 2 и покажем, что

Математика det Е (х) * 0 . Подсчитаем det Еи (х). Продифференцируем det Ец (х) по параметру р. Это воз можно в силу полиномиальной зависимости det£p(x) от р. Воспользуемся правилом диффе ренцирования определителей. При дифференцировании первого столбца определителя detEM(x)

будем иметь

Э//(х1,х2,...,х,7) = х2 det

рх2     ...     рх„

^+|х|²  ...   рх₂х_п

2 , 12

'И

ВЧхп ... рхп + \х\

Если продифференцировать к -й столбец определителя det Е^ (х), а затем переставить в нем

1-ю и к -ю строки, а затем 1 -й и к -й столбцы, то получим АДх_к,х₂,...,х_к__х,х_х,х_к^_х,...,х_пУ Таким образом, можно записать

(detE^x)) =ЛДХ],х2,...,х^ + ЛДх2,:1ч,...,х^ + --- + ХДх,,,х2,„^             (16)

Исследуем зависимость полинома А^ (х) от р. Если продифференцировать этот полином по р, то нетрудно заметить, что его производная будет равна нулю: при дифференцировании первого столбца мы получим нулевой столбец, а при дифференцировании / -го столбца (2 < z < и) мы получим первый столбец, умноженный на x_z. Значит полином АДх) не зависит от р. Поэтому

Аи(х) = X2 det	1   вч Ч А^+И2 •	рхп рх2хп	= 4)(х) = х2
	х„ рхгхп .	2 < .2 .. //Xn + |x|

Подставив найденное значение А_ц (х) в (16), находим

Это означает, что det£A(x) = //|x|2"+5(х),                               (17)

где В^ - некоторый полином. Для того, чтобы его найти достаточно положить р-0 в (17).

Будем иметь | х |2'7 = det Ео (х) = В(х). Таким образом, detE^x) = (1 + р) | х I2" , а значит det E/Z(x)^ О при рф-\. Хорошая операторная матрица А-Е возмущается хотя и не малой, но очень плохой матрицей pD, для которой rankZ)(x) = l и поэтому она мало влияет на действие оператора А • Е: число однородных степени т полиномиальных решений однородной системы (15) при всех рф-\ одинаково и совпадает с числом однородных гармонических полиномов степени т умноженным на число переменных и.

Где искать решения однородной системы (2) устанавливает следующее утверждение.

Предложение 2. Имеет место равенство P^s = (ker L{D} n P^s) Ф Е(х)Р'.

Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 2 с той лишь разницей, что вместо леммы 1 надо использовать теорему 3.

Определение 3. Будем говорить, что вектора £ц)(х) из Р' (i е /т) полиномиально незави симы, если

2 ^(х)4₀(х) = 0 => Vz 6 I_m, Д (х) = О, 1=0

где /)(х)еР. Рангом матрицы Цх) назовем максимальное число ее полиномиально независимых столбцов.

Карачи» В.В.                        Полиномиальные решения дифференциальных уравнений_______________________________в частных производных с постоянными коэффициентами I

Предположим, что матрица Цх) обладает следующим свойством: если ранг матрицы Цх) равен г , то г ее первых строк и столбцов полиномиально независимы. В противном случае мы можем переставить уравнения системы (2) и перенумеровать ее неизвестные так, чтобы это свойство было выполнено.

Лемма 3. Существует замена переменных и = Аф)$ с невырожденной матрицей А(х), приводящая систему (2) к виду

"dia^R^m(D),...,R^(r\D)) о"

8(x) = f(x).

v       Тф)         О,

Доказательство. Рассмотрим матрицу Еф как оператор, действующий из О⁵ в О¹, где 0^s = < ^ С_а8_аф: С_а е C^s,S_a(x) е СП и О - поле частных кольца Р^Р¹ из теоремы 1. Тогда понятие полиномиальной независимости из определения 3 становится эквивалентным обычной линейной независимости в О⁵.

Пусть ранг матрицы Еф равен г . Выберем в пространстве ЕфО⁵ следующий базис:

е,(х) = (о,...,О,/?(/)(х)Д^^

где iel_r, R^x) и Т дф (j = r + l,...,Z) - полиномы по х, выбранные таким образом, чтобы существовало полиномиальное решение w(x) = A^(x) системы уравнений Z(x)w(x) = еДх). Такие е,ф и решения А⁸ф существуют, поскольку можно решить первые г уравнений системы Е(х)н(х) = е,(х) с ^'\х) = 1 в 0^s, затем выписать полный вектор Z(x)Af(x) и положить значение Т^ф при y = r + l,,..,z в векторе в(ф равным j-й координате вектора Z(x)A^(x). Тогда Л*(х) будет решением системы Ефиф = е,(х) с построенным е,(х). Если теперь домножить эти е,- ф и Л ■ (х) на общий знаменатель всех дробей, входящих в них, то получим е, (х) е P^z, Л;(х)еР⁵.

Определим Af (х) для значений z = г + l,...,s, требуя, чтобы они были линейно независимыми полиномиальными решениями в 0^s системы Z(x)w(x) = 0. Это тоже можно сделать, поскольку ранг матрицы Z(x) равен г . Теперь составим матрицу Л(х) = ^Af(x),...,A^(x)). Она неособенная, поскольку все вектора Af (х) по построению линейно независимы в О⁸. Матрица Л(х) обладает свойством

Z(x)A(x) = (Z(x)Af(x),... ЬфА8 (х), ЕфАДх W, ■ -ДфА8 (х)) = ' Rm(x) . 0        0 ... б'' = (е1(х),.„,ег(х),0,...,0) = 0 . R^^x) 0 ... 0 = 1^ф, • ^(х) 0 ... 0 • Т(гф 0 ... 0? где Тф = (ТуДх)).^ . Поэтому, если и = Аф)5, то Еф> = Еф^Аф^З - Е№ф)9 = /ф. Ут- j=r+U верждение леммы доказано.

Обозначим через 3, j символ Кронеккера.

Теорема 4. Пусть матрица Z(x) - квадратная, невырожденная, тогда всякое полиномиальное решение системы (2) может быть записано в виде

Математика

u(x) = ^3^w(D)P^u4x\                          (18)

1=1

где 9^'Чх) - полиномы из Рх, удовлетворяющие уравнению Цх)ЗиЧх) = КиЧх)е(, в котором е, =(5Xi,...,3sj)T, R^\D)P^'\x) = /Дх) и R^(x), Р^Чх^еР.

Доказательство. Нетрудно непосредственно проверить, что полином м(х), определяемый по формуле (18), действительно удовлетворяет системе (2)

W) = X Ьф^Чп^Чх) = f еД^иЧО)Р^иЧх^ = £ ej^ - №

Z—1                                      J-l                                 Z = 1

Покажем, что любое полиномиальное решение системы (2) может быть записано в виде (18). Пусть м(х) g Р5 - решение системы (2). По условию теоремы ранг матрицы Z(x) равен 5 . Воспользовавшись леммой 3, с помощью замены переменных и = A(D)w систему (2) в случае s = t запишем в виде diag(^^.D),...,/?(^D)^^

Так как detA(x)^0, то на основании предложения 2 по полиному w(x) всегда можно найти полином w(x) е Р' такой, что u(x) = A(£>)w(x). Вводя обозначения

и(х) = A(Z))w(x) = <9(n(Z))w1(x) + 3b4DHW = £ 9V4D)PU4x\ i=i

Теорема доказана. □

Рассмотрим другой пример использования полученных результатов.

Пример 4. Пусть дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

Вф) = X baD\ k<\a\

Задача!. Найти полиномы и₀(х)еГ такие, что существует решение уравнения

B(D)w(x) = w₀(x), принадлежащее множеству У.

Для решения задачи 1 воспользуемся предложением 2. Верно следующее утверждение.

Теорема 5. Задача 1 имеет решение при любом полиноме ы₀(х) g У.

Доказательство. В соответствии с леммой 2 и формулой Альманси (см. например [16]), полином S(x) можно единственным образом представить в виде В(х) = Я(х) + ||х||25(х), где Н(х) - некоторый гармонический полином, причем в силу условия задачи И(х) Ф 0 и Н(х) = Н(х). Разделим множество У на два множества У^ и У^ - четных и нечетных гармонических полиномов по некоторой переменной х-. Обозначим через Н^°Чх) и Н^Чх) четную и нечетную по х- компоненты полинома Я(х) = Н^Чх)* Н^ЧХ). Используя результаты [10] нетрудно доказать, что для каждого Н^ е У имеют место равенства со

H^W(x) = £ (-D^?^+Z'^Чх\ i - 0,1,

5=0

Карачик В.В.                        Полиномиальные решения дифференциальных уравнений

_______________________________в частных производных с постоянными коэффициентами / где х = (х_х,...,х^__А,х_}__х,...,х„) и ^^(л):5еN_oj — некоторая система полиномов, обладающая свойством нормируемости [17],

Ь^Х^Н^х),                  (19)

где обозначено A^.^A-Z)². Ясно, что Н^Хх) = Xj)HqXx) и Hq°Xx) = H(x)\_{x 0}, Н^Хх) = Н'_хХ^хХ⁼⁰ . Поэтому полином H^w(x) определяется однозначно с помощью Н(х)^_х.₌₀ , а Н^ф с помощью Н'_хХ^х\х,=о • Значит

V^w = f^ (-1)⁵x^Xf^ i = 0,1,

5=0

где р⁽0 при / = 0,1 два экземпляра пространства полиномов от переменной х. Вычислим множества Н^ф)У^ . Имеют место равенства

Н<°Хп)У^<п = ^ (-1)' П^’Н^ф)^ Н/х^А^^⁰ =

7=0          7           5=0

,2s 2/+jJ                            Q5 qq

'^У’М/¹ - z ln^‘%

X

V^ZU-                       7=0 5=0

co                     ( oo д'

^h<«4iV'-I ИГхГН) £ ^«."W" v^2Zl-                5=0                 (/=0 X^я)-             ,

Проводя аналогичные вычисления для Н^ф)У^ будем иметь

00                                   00                                    00 со

Н^фУ^^Х^^         У х

7=0          7             5=0                         7=0 5=7+1

2s—27—1,!                        од да                         Л^^

х(-1Г' ^---н^фХпР^ =У У (-l)^s+1^⁺¹Чэ     х

(2/ + 1)! 1       0)Г                     J 7 (2/ + 1)!

5=0                          7=0

^ЛЦ) (2/ + 1)!

н^ф)р№

сФ.

или в общем виде

<х>                              ( оо д7+1—/

5=0                      (/=0 (2/ + 1)!

Сходимость рядов, входящих в полученные соотношения, очевидна, поскольку эти ряды представляют собой конечные суммы. Используя эти равенства, нетрудно найти

Нф)У = (H^XD) + H^XDW^ + ^G)) = (Н№(В)У№ + НтфХХХ +

4H^kXXDy^№ + H^№XDy^Vh = f (-1Г х²Х 'Xn f У У ylr^'Hi^^vA + s-0              (/-0 7-0 U^z + O^!            )

oo                      ( 1           oo д/+1—z s=0                 (/=0       /=0    + 1 <Л               J

Ясно, что H{D)V aV поскольку М1ф)У -Нф^У = {0}. Поэтому оператор Нф) дейст вует из У в себя Нф}: V -> У . Из (19) следует, что У изоморфно р2 . Поэтому оператор Нф) порождает следующий матричный оператор:

Математика

Аф):

<Р0),

JG)J

Афф

00 д/

У^Лн^ф)

со

_у_^Л_Н^ф)

( Й(2/ + 1)! 1

Найдем образ оператора Аф). Для этого, в соответствии выписать полином det А(х) . Имеем

у_^Ш_н«ф)

(2/ + 1)! '

со д/ с предложением 2, необходимо

V det Аф = ^||x||^2/’^!^⁽⁰⁾(x) +

V/=o                )

м=о

Предположим, что det^(x) = O в Р. Поэтому коэффициенты полинома det^(x) равны нулю, а значит, равны нулю и коэффициенты полинома det Аф при х е С" 1. Будем считать, что х е С” . Вспоминая определение полиномов, Н^\х) записываем н^ф^ф^-’н^ф, / = 0,1 /=о и поэтому из (20) легко найдем deU(x) = (я(0)(х))2 -^Нтф^

где z2 = -1 и значит йе1АфЦн№ф + Нтф^Н№ф-Нтф"\ „ .

Таким образом, вспоминая, что Нф = Н^ф + Н^ф, будем иметь det Аф = Нф,...,i||х||,...,хп)Нф       ||х||,...,хп).

Нетрудно видеть, что аргументы у полиномов Нф справа удовлетворяют условию

||х||² = х² + ■ • • + х² = 0,     хеС^п. Рассмотрим полином     Тф = НфНф,    где

Нф = Нф,...,-Хр...,х_п). В силу сделанного предположения det^(x) = O будем иметь

||х||2 =0=>xv = ±z||x|| => Тф = 0 . Теперь, применяя теорему Гильберта о нулях полиномов [14], получаем

(Ml" = 0 =>Тф = O^apeN, а^ф, Т^рф = 6(х)|]х||².

Из факториальности кольца многочленов над С и неприводимости над R многочлена ||х||2 (и > 2) будем иметь

(зем ^x)^||2o/x)jU(3CW Я(х)=н2д2(х)), что противоречит согласно предложению 3 при Тф) = А включению Нф, Нф g V . Это означает, что наше предположение detH(x) = O неверно. Воспользовавшись предложением 2, найдем Аф)р2 = р2. Отсюда, вспоминая определение оператора Аф), сразу получаем Нф)У = V и значит Вф)У = V. Теорема доказана.