Положительные решения квазилинейных эллиптических неравенств на римановых произведениях
Автор: Мазепа Елена Алексеевна
Журнал: Математическая физика и компьютерное моделирование @mpcm-jvolsu
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 6 (31), 2015 года.
Бесплатный доступ
В данной работе исследуется асимптотическое поведение положительных решений некоторых квазилинейных эллиптических неравенств на искривленных римановых произведениях. В частности, найдены точные условия выполнения теорем типа Лиувилля об отсутствии нетривиальных решений, а также условия существования и мощность множества положительных решений изучаемых неравенств на рассматриваемых римановых многообразиях. Данные результаты обобщают аналогичные утверждения, полученные ранее в работах Naito. Y. и Usami H. для евклидова пространства R??, а также некоторые ранее полученные результаты работ А.Г. Лосева и Е.А. Мазепы для модельных многообразий.
Квазилинейные эллиптические неравенства, асимптотическое поведение, теоремы типа лиувилля, искривленные римановы произведения, мощность множества решений
Короткий адрес: https://sciup.org/14969003
IDR: 14969003 | УДК: 517.95 | DOI: 10.15688/jvolsu1.2015.6.1
The positive solutions of quasilinear elliptic inequalities on Riemannian products
In this paper asymptotic behavior of positive solutions of quasilinear elliptic inequalities (1) on warped Riemannian products is researched. In particular, we find exact conditions under which Liouville theorems on no nontrivial solutions are satisfied, as well as the conditions of existence and cardinality of the set of positive solutions of the studied inequalities on the Riemannian manifolds. The results generalize similar results obtained previously by Naito. Y. and Usami H. for the Euclidean space R?? and results obtained previously by Losev A. and Mazepa E. on the model Riemannian manifolds. We describe warped Riemannian products. Fix the origin ?? ? R?? and a smooth function ???? > 0, ?? = 1,..., ?? in the interval (0,?). We define a Riemannian manifold ?? as follows: (1) the set of points ?? is all R??; (2) in coordinates (??, 1,..., ??) (where ?? ? (0,?) and ?? ? ??????) Riemannian metric on ?? ? {??} defined as ????2 = ????2 + ??2 1(??)?? 21 + · · · + ??2 ??(??)?? 2 ??, where ?? ?? - the standard Riemannian metric on the sphere ??????, ?? = ??1+... ????+ + 1 - the dimension of ??; (3) Riemannian metric at ?? is a smooth continuation of the metric. We will further assume that the function ?? in the inequality (1) satisfies the following conditions: ??? ?? ? ??(0,?), ??(??) > 0 for ?? > 0, ????(|??|) ? ??(R) ? ??1(0,?), (????(??))? > 0 for ?? > 0, ??(??) ? ??(??) - continuous positive on R+ function, and the function ?? ?? 0 such that ??(??, ??) ? ??(??), where ?? = (??, ), ?? ?? 0 and ??(·, 0) = 0. Introduce designations = ( 1,..., ??), ?? = ??1 Ч ??2... Ч ????, ??(??) =?? ????=1 ?????? ?? (??), ??(??) =1??(??) ????0 ??(??)??(??) ????. We also use the following assumption on the function ??: (F) {? there are continuous functions ??(??) > 0 and ??(??) > 0 so that ???(??) ? 0, 0 0, ?? > 0, ? ??, ??(0) = 0. First, consider the case where lim ??>? ????(??) ? ????(??) +0 ??(??) ? ??(??) = ?. Then, if the condition (F), then positive integer solutions of the inequality (1) on ?? does not exist. Next, consider the case where lim ??>?????(??) = ?. We prove a theorem on the non-existence of positive solutions of (1) and the conditions for the existence of a continuum of positive integer solutions of the inequality.
Список литературы Положительные решения квазилинейных эллиптических неравенств на римановых произведениях
- Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка/Д. Гилбарг, М. Трудингер. -М.: Наука, 2007. -464 c.
- Лосев, А.Г. О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях/А.Г. Лосев//Сиб. мат. журнал. -1998. -Т. 39, № 1. -C. 87-93.
- Лосев, А.Г. О положительных решениях квазилинейных эллиптических неравенств на некомпактных римановых многообразиях/А.Г. Лосев, Ю.С. Федоренко//Мат. заметки. -2007. -Т. 81, № 6. -C. 867-878.
- Лосев, А.Г. Об асимптотическом поведении положительных решений некоторых квазилинейных неравенств на модельных римановых многообразиях/А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа//Уфимский математический журнал. -2013. -Т. 5, № 1. -C. 83-89.
- Лосев, А.Г. Об асимптотическом поведении решений некоторых уравнений эллиптического типа на некомпактных римановых многообразиях/А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа//Изв. вузов. Математика. -1999. -№ 6 (445). -C. 41-49.
- Лосев, А.Г. Ограниченные решения уравнения Шредингера на римановых произведениях/А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа//Алгебра и анализ. -2001. -Т. 13, № 1. -C. 84-110.
- Лосев, А.Г. Положительные решения квазилинейных неравенств на модельных римановых многообразиях/А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа//Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. -2013. -№ 1. -C. 59-69.
- Мазепа, Е.А. О существовании целых решений одного полулинейного эллиптического уравнения на некомпактных римановых многообразиях/Е.А. Мазепа//Мат. заметки. -2007. -Т. 81, № 1. -C. 153-156.
- Мазепа, Е.А. Положительные решения квазилинейных эллиптических неравенств на модельных римановых многообразиях/Е.А. Мазепа//Изв. вузов. Математика. -2015. -№ 9. -C. 22-30.
- Grigor'yan, A. Analitic and geometric background of recurence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds/A. Grigor'yan//Bull. Amer. Math. Soc. -1999. -Vol. 36. -P. 135-249.
- Keller, J.B. On solutions of ??? = ??(??)/J.B. Keller//Commun. Pure Appl. Math. -1957. -№ 10. -P. 503-510.
- Kusano, T. Radial entire solutions of a class of quasilinear elliptic equations/T. Kusano, C.A. Swanson//Journal of diff. equation. -1990. -№ 83. -P. 379-399.
- Naito, Y. Entire solutions of the inequality div(??(|????|)????) ? ??(??)/Y. Naito, H. Usami//Math. Z. -1997. -Vol. 225. -P. 167-175.
- Osserman, R. On the inequality ??? ? ??(??)/R. Osserman//Pack. J. Math. -1957. -№ 7. -P. 1641-1647.
