Положительные решения эллиптических уравнений на римановых многообразиях специального вида

DOI:

Данная работа посвящена вопросам существования положительных решений следующих эллиптических уравнений:

Au + p(r)u ⁷ = 0                                (1)

и div (a(r)Vu) + p(r)u7 = 0                              (2)

на полных римановых многообразиях. Здесь 7 > 1, p(r) — неотрицательная функция на интервале [0; +^), а ©г) — гладкая положительная функция на интервале [0;+ то ).

В исследованиях последних десятилетий была замечена глубокая связь между теорией уравнений в частных производных эллиптического типа второго порядка (в частности уравнения Лапласа — Бельтрами и стационарного уравнения Шредингера), классическими проблемами теории функций, а также геометрией римановых многообразий. Данная тематика нашла свое развитие в работах многих российских и зарубежных математиков. Более подробное представление о современных исследованиях в данном вопросе можно получить, например, из публикации [6].

Определение эллиптичности типа достаточно просто и основано на определении компактности поверхности. Значительный интерес вызывает задача определения параболического и гиперболического типов. Отличительным свойством двумерных поверхностей параболического или гиперболического типов является выполнение или невыполнение для них теоремы Лиувилля соответственно, которая утверждает, что всякая положительная супергармоническая функция на рассматриваемой поверхности является тождественной постоянной. Данное свойство служит основой для распространения понятий параболичности и гиперболичности на римановы многообразия размерности больше двух. Иными словами, многообразия, на которых всякая ограниченная снизу супергармоническая функция равна константе, называют многообразиями параболического типа.

Вопросы существования нетривиальных гармонических и супергармонических функций естественным образом приводят к теоремам типа Лиувилля. Считающаяся классической, формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в евклидовом пространстве R ⁿ функция является тождественной постоянной.

Значительный интерес вызывает изучение поведения решений эллиптических уравнений на искривленных римановых произведениях, в частности, на модельных римановых многообразиях. Опишем такие многообразия подробно.

Фиксируем начало координат 0 G R ⁿ и некоторую гладкую функцию q на интервале [0; то ), такую, что q(0) = 0 и q ‘ (0) = 1. Определим модельное риманово многообразие M _q следующим образом:

• 1.    Множеством точек M _q является R ⁿ .

• 2.    В полярных координатах (г; 6) (где г G (0; то ) и 6 G S ^п- 1 ) риманова метрика на {M _q \ 0 } определяется как

• 3.    Риманова метрика в нуле является гладким продолжением метрики (3).

ds² = dr² + q ² (r)d6 ² ,                                   (3)

где d6 — стандартная риманова метрика на сфере S ^п- 1 .

Примерами таких многообразий могут служить евклидово пространство R ⁿ , гиперболическое пространство H ⁿ , поверхность, полученная вращением графика функции / (г) вокруг луча Ог в R ⁿ , и т. д.

Отметим, что в течение последних десятилетий значительный интерес вызывает изучение радиально-симметричных решений различных уравнений и неравенств как в евклидовом пространстве, так и на некомпактных римановых многообразиях (см., например, работы [1–5], [7–9]).

В данной работе рассматриваются положительные радиально-симметричные решения уравнений (1) и (2) на многообразиях более общего вида, чем модельные.

Пусть M — полное риманово многообразие, представимое в виде объединения M = В U D, где В — некоторый компакт, а D изометрично прямому произведению

[0; то) х S, где S — компактное риманово многообразие, с метрикой ds2 = h2(r)dr2 + q2(T)d92.

Здесь h(r) и q(T) — положительные, гладкие на [0; то ) функции, а d9 — стандартная риманова метрика на сфере S .

Стоит заметить (см., например, [6]), что так как М — полное риманово многообразие, то

/~ h(_M = то .

Кроме того (см., например, [2]), если выполнено условие

∞

h(t)dt q "-W

= то ,

то говорят, что М — многообразие параболического типа. В противном случае М — многообразие гиперболиченского типа.

1.    О радиально-симметричных решениях уравнения Au + р(т)и? = 0

В данном подразделе будут найдены условия существовании и несуществования положительных решений уравнения (1) на многообразии М .

Теорема 1. Пусть многообразие М таково, что f^ h(t)dt

J i    q ^n-1 (t)

= то .

Тогда любое неотрицательное решение уравнения (1) есть тождественный нуль. Доказательство теоремы достаточно очевидно и основано на свойствах многообразий параболического типа.

Далее будем рассматривать многообразия гиперболического типа. Определим следующие функции:

_.,     . ..     q ^{n - 1} (r)u ‘ (r)u(r)    q ^{2n - 2} (r)(u ‘ ) 2 (r) Р h(t)dt

V (т-”(т))=—цт)—+—h2w— L

,   2   _2n__{2           +1} p h(t)dt

+ 7+1q   (TW+ (t)   q^-i-(-)

и            A 7 + 3                      4(u - 1) _2n_₃. . , , . h . Г h(t)dt ,

^{ф( т )} = ^- 7+1 ^{h ( T})q ^{1 ( t )} P ^{( t} ) + ₇ + 1 q 3 (^{T )} q ^{( t )} P ^{( t )} J _q n - 1 ( _t ) ⁺

2     2» 2/ \     \ Г° h(t)dt

+ +1 q^-W) ], q^.(7)

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Справедливо равенство:

V_r ' ( t,u ( t )) = Ф(т)и ⁷⁺1 ( t ) .

Доказательство. Как известно (см., например, [1]), в локальных координатах х 1 , ...,х _п оператор Лапласа — Бельтрами А имеет вид:

.     1 А д / _гз д

^А              Vgg³^— ,

V^ “=1 ^дзсЛ     ^дх₃)

где д ^г “ — контравариантные компоненты метрического тензора и g = det \\g ij || . Отсюда легко показать, что в локальных координатах (г; 6) оператор Лапласа — Бельтрами на S имеет вид:

А=

1   д2      1 A    I) q‘(г)   h‘(г) \ д 1а h2(г) дг2    h2(г) \         q(r)     h(г) / дг    q2(г) 6

где А ₆ — оператор Лапласа — Бельтрами на сфере S.

Тогда, учитывая вид оператора Лапласа — Бельтрами на М , уравнение (1) эквивалентно следующему:

^{1 д} 2 ^й ₊   ¹   ( _(п _ 1) 1М _ ^h ‘ ^{( г)} ^ ^ ₊  ¹_{А б м + р ( г ) м} 7 = ₀

h ² (г) дг ²     h ² (г) \ q(г) h(г)    дг q ² (г)

или, так как в нашей работе будут изучаться радиально-симметричные решения, последнее эквивалентно обыкновенному дифференциальному уравнению:

/ q « 1 (г)и ‘ (г) \

\  W)  7

+ h(г)qⁿ 1 (г)р(г)у ? (г) = 0.

Далее, вычисляя производную УДг, и(г)) и учитывая равенство (9), получаем нужное. Лемма доказана.

Сформулируем и докажем утверждение о существовании положительных радиальносимметричных решений уравнения (1).

Теорема 2. Предположим, что Ф(г) <  0 . Тогда для любого а > 0 уравнение (1) имеет на М положительное радиально-симметричное решение, такое что и(0) = а .

Доказательство. Уравнение (1), с учетом того, что мы рассматриваем радиальносимметричные решения, эквивалентно дифференциальному уравнению (9) с начальными условиями

и(0) = а, А(0) = 0,

где а = const > 0 из утверждения теоремы, а А(0) = 0 следует из радиальности рассматриваемых решений.

Обозначим и _а (г) решение уравнения (9) с начальными условиями (10). В силу теоремы Пеано такое решение существует на некотором интервале [0; 5). Обозначим [0; г _а ) за максимальный интервал, на котором и _а (г) положительно.

Интегрируя равенство (9) по отрезку [0; га], учитывая начальные условия (10), получаем:

н'(г _а ) =

h(г) q ^{n - 1} (г _a )

Г Та

h(t)qⁿ 1 (t)p(t)u ^y (t)dt.

Отсюда, в силу положительности функций h(г), q(г), р(г), следует, что и _а (г) — монотонно убывающая функция.

Предположим, что существует а >  0, такое, что т _а < го, откуда в силу монотонного убывания функции получаем, что и _а (т _а ) = 0 и и _а (т) — положительно на [0; т _а ).

Рассмотрим функцию V(т _а ,и(т _а )) на отрезке [0; г _а ]. Из утверждения леммы 1 и условия теоремы следует, что V^(т _а ,п(т _а )) <  0. Таким образом, функция V(т _а ,и(т _а )) монотонно убывает на интервале (0; т _а ), следовательно,

V(т _а ,и(т _а )) <  V(0).

Определим функцию дп—1(т) Т ^(/Л^

^^{( т )} = л ^ л д.                               ⁽ )

По определению метрики многообразия М в окрестности нуля справедливо следующее: д^{п —1} (т) ~ т^{п —1} и К ( т ) ~ с >  0. Тогда в окрестности нуля функция ⁹ ц^ ~ ^г ^ ^— . Из определения эквивалентности двух функций следует, что для любого в >  0 существует 5 = 5(e), такое, что для всех т < 5 выполнено:

(1 - в) — < ^ПЗ) < (1+в)—.(13)

с        п(т)с

Тогда в окрестности нуля функция ^(т) с учетом неравенства (13) принимает вид:

^{п 1} тт     cdt                         ^п- ¹ Т^т cdt

(1 — в)   / ф^ < .(Т) < (1 + в)

или т

(1 — в)т   /  1         <.(Т) < (1+ в)т   / (Т-фП-г-

Рассмотрим случай, когда п > 2. Тогда из неравенства (14) получаем:

1 — в

(1 + в)(п - 2)

/     тП—1 \

(^Т - - П-2) <  ^^{( Т )} <

1 + в

(1 — в)(п — 2)

^ Т —

Т П—1 — п — 2

.

Переходя к пределу при т ^ 0 в последнем неравенстве, получаем, что ^(т) ^ 0.

Теперь рассмотрим случай, когда п = 2. Аналогично, из неравенства (14) получаем:

- гТ ln - < ф(т) <   —+-гТ ln -(1 + в)(п — 2) т           (1 — в)(п — 2) т и, переходя к пределу при т ^ 0 в последнем неравенстве, получаем, что ^(т) ^ 0.

В результате приходим к выводу, что ^(т) ^ 0 при т ^ 0. А это значит, что V (0) = 0.

Тогда неравенство (11) эквивалентно следующему:

V(т _а ,и(т _а )) <  0.

Заметим, что V(т _а ,и(т _а )) в силу обозначения (6) имеет вид:

V (т _а ,и(т _а )) =

д^{п 1} (т _а )и ‘ (т _а )и(т _а ) ^(т _а )

q^{2n 2} (т _а )(и ‘ ) ² (т _а ) Г“ h(t)dt

⁺       ^ ² (т _а )        к q^n—1(t)

+ Л' ^p ) / ”       .               (16)

С учетом предположения, что u _a (r _a ) = 0, из выражения (16) получаем, что

V(r _a , и(г _а )) =

q2n 2(т-С1)('и,‘)2(т-С1) f~ h(t)dt h2(ra)        Jra qn-1(t)’ то есть справедливо следующее:

q^{2n 2} (r _a )(u ‘ ) ² (r _a ) f ~ h(t)dt h²(r_a)        L q ^n-1 (t ^- '

В силу положительности h(r _a ) и q(r _to ) заключаем, что и ’ (r _a ) = 0.

В результате получили, что u _a (r _a ) = и\т _а ) = 0. Тогда, по теореме единственности задачи Коши, следует, что и _а = 0 для всех r Е [0; r _a j. Получаем противоречие с условием теоремы. Теорема доказана.

Далее сформулируем некоторые вспомогательные утверждения, основанные на свойствах рассматриваемых решений.

Лемма 2. Пусть функция —^У— выпукла вверх и уравнение (1) имеет положитель- h " 1 (г)

ное радиально-симметричное решение. Тогда функция ^q „-У u(r) не убывает на ин- h " ¹ (г)

тервале (0; то ) .

Лемма 3. Пусть функция —^У— выпукла вверх. Тогда, если h " ¹ (г)

d / п+2 — 7 ( п — 2)      З п — 6+т ( п — 2)

— q ²      (r)h ^{2( п - 1)} (r)p(r) >  0, то Ф(г) >  0.

dr V                                 /

Подробное доказательство лемм 2 и 3 см. в работе [4], положив замену Л(г) = = —^У— и / (r) = h²(r)p(r).

h ^{п - 1} (г)

Далее найдем условия, при которых уравнение (1) не имеет положительных радиально-симметричных решений.

Теорема 3. Пусть функция —^У— выпукла вверх. Предположим, что выполнены h п-1 (г)

следующие условия:

и

d dTr У

п +2 — ^ ( п — '

2)        З п — 6+ 7 ( п — 2)

^— (r)h    ^{2( п- 1)}    (r)p(r

> 0

∞

J г

q^^y^h: : ¹: :!^ ^{h (} ^ )q ‘ ⁽ ^ ) + n - i q⁽<^{) h} ‘ ⁽<)

p⁽(^{) d} < =

то .

Тогда уравнение (1) не имеет на М положительных радиально-симметричных решений.

Теорема 4. Пусть функция —^У— выпукла вверх. Предположим, что выполнены h ^{п - 1} (г)

следующие условия:

d      ^{п +2 -} т-⁽п ^{- 2)}

— q 2    (r)h dr

З п — 6+ 7 ( п — 2) 2( п - 1)

(r)p(r

> 0,

и

у^ qTi-

J r 1

. ^{-1 -} 7 ⁽ п ^{- 2)} (^ )(

2 п — 1+ т ( п —'

п — 1

- (<)

^«W) + ^ q^MO

p«М <  то

lim r^^

qn^ ^—2 (r)_h

3 п — 2+ т ( п —'

п — 1

^{( r )}

( h(r)q'(r) + ^ q(r>' (r)}

2 P ^{( r )} = ^ТО .

Тогда уравнение (1) не имеет на М положительных радиально-симметричных решений

Теорема 5. Пусть функция —У)^— выпукла вверх. Предположим, что выполнены h^{1 - 1} (r)

следующие условия:

lim (-*!_ Y = _a > 0, ^r^^ \^( TT - T (r)

и

d / dAq

∞

J r

п +2 — т ( п —'

2)        3 п — 6+ т ( п — 2)           \

^— (r)(    ^{2( n — T)}    (r)p(r) I >  0,

q n ^{- 1 -} ₇ ⁽ n ^{- 2)} (^)(

2 п — 1+ т ( п —'

п — 1

- a )

^« Ш0 + ^ q^MO

p«)d( <  то

lim r >^

q

п + 2 — т ( п —'

2) , _x    Т п - б+ т С п - г)

(r)(     ² ( n ^{- 1)}     (r)

(((^q'^ + ^ q⁽T>' (г) )

p(r) = то .

Тогда уравнение (1) не имеет на М положительных радиально-симметричных решений

Положив замену Л(г) = —^— и /(r) = ( ² (r)p(r), доказательство теорем 3, 4 и 5 h ^{11 - 1} (r)

аналогично доказательству подобных теорем в работе [4].

2.    О радиально-симметричных решениях уравнения div (a(r)Vu) + p(r)u7 = 0

В данном подразделе будут найдены условия существования и несуществования положительных решений уравнения (2) на многообразии М .

Теорема 6. Пусть многообразие М таково, что f~   ((t)dt

J i    a(r)q " ^{- 1} (t) = ^{TO .}

Тогда любое неотрицательное решение уравнения (2) есть тождественный нуль. Далее будем считать, что fx    ((t)dt

J i    a(r)q ^{n- 1} (t) ^{< TO .}

Определим следующие функции:

V(r, u(r)) =

cr(r)q ^{n 1} (r)u^,(r)u(r)

h(r)

a ² (r)q ^{2n 2} (r)n '² (r) f ^ro     ((t)dt

⁺         ( ² (r)          J_T   a(t)q ^{n - 1} (t)⁴

■   2 ,^{c( r )}q ²ⁿ 2 (r)p(r)u ⁷⁺¹ (r) / д^т                  ⁽¹⁷⁾

7 + 1                               Jr c(t)q ^{n 1} (t)

и x 7 + 3 , .                4(n - 1)      2n_3                x    h(t)dt

^{Ф( г )} = ^-7—^ ^{h (} r)q   (r)p(r) + ₇ + 1 ^{c (} r ⁾ q   ^{3 ( r )}q (r)p(r) J    _c(_t)_{q n-1} (_t) ⁺

2     / л 2n-2/ \ fr \ f°°    h(t)dt

⁺ 7+I ^c < ^r ) ^q    <* < ^r) / c ( t ) q- 1 ( t ) ⁺

2                   \        f°°    h(t)dt

⁺        ( ^{r ) q} - ( ^rH^{r )} / c ( t ) q- 1 ( t ) •                     ⁽¹⁸⁾

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 4. Справедливо равенство:

V T (r, u(r)) = ФиЧ// ' ' ¹ (r).

Доказательство. Как и в доказательстве леммы 1, вычисляя оператор Лапласа — Бельтрами в локальных координатах (r; 9) на S, получаем:

a =  1  d 2 +  1  (Cfc) + (n - 1)q (r) - h'(r^ V £ +  1 A h2(r) dr2 h2(r) c(r)              q(r) h(r)    dr    q2(r) 61

где A y — оператор Лапласа — Бельтрами на сфере S.

Тогда, учитывая вид оператора Лапласа — Бельтрами на М , уравнение (2) эквивалентно следующему:

1 д 2 п h ² (r) dr ²

1 h ² (r)

Г c'(r)     z

⁽П ^- 1) \ c^{( r )}

q ‘ (r) q^{( r )}

-

h ‘ (r) \ ди 1 д       p(r)u" ^,    0

h(r) J dr    q ² (r) ⁶       c(r)

или, поскольку в нашей работе изучаются радиально-симметричные решения, то последнее уравнение эквивалентно обыкновенному дифференциальному уравнению:

/ ^c(r)₄-^^u(r) V + h₍r)q « - 1 (r)p(r)„ x (r) = 0.

V        ^{h ( r )}

Далее, вычисляя производную V‘(r₁ u(r)) и, учитывая равенство (19), получаем нужное. Лемма доказана.

Сформулируем теорему о существовании положительных радиально-симметричных решений уравнения (2).

Теорема 7. Предположим, что Ф(г) <  0 . Тогда для любого а > 0 уравнение (2) имеет на М положительное радиально-симметричное решение, такое что и(0) = а .

Далее введем следующие обозначения:

^л <г) = ( c ^i V " ^-1 q(r) ^{h ( r )}

и

/(r) = ^h 2 ^{( r}>^p(^{r )} • ^{c ( r )}

Тогда исходное уравнение примет вид:

( А ^{п - 1} (т)и ‘ (т) ) ’ + A^^^f (тЖ (т) = 0.

Сформулируем некоторые вспомогательные утверждения, основанные на свойствах рассматриваемых решений.

Лемма 5. Пусть функция ^^Г )) "  1 qM выпукла вверх и уравнение (2) имеет поло-

п —'

жительное радиально-симметричное решение. Тогда функция вает на интервале (0; го ) .

Лемма 6. Пусть функция (^)) ” ¹ q^ выпукла вверх. Тогда,

(S)^{п 1} q ^{( r ) не} уб^ы-

если

/   3 п — 6+ 7 ( п — 2)

d h    ^{2( п— 1)}    (т)

п-4+т(п-2)     q а' \ а   2(п-1)   (т)

п +2 — ^ ( п —'

(т)р(т) >  0,    то

Ф(т) >  0.

Сформулируем утверждения, при которых уравнение (2) не имеет положительных радиально-симметричных решений.

Теорема 8. Пусть функция (цГ у) ^{п 1} q(т) выпукла вверх. Предположим, что выполнены следующие условия:

и

/

Г

^ а

( 3 п — 6+ т ( п — 2)

h 2(п—1)

п —4+7(п —2)

а 2(п — 1)

п — 2 — ^ ( п —'

п — 1

(С >

2 п — 3+ ^ ( п —'

п — 1

п +2 — ^ ( п —'

(т)р(т)    >  0

- (Сq           ² С)

^^{( а} ‘ (СМ) - М^{) а ( С ))} + ^{а ( С} мм)

р(СМ = го .

Тогда уравнение (2) не имеет на М положительных радиально-симметричных решений.

Теорема 9. Пусть функция (^)) ^{п 1} q(т) выпукла вверх. Предположим, что выполнены следующие условия:

и

lim

Г ^^

3 п — 6+ т ( п — 2)

d h   2( ^ - 1)    (т)

n ^{- 4+}7⁽n ^{- 2)      q}

“' _а   2( п - 1)    ( _т )

п +2 — ^ ( п —'

(т)р(т)   >  0,

/

Г

^ а

п — 2 — ^ ( п —'

п — 1

(С)^

2 п — 3+ ^ ( п —'

п — 1

- (cy^—An-'^')

^ М<Ж<)^- ЖС^{) а ( С ))} + ЖЖСЖС)

2 п — 3 — ^ ( п — 2)       3 п — 6+ ^ ( п — 2)

а ^{п —}     (т)h     ^п — ¹     (т)

(^ -г (а ‘ (Ж(т) - ^(т)а(т)) + а(т)ЦЖ’(т^

р(С Ж <  го

2 qⁿ ' ^{(п 2)} (т)р(т) = го .

Тогда уравнение (2) не имеет на М положительных радиально-симметричных решений.

Теорема 10

. Пусть функция (т^Т)} ” 1

/(r) выпукла вверх. Предположим, что выпол-

нены следующие условия:

lim

Т >^

/                     1            \ ‘

( (     ) '    /(г)) = «> 0,

V ^{h ( r})

a dr

3 n — 6+ 7 ( n — 2)

h    2( n — 1)

n — 4+ ^ ( n — 2)

CT   ^{2( n —} 1)

(r) n +2 — 7 ( n — 2)

/      ²

^{( Г )}

(r)p(r)

> 0,

/

∞

n — 2 — 7 ( n — 2)       2 n — 3+ 7 ( n — 2)

c    -1    (Oh n ⁷ ) (^ п -¹-^-² ) ( ₍ )

A M()h(() - h'(Oa(O) + 0(0/'^ )

P«)d( <  TO

и

3 n — 4 — 7 ( n — 2)       7 n — 14+ 7 ( n — 2)

C    ^{2( n —} 1)     (r)h     ^{2( n —} 1)     (r)               n +2 — 7 ( n — 2)

lim ----------------------------------------------------- 2 /      ²      (r)p(r) = to .

^Т^ ^ГО ^^ - 1 (C(r)h(r) - h'(r)a(ry) + a(r)h(r)q'(r)^

Тогда уравнение (2) не имеет на М положительных радиально-симметричных решений.

Доказательства теорем 8, 9, 10 в терминах Л(г) и /(r) аналогичны доказательству подобных теорем в работе [4].