Положение равновесия системы прикрепленных к балке Эйлера - Бернулли твердых тел, описываемой гибридной системой дифференциальных уравнений

Математическая модель системы взаимосвязанных твердых тел, прикрепленной к балке Эйлера — Бернулли упругими связями, представленная в виде гибридной системы дифференциальных уравнений (ГСДУ), имеет вид

' Aq + Cq + C ( Dq - u ) = 0,

d2uz .x . d4uz               Z                                 X a "7ТГ(x, t)+c - 4 (x, t) = L kt(d q(t)- u (x, tЖx - at), d t             dx           t=i где x — переменная, описывающая координатную ось, совпадающую с покоящейся балкой; q(t) — n-мерная вектор-функция, описывающая перемещение тел; u (x, t) — скалярная функция, описывающая поперечные перемещения точек стержня; u (t) — m -мерная вектор-функция с элементами u(a1,t),u(a2,t),...,u(am,t); A,C — заданные, согласно начальным условиям, постоянные n х n — матрицы; C — заданная, согласно начальным условиям, постоянная n х m — матрица; D — заданная, согласно начальным условиям, постоянная m х n — матрица; di — n-мерный вектор, составленный из строк матрицы D; a, c, ai, ki, (i = 1, m) — заданные постоянные, причем 0 < ai < l; (•)T — операция транспонирования [1; 2].

На функцию u ( x , t ) накладываются граничные условия, соответствующие некоторым условиям закрепления концов балки:

Г 1 ( u (0, t )) = 0,       Г ₂( u ( l , t )) = 0.                       (2)

Отметим, здесь решение краевой задачи (1)-(2) понимается в обобщенном смысле [2; 3].

При выборе структуры обобщенной математической модели в виде ГСДУ (1) были приняты некоторые допущения относительно расположения точек крепления пружин к твердым телам по компоненте z в системе координат, связанной с твердыми телами. При этом положение равновесия механической системы в предложенной системе координат определяется в виде начальных условий следующим образом

q (0) = 0, u ( x ,0) = 0, 0 <  x <  l .                     (3)

В работе рассматривается уточненная обобщенная математическая модель, позволяющая описать более широкий класс систем взаимосвязанных твердых тел, прикрепленных к балке Эйлера — Бернулли упругими связями, чем обобщенная математическая модель (1).

1 Постановка задачи

Уточненная обобщенная математическая модель для взаимосвязанных систем твердых тел, прикрепленных к балке Эйлера — Бернулли с помощью пружин, в виде ГСДУ имеет вид

Aq + Cq + C ( Dq - u ) = b ,

m

- u(x, t))§(x - ai) + ^Pi§(x - ai), i=1

д u        д u       m a~r(x,t) + c-^r(x,t) = £k(d q(t)

O t              О X            i = 1

где b — n -мерный заданный вектор; P i , ( i = 1,2,..., m ) — заданные числа.

В начальный момент времени система твердых тел, прикрепленная к балке Эйлера — Бернулли, описываемая ГСДУ (4) в введенной системе координат будет иметь отличные от нулевого (3) начальные условия

q (0) = q , u ( x ,0) = V ( x ), 0 <  x <  l .                   (5)

Здесь q — некоторый n -мерный вектор, определяющий расположение системы твердых тел; V ( x ) — некоторая скалярная функция, определяющая прогиб балки. Совместно q и V ( x ) определяют положение равновесия системы твердых тел, прикрепленной к балке Эйлера — Бернулли в выбранной системе координат.

2 Положение равновесия

Определим положение равновесия механической системы, как решение ГСДУ (4), которое не изменяется во времени. Подставив q = q и u ( x , t ) = V ( x ), получим систему алгебраическо-дифференциальных уравнений

'(C + CD)q - CV = b, д 4V

c —_T^(x ) = £ ( k i ⁽ d q - V ^{( x} ) + P ) , 5 ( ^x - a i ).

^{d x}           1 = 1                                ^z

Здесь V — m -мерный вектор с компонентами V ( a ₁), V ( a ₂), _ , V ( a m ).

На функцию u (x, t) наложены краевые условия (2), следовательно функция V(x) должна удовлетворять соответствующим краевым услови- ям

Y i (V (0)) = 0,       y ₂( V ( l )) = 0.

Относительно функций, определяющих краевые условия (7) можем предположить справедливость следующего свойства [2]

mm

Y j ⁽ E kVi^(x )) = E k i Y j ^{( v(x} )X     ⁽ j = ^1,2) ,           ⁽⁸⁾

i = 1                      i = 1

где k i — постоянные, v i ( x ) — функции.

Определение 1. Вектор q , функцию V(x) назовем обобщенным реше нием краевой задачи (6)-(7), если они удовлетворяют алгебраическим уравнениям из системы (6), краевым условиям (7) и для любой основной функции ф(x) [4] имеет место тождество:

!• ( д ⁴ V        m

J c ^г^{( x} ) ^-Е ^k i ⁽ d T q ^{- V ( x} Ж ^{x -}

^J₀ ( д x       tf

m a,) -Е р5( x - ai))

l = 1

• ф (x ) dx = 0 .

Теорема 1 . При любых значениях q для обобщенного решения V ( x ) дифференциального уравнения системы (6), удовлетворяющего краевым условиям (7) справедливо представление m

V ( x ) = £ п Л x - a,) ( k i (d"q - V ( a;) + P_v ) ,                  (10)

i = 1

где функции ni(x), (i = 1,...,m)являются обобщенными решениями урав- нения cd^- = 5( x) dx

при выполнении некоторых краевых условий yM(-ai)) = 0,     Y2(ni(l- ai)) = 0.

Доказательство : Для функции V ( x ) , удовлетворяющей представлению (10), справедливость выполнения краевых условий (7) непосредственно следует из краевых условий (12) для функций -q^x ), ( i = 1,..., m ) в силу свойства (8) функций, определяющих краевые условия (7).

Из тождества (9) следует, если функция V(x) является обобщенным решением дифференциального уравнения системы (6), тогда для любой основной функции ф(x) справедливо следующее l- d4V

J c , ^ ⁽ x ) • ф ⁽ x ) dx = Z ( k i ^{( d} q ^{- V ( a} i )) ⁺ P ) ф ⁽ a - ) .

0 ^d x                      I = 1

Представим (10) в виде ml

V ( x ) = - £J n , ( x - 5 ) ( k ( d‘ ^T q - V( 5 )) + P i ) 5 ( 5 - a i ) d ^ .

I = 1 0

Подставим (14) в левую часть соотношения (13). Последовательно меняя порядок интегрирования и учитывая (9), получим lml

JZJ c

d ⁿ i ⁽ x ⁵ ) ( k , ( d^{1 T} q - V ( 5 )) + p ) 5 ( 5 - a ) d ^ | • ф ( x ) dx = dx ^{4       v} i                                      i

C mk Г

• ф ( x ) dx =

= J ZJ ⁵ ( x - ^ ) ( k i ( d q - V ( ^ )) + P, }^^ - a t ) d ^ 0 V i = 1 0

m l                                                              l

= ZJ (ki (d1Tq - V (5)) + Pi) 5 (5 - ai) •J ф( x )5( x - 5) dx d5 = i=1 0 _

ml

= Z J[(k. (d"q - V(^)) + P, )ф(5)5(5 - ai) •] d^ = i=1 0

m

= Z(ki(d‘Tq - V(ai)) + Pi)ф(ai), i=1

выражение, которое совпадает с правой частью (11).

Таким образом, доказана справедливость представления (10) для обобщенного решения V(x) дифференциального уравнения системы (6). Теорема доказана.

Для нахождения q и V ( x ), задающих положение равновесия системы твердых тел, прикрепленной к балке Эйлера — Бернулли в выбранной системе координат, в начале, подставив последовательно в соотношение (10) значения x = a i , ( i = 1,2,..., m ), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно V ( a₁), V ( a ₂), V ( a m )

mm

E n ⁽ a j - a i ) k i d iT q - ⁽¹ - n ⁽⁰⁾ k j^{) V (} a , ) - Е n ⁽ a , - a i ) kV ⁽ a i ) = i = 1                                                                                  i = 1, i * j

m

= E n i ⁽ a , - a i ) P ,        ^{( j} =i-, m ).

i = 1

Систему (15) с помощью матричных обозначений можно записать в виде

Nq - MV = b 1 ,

где M — матрица размерности m х m :

' ¹ + П 1 ⁽⁰⁾ k 1     n 2 ^{( a} 1 - a 2 ) k 2.......... П т ^{( a} 1 ^- a m ) k m

M = П 1 ⁽ a 2 ^- a j ^k 1    ¹ + n 2 ⁽⁰⁾ k 2.............. 11 m ⁽ a 2 ^- a m ) ^k m

^ a m - a 1 ) ^k 1   n 2 ⁽ a m - a 2 ) ^k 2............. ¹ + H m ^{(0) k} m

N — матрица размерности m х n :

' E n i ( a , - a i ) k i d ; i = 1	]Е n i ( a . - a, ) k i d 2 ]/ n i ( a . - a, ) kd-, i = 1                                            i = 1
N = j m^ n ( a 2 - a i ) k i d ;	jr n i ( a 2 - a i )k i d 2...... jj П ( a 2 - a i )k i d , i = 1                                            i = 1
............................. jj H ,( a m - a i ) kd i	. j m^ n ( a m - a i ) kd 2...... ]m^ n i( a m - a i ) k i d ,

b 1 — m -мерный вектор:	m E n i = 1	^ ( a 1 - ai) P i
b 1 =	m E n i = 1	( a 2    a i ) P i

m

Е п , ⁽ a m - a ) P i

V i = 1                     7

Получим систему линейных алгебраических уравнений относительно q , V , объединив первое уравнение системы (6) с системой (16).

'сC + CD ) q - CV = b , _ Nq - MV = b 1 .

Когда определены обобщенные решения n i (x ), ( i = 1,..., m ) уравнения (11), удовлетворяющие краевым условиям (12), то из решения системы (17) можем найти значения векторов q и V , которые позволяют найти прогиб балки в соответствии с (10).

Функции П1(x),П2(x),...,Пт(x), входящие в представление (10), мо- жем определить решением m краевых задач для уравнения cdnxl = »( x)

dx с краевыми условиями (12).

Общее обобщенное решение п ( x , £ 1 , ^₂с₃с ₄) уравнения (18) можно найти в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения

П0(x, с1, с2с3с4) = С1 + с2x + с3 x + с4x , где 51, 52,53,54 — произвольные постоянные и некоторого обобщенного решения т%(x) неоднородного уравнения (18):

п(x,с„с.сС4) = по(x,срс.сС4) + П(x).(19)

В качестве частного обобщенного решения т%( x ) уравнения (18) рассмотрим в соответствии с [3]

П( x) = g (x Ж x),(20)

где g(x) — решение однородного уравнения, удовлетворяющее началь- ным условиям

g(0) = 0, dg (0) = 0, d2! (0) = 0, dy (0) = 1,(21)

dx        dxdx с

6 (x ) — классическая функция Хэвисайда.

Решение однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (21), может быть найдено в виде:

g ⁽ x ) = -¹ x ³.

6 с

Таким образом, общее обобщенное решение п ( x ,q, С₂,5₃,54) уравнения (18) в соответствии с (19)-(20) может быть представлено следующим образом:

п ( x , 5 1 ,5₂,5₃,54) = 51 + 5₂x + 5₃x ² + 54x ³ + — x³0(x ).          (22)

6 с

После вычисления значений произвольных констант c 1 , c ₂, c ₃, с ₄ при условии выполнения граничных условий (12) находим обобщенные решения П 1 ( x ), П 2 ( x ),..., П т ( x ).

Заключение

Уточнение обобщенной математической модели системы взаимосвязанных твердых тел, прикрепленных к балке Эйлера — Бернулли упругими связями, описываемой ГСДУ (1), приводит к рассмотрению ГСДУ (4). В связи с этим возникает необходимость нахождения положения равновесия в выбранной системе координат. Найденные значения векторов q и V из решения системы линейных алгебраических уравнений (17) позволяют найти прогиб балки V ( x ) в соответствии с соотношением (10). При этом вектор q и функция V ( x ) определяют положение равновесия системы твердых тел, прикрепленной к балке Эйлера — Бернулли в выбранной системе координат.

Заметим, если сделаем замену переменных в ГСДУ (4) q ( t ) = q ( t ) + q , u ( x , t ) = i%( x , t ) + V ( x ), то переменные q ( t ) u(x , t ) можно интерпретировать как переменные, описывающие колебания механической системы относительно положения равновесия (состояния покоя). При этом они удовлетворяют ГСДУ (1). Отметим, что для систем твердых тел, прикрепленных к балке Эйлера — Бернулли, описываемых ГСДУ (1), разработано алгоритмическое [5] и программное [6] обеспечение исследования свободных колебаний.