Положительный лифтинг в измеримом расслоении банаховых решеток

Определение лифтинга ( - ) ~ : L “ (Q, X ) ^ L “ (Q, X ) классов измеримых сечений измеримого расслоения X банаховых решеток на пространстве с мерой Q сопровождается требованием решеточности лифтинга: ( u V v ) ^ = u ^ V v ^ на Q для всех u , v G L “ (Q, X ) (см. [1, определение 2.2]). Мы покажем, что это требование является избыточным и может быть заменено условием положительности: u ^ >  0 на Q для положительных u G L “ (Q, X ) .

Теорема 1. Пусть X — векторная решетка, Y — нормированная решетка и пусть T : X ^ Y — такой сюръективный положительный линейный оператор, что для любых x ₁ ,x ₂ G X из | x i | 6 | x ₂ | следует ||Tx ₁ | 6 ||Tx ₂ | . Тогда T является решеточным гомоморфизмом.

C Поскольку ker T — порядковый идеал X , согласно [2, 18.9] фактор-пространство X := X/ ker T представляет собой векторную решетку относительно естественного порядка, а каноническое отображение у: X ^ X является решеточным гомоморфизмом. Кроме того, ||*Н ^ о T — решеточная полунорма на X , а значит, в силу [2, 62.3] пространство X является нормированной решеткой относительно фактор-нормы Ц ^ Ц х , причем |Н1х = IHIy о T , где T := T о у ^{- 1} : X ^ Y — линейная биекция. Таким образом, оператор T служит положительной изометрией между нормированными решетками X и Y и поэтому является порядковым изоморфизмом (см. [3, теорема 1]) и, в частности, решеточным гомоморфизмом. Следовательно, оператор T = T о у также является решеточным гомоморфизмом. B

Теорема 2. Пусть X — измеримое расслоение банаховых решеток над пространством с мерой Q и (^ : L “ (Q, X ) ^ L “ (Q, X ) — такой лифтинг в измеримом банаховом расслоении X , что u ^ >  0 на Q для положительных u G L “ (Q, X ) . Тогда ( u V v ) ~ = u ^ V v ^ и ( u Л v ) ~ = u ^ Л v ^ на Q для всех u , v G L “ (Q, X ) .

C Достаточно фиксировать произвольную точку ш G Q и применить доказанную выше теорему 1 к векторной решетке X := L “ (Q, X ) , нормированной решетке Y : = X (ш) и оператору T : u G X ^ u ~ (ш) G Y , сюръективность которого следует из [4, 4.4.1]. B

Положительный лифтинг в измеримом расслоении банаховых решеток