Помехоустойчивость некогерентного и когерентного приема ДФРМ-сигнала в условиях воздействия фазоманипулированной, гармонической или гауссовской помех

Актуальность и цель работы

В практике радиосвязи широкое применение находят сигналы с двукратной фазоразностной манипуляцией (ДФРМ), прием которых осуществляется некогерентными и когерентными приемно-решающими устройствами (ПРУ) [1]. Ряд задач оценки эффективности конфликтного взаимодействия линий радиосвязи, использующих такие сигналы, и источников станционных и преднамеренных помех решаются с применением методик расчета средних вероятностей правильного приема символа и двоичного элемента в ПРУ. Известны результаты исследований помехоустойчивости когерентного приема ДФРМ-сигнала в условиях гауссовской и незамирающей гармонической помех [2–4] и некогерентного приема этого сигнала при воздействии гауссовской помехи [1]. Однако в литературе отсутствуют результаты сравнительной оценки помехоустойчивости указанных ПРУ при воздействии фазоманипулированной и гармонической помех, являющихся удовлетворительными моделями сигналоподобных преднамеренных и непреднамеренных помеховых воздействий. Поэтому актуальна задача оценки помехоустойчивости оптимального некогерентного и когерентного приема ДФРМ-сигнала в условиях воздействия фазоманипулированной и гармонической помех, а также сравнительный анализ полученных результатов с известными [1–3] в части помехоустойчивости рассматриваемых ПРУ в условиях гауссовской помехи.

Цель работы – получение зависимостей средних вероятностей правильного приема в оптимальном некогерентном ПРУ символа и двоичного элемента простого незамирающего ДФРМ-сигнала в условиях воздействия фазоманипулированной или гармонической помехи от отношения сигнал-помеха, а также сравнительный анализ помехоустойчивости оптималь-– 261 – ного некогерентного и когерентного ПРУ при воздействии перечисленных и гауссовской помех.

Постановка задачи

Поставленную задачу решим методом индикаторов решений о переданных элементах [5, 6] в предположении, что прием аддитивной смеси сигнала и помехи осуществляется оптимальным некогерентным ПРУ [1, с. 171]. Положим, что мощность внутренних и внешних шумов пренебрежимо мала по сравнению с мощностью сигнала воздействующей помехи.

Рассматриваемый сигнал на интервале приема ( n - 1)-й («опорной») и n -й («текущей») посылок запишем в следующем виде:

Sn-1( t) = U s^n(®s t + ^ + П + @ n—1), (n -1) T < t < nT, (1) sn (t) = Us sin^t + ^ + П + ©n ), nT < t < (n + 1)T, где Us, ros, T, фs - амплитуда, несущая частота, длительность посылки и начальная фаза сигнала, которую можно считать постоянной величиной на интервале (n - 1)T < t < (n + 1)T; 0n _ 1 и Θn – приращения фазы сигнала. Разность фаз ΔΘn = Θn – Θn – 1 соседних посылок сигнала (1) содержит информацию о передаваемых двоичных элементах in = 0,1 и qn = 0,1. Соответствие величин in, qn, A0n, 0n _ 1, 0n и напряжений In, Qn на выходе ПРУ при использовании манипуляционного кода Грея приведены в табл. [1, с. 169].

Таблица. Соответствие значений передаваемых двоичных элементов, разности фаз соседних посылок сигнала и напряжений на выходе ПРУ

Передаваемые двоичные элементы		Разность фаз соседних посылок сигнала ΔΘ n	Значения приращения фазы сигнала		Напряжения на выходе каналов ПРУ в случае принятия правильных решений
i n	q n		Θ n –1	Θ n	I n	Q n
0	0	0	0	0	+	+
			π / 2	π / 2
			π	π
			3π / 2	3π / 2
0	1	π / 2	0	π / 2	+	–
			π / 2	π
			π	3π / 2
			3π / 2	0
1	1	π	0	π	–	–
			π / 2	3π / 2
			π	0
			3π / 2	π / 2
1	0	3π / 2	0	3π / 2	–	+
			π / 2	0
			π	π / 2
			3π / 2	π

Фазоманипулированную помеху (ФМП), частота и тактовые моменты манипуляции которой совпадают с соответствующими параметрами сигнала (1) на входе ПРУ, на интервале приема ( n – 1)-й и n -й посылок сигнала представим в виде

U n - 1⁽ t ) = U j Sin( ® _s t + Ф п - 1 ),

U n ( t ) = U j Sin( ® s t + Ф п ),

( n - 1) T <  t <  nT , nT <  t <  ( n + 1) T ,

где U j - амплитуда ФМП; ф_п _ 1 , ф_п - ее начальные фазы, являющиеся независимыми равномерно распределенными от 0 до 2π случайными величинами.

Аналогично на интервале приема (n – 1)-й и n-й посылок сигнала (1) запишем выражение для гармонической помехи (ГП) с амплитудой Uj uhi (t) = Uj sin(®st + ^у),     (n - 1)T < t < (n + 1)T,                           (3)

частота которой совпадает с частотой сигнала, а начальная фаза ф ^ - является равномерно рас-0

до 2π случайной величиной, изменяющейся от сеанса к сеансу связи.

Для решения поставленной задачи вначале конкретизируем для рассматриваемых помех напряжения f I и f Q на входах решающих устройств ПРУ:

fl = ( X n X n - 1 + Y n Y n - 1 ) - (Y n X n - 1 - X n Y n - 1 ), f Q = ( X n X n - 1 + Y n Y n - 1 ) + (Y n X n - 1 - X n Y n - 1 ),

где X_n _i , X_n и Y_{n —1} , Y_n - напряжения на выходах корреляторов синфазного и квадратурного каналов в моменты окончания ( n - 1)-й и n -й посылок сигнала. Указанные напряжения в соответствии со структурной схемой ПРУ [1, с. 171] описываются следующими выражениями: для ФМП (2)

nT

X n ^{- 1} =T ^{f [} s n ^{- 1(} t ) ⁺ u n

T (n-1)T nT

( n + 1) T

'-, ( t и ^UI ⁽ .),  X n = T   f [ s n ( t ) ⁺ u n⁽ t )) u I ⁽ t ),

для ГП (3)

^Yn - 1 = T   f ^[ s n - 1 ⁽ t ) ⁺ u n - 1 ⁽ t ^{)] u}Q ⁽ t ),   Y n = T

^T ( n - 1) T                                ^T

nT

(n+1) T f [ sn(t) + un(t)| uQ(t);

nT

nT                                 ( n + 1) T

X n - 1 = T   f [ S n - 1 ( t ) + u hi ( t )] U I ( t ), X n = T   f [ S n ( t ) + u hi ( t )] U I ( t ),

⁽ n -l) T                                 nT

Y n - 1 = T n f [ S n - 1 ( t ) + U hi ( t )] U Q ( t ),   Y n = T   f [ s n ( t ) + u _hl( t )] U Q ( t ),

T (n-1)T                           T nT где uI (t) = sin(ωst), uQ(t) = sin(ωst +π/2) – опорные напряжения корреляторов синфазного и квадратурного каналов.

Напряжения f I и f Q для помех (2), (3) получим следующим образом.

Для ФМП – путем подстановки (1) и (2) в (5), а (5) – в (4):

f_I ( h _s, Θ _{n - 1}, Θ _n , ϕ _{n - 1}, ϕ _n , ϕ _s) =

-

Θ n ), (7)

= h _s²cos[ ^π ₄ - ( Θ _n - Θ _{n - 1})] + cos[ ^π ₄ - ( ϕ _n - ϕ _{n - 1})] + h _scos( ^π ₂ - ϕ _n + ϕ _s + Θ _{n - 1}) + h _scos( ϕ _{n - 1} - ϕ _s f Q ( h _s, Θ _{n - 1}, Θ _n , ϕ _{n - 1}, ϕ _n , ϕ _s) =

= h _s²cos[ ^π ₄ + ( Θ _n - Θ _{n - 1})] + cos[ ^π ₄ + ( ϕ _n - ϕ _{n - 1})] + h _scos( ϕ _n - ϕ _s - Θ _{n - 1}) + h _scos( ^π ₂ - ϕ _{n - 1} + ϕ _s +Θ _n ).

Для ГП – путем подстановки (1) и (3) – в (6), а затем (6) – в (4):

f[ (hs, 6 n-b6 n, phi, %) h .2coS[ 4 (6 n 6 n-i)] + hscoS( 2 phi + ps +6 n-i) + hscoS^i Vs 6 n ) + 22, (8) fQ(hs,Θn-1,Θn,ϕhi,ϕs) = hs2cos[π4+(Θn -Θn-1)]+hscos(ϕhi-ϕs-Θn-1)+hscos(π2-ϕhi+ϕs+Θn)+ 22, где hS = US / U - отношение сигнал-помеха по напряжению на входе ПРУ

Далее, следуя методу индикаторов решений о переданных элементах [5, 6], запишем правила принятия решений in, qn о переданных двоичных элементах in, qn, индикаторы правильных решений об этих элементах I,, Iq, а также выражения средних вероятностей правильного q приема символа ps и двоичного элемента pь ДФРМ сигнала в рассматриваемом ПРУ при воз-s действии ФМП или ГП.

Вначале приведем указанные соотношения в общем виде, а затем конкретизируем их применительно к воздействию ФМП (2) и ГП (3).

Решение задачи

Правила принятия решений i n , q _п о переданных двоичных элементах i n , q n с учетом таблицы для рассматриваемого ПРУ описываются неравенствами

> fI ≤ 0, iˆn =1

q ˆ _n = 0

> fQ ≤ 0, qn =1

где f_I и f Q определяются выражениями (7) для ФМП и (8) для ГП.

Индикаторы I i , I q событий [5], заключающихся в правильном принятии решений о переданных двоичных элементах i n , q n , на основании правил (9), выражений (7), (8) и приведенного в таблице соответствия всех возможных значений величин 0 _n _ 1 , 0 _n и А0 _n представим следующим образом:

при	А0и=0и-0и-1 = {0; п /2}, n      n     n 1	J = i	I 1’ к	если если	fl > 0’ fl ^ 0;
при	A0 n = { п ;3 п /2},	i		если	fl <  0’
			^ 0’	если	fl - 0;	(10)
при	А0 n = {0;3 п /2},	I q	f l’	если	fl >  0’
			1 0’	если	fl ^ 0;
			f l’	если	fl <  0’
при	А0 ., = { п /2; п },	I q =
			1 0’	если	fl - 0.

При получении средних вероятностей правильного приема символа ps и двоичного эле-3п мента pь ДФРМ сигнала положим, что все возможные значения 0, у, п, -у- величин 0n _ 1, 0n появляются независимо и равновероятно. Поэтому при получении выражений ps и pь применим формулу полной вероятности и учтем, что вероятность появления события Z равна ма- тематическому ожиданию M{Iz} индикатора Iz этого события, а индикатор пересечения событий равен произведению индикаторов этих событий [5].

На основании изложенного среднюю вероятность правильного приема символа сигнала (1) при воздействии помехи запишем в обобщенном виде:

■ S s p { ©        } p { ©     } p { (■     ■ )п( q      )| ©        ©     }          (и)

p s k к » ^{- 1), , ]      (} n , knn nn    ^[( n ⁽ n , k ) , *

где величины ©г/_и_ пл, l = 1,4, ©и kk к = 1 , 4, независимо принимают значения 0, -у, п , -у-

"рК          ’ , k                                           ^{2      2}

с вероятностями ^р © n -_М ^}= ^р © nk , ^}= 1/4, ^р : , „ = , „ ) I ⁽ q „ = q , ) © [( „ -_М, е ₍ nk ) ^} - вероятность правильного приема символа ДФРМ сигнала (одновременного правильного приема двоичных элементов i n и q n ) при условии появления Конкретных значений © [( » - 1), , ] и ⁰ n . к ) .

Аналогично получим обобщенное выражение средней вероятности правильного приема двоичного элемента ДФРМ сигнала pь 2[P {n ■»}+P {q n qn}]

2 [ М P ©»- ']p © n* - P!(n = n ’ ©[(n' - ©(n *) + +■IP©n-1„.)P{qn=qn1©[(n-M,©(.) 1], где P{in = in}, P{qn = qn } - средние вероятности правильного приема двоичных элементов *П и qn, P|(n =ln)®[(n-nqAnk)}• P{ (qn = qn)©[(n-1X,1.e

0. nk

,

Конкретизируем выражения (11), (12) вероятностей Ps и pь для случая воздействия на рассматриваемое ПРУ ФМП со случайным набегом фазы (2). При этом учтем, что согласно (7)

и (9) индикаторы Ii, I_q (10) для этой помехи являются функциями величин hs, 0_{n —} 1, 0_n, ф_{п —} ], ф_п, Фs: Ii = Ii (hs, 0 n -1,0 n, Фп _А,фп, ^_s), Iq = Iq (h_s, 0 „-1,0 „ ,ф_п-_Х,ф_п ,^_s).

Подставим выражения fI и fQ (7) в (10) при соответствующих значениях Θn – 1, Θn и ΔΘn (см. табл.), а выражения (10) - в (11) и (12) и учтем, что плотности вероятности независимых случайных величин ф_п-1 и ф_п определяюстя как W(ф_п —i) = W(ф_п) = И(2п), 0 < ф_j < 2п, nn   n

⁰< Фп< 2п.

После выполненных подстановок в результете численных расчетов можно показать, что при воздействии на рассматриваемое ПРУ помехи (2) входящие в (11) условные вероятности

P-^{i„ -i„ ) 1 (q, = ^qn )| ⁰[( n-D^.⁰, n,k) ^} =

= ²f²f[ Ii (he, 0 n-1,0 n, Фп -1, Фп ,Фс ) Iq (h с, 0 n-1,0 n, Фп-1, Фп ,Фс )W (Фп -1)W (Фп ) dфn -1 dфn, ^{равны при всех} возможных значениях 0, ^2, ^п, ^п величин ⁰[(п-_Щ],¹= 1,4, ⁰(п,k), ^k = 1,4.

Поэтому выражение вероятности p_s (11) применительно к воздействию ФМП (2) принимает следующий вид:

Ps = P{(in = in) I (qn = qn)|0[(n-1),1],0(nj) }=

2п 2n

= (2^2" 0 0^[Ii⁽^’⁰n^-1’⁰n^,Фп-1’^Фп’^^s)Iq⁽^’⁰n^-1’⁰n^,Фп-1’^Фп’^^{s)]      (13)}

l|⁰n —1=⁰’⁰n =^{0 dфn-1 dфn.}

Также с применением численных расчетов можно показать, что при воздействии помехи (2) входящие в (12) условные вероятности

• ( ₇          ।                         ) ²П²П _                                                               .

P^{(in = in) |⁰[⁽n-ЦД’⁰⁽n’k)^}= J ПIi⁽hs’⁰n-b⁰n^n-Ь^Фп’^s^{)w(Фп-1)w(Фп})^dфn-1 ^dфn 0 0

и

P{(qn = qn) 0[(n-1)’l]’0(n’k)}= 2ППIq(hs’0n-1’0n’Фп-1’Фп’Фs)F(Фп-1)W(Фп)dФn-1 dФn равны при всех возможных значениях 0, у, п, у величин 0[(n-1)i]’ l = 1’4’ 0(n k)’ k = 1’4-

Поэтому выражение вероятности pv. (12) для случая воздействия ФМП (2) запишем следующим образом:

■

Рb =

2п 2п

I I Ii⁽hs =⁰n-1,⁰n, ^фп -\^,фп. ^ф5)| 0 n —, =00 _n =0 Nn-1 Nn -      ⁽¹⁴⁾

⁽²ⁿ) 0 0

Важно отметить, что, как и следовало ожидать для некогерентного ПРУ, средние вероятности правильного приема символа и двоичного элемента ДФРМ-сигнала при воздействии фазоманипулированной помехи не зависят от начальной фазы сигнала ф_s. Действительно, изменение значения φs в интегралах при расчете вероятностей (13), (14) смещает подынтегральную функцию в области определения, но не меняет значений указанных вероятностей.

С использованием симметрии подынтегральных функций в выражениях вероятностей (13) и (14) относительно плоскостей, описываемых уравнениями ф_п—1 = (2п - ф_п ) и ф_п—1 = ф_п соответственно, возможно сокращение временных затрат на численные расчеты путем применения эквивалентных выражений с уменьшенной вдвое областью интегрирования:

1 2п 2п-фп ps = ТТ 1    1 [Ii(hs’0n-1,0n,фп-1,фп’фs') х

^{П 0 0}                                                       ,              ⁽¹⁵⁾

^хIq⁽hs,⁰n-1 =⁰n ^,фп -1 = ^фп = ^фs⁾]| 0 n —1 =0,0 _n =0 ^dфn —1 ^dфn ’

С применением выражений индикаторов Ii(hs,0n-1,0n,ф^,ф,.), Iq(h_s,0_n-1,0_n,фу,ф₈) (10) из выражений (11) и (12) получим вероятности p_s и рь для случая воздействия на рассматриваемое ПРУ помехи (3):

4 4

Рs = 16 Z Z Мфу {Ii(h_s,0[(n-_M,0(n,kф,фs)Iq(hs,0[(n-_M,0(n,_k),ф^,фs)} = ^k=11=1

4 4 2n

= 116 Z Z  JIi(hs,0[(n-1),l],0(n,k),фh1,фs)Iq(hs = 0[(n-1),l],0(n,k),фи,Фs)W(фы)Mb k0

^Рb  2

116 ZZ M^ {Ii(h,,0[(n-_Ш],0(,„,№,*))+

. к=4N

⁺116 ^ZM^hi ^{k 1}j¹

{Iq ( hs,0[( . -M- 0( nk „Vhi, Vs)} =

. . 4 4 2n

216 Z Z JIi(hs,0[(n-1),l],0(n,k),Vhi,Vs)W(Vi)d^hi +

_ к^{11 1} 0

где W (vhi) = ^ 2n

4 4 2n

+£ Z Z JIq(hs,0[(n-1),1],0(n,k),Фhi,Vs)W(Vhi)dVhi к 1 j 10

0 < Vhi < 2п - плотность вероятности случайной величины ф_Н1.

Для получения аналитических выражений вероятностей р_s и рь графически построим зависимости индикаторов в интегралах выражений (17) и (18) от переменной фу, которые являются ступенчатыми функциями от этой переменной. Затем перемножим ступенчатые функции, входящие в (17), (18), и вычислим (17), (18) путем представления каждого из слагаемых этих выражений в виде суммы интегралов с интервалами интегрирования, на которых подынтегральные функции не претерпевают скачков. В результате интегрирования получим следующие формулы вероятностей p_s и р^:

4,

Р s = ‘

2п

Г 1 + h_s )         f h_s-1

arccosl —;=s- I + arccosl —---

I I l .       1²⁴² h^s)          1^{2 hs} .

1,

если 0 < hs < 1, если 1 < h_s< (V2 +1), если h_s> (72 +1);

pb

2  4n

1 -

4n

arccos

arccos

2,

1 + h 2

‘ I 272hs

- arccos

f h²

,

1 + h_s2 |

—j=s- I + arccos 272hs I

hs -1 -s I 2 hs

,

1,

если 0 < hs < (Л -1), если (42 - » < hs < 1, если 1 < hs < (72 +1), если hs > (72 +1).

Выражения (19), (20) подтверждают очевидное для некогерентного ПРУ отсутствие зависимости вероятностей р_s, р_ь от начальной фазы сигнала фs для случая воздействия ГП.

Рис. 1. Зависимости вероятностей р>ь и ps от hs_pkв некогерентном и когерентном ПРУ ДФРМ сигнала при воздействии фазоманипулированной и гармонической помех: 1 – когерентное ПРУ, гауссовская помеха; 2, 3, 4 – некогерентное ПРУ – гауссовская, гармоническая и фазоманипулированная помехи;

5, 6 – когерентное ПРУ – гармоническая и фазоманипулированная помехи; 7, 8 – некогерентное ПРУ – гармоническая и фазоманипулированная помехи

Используя полученные зависимости вероятностей p_s и pь, проведем анализ помехоустойчивости оптимального некогерентного и когерентного ПРУ ДФРМ сигнала при воздействии фазоманипулированной, гармонической и гауссовской помех по пиковым отношениям сигнал-помеха, поскольку у источников станционных и преднамеренных помех пиковая мощность, как правило, ограничена.

Для ФМП и ГП отношение сигнал-помеха по эффективным hs и пиковым hs pk напряжениям одинаковы, а для гауссовской помехи, пикфактор которой П_g≈ 3 при небольших h_s, справедливо приближенное равенство hs ® (Пд/ns)hspk = (3/V2)hspk, где n_s= V2 - пикфактор сигнала (1).

На рис. 1 по формулам (15), (16), (19) и (20) сплошными линиями построены зависимости вероятностей pь и p_s от отношения сигнал-помеха hs_pkпо пиковым напряжениям в оптимальном некогерентном ПРУ при воздействии ФМП (2) и ГП (3). Штриховыми линиями построены полученные по методике [4] зависимости вероятности ps от hs pk в когерентном ПРУ [1, с. 118] при воздействии помех (2) и (3):

для ФМП

P S = 12

4 + ²2[arcsin( h s/72)]²,

П²

-—arcsin( h_s72) + -62 n

1,

[arcsin(h_s/ 2)]²,

если 0 < h_s< 1, если 1 < h_s< 72, если h_s> 72;

для ГП

4 ⁺2_n^arcsm(hs/V²),

P s = 1

П arcsin( h_s72)

4^,

1,

если 0 < h_s< 1, если 1 < h_s< 72, если К > 72.

s

Для случая воздействия гауссовской помехи на рис. 1 сплошной и штриховой линиями построены зависимости вероятности pь от hspk для оптимального некогерентного и когерентного ПРУ соответственно с применением формул [1, ф. (6.125)] и [3].

Обсуждение результатов

Из рис. 1 видно, что воздействие ФМП и ГП характеризуется пороговым эффектом. Для когерентного ПРУ вероятность p_s меньше 1 при hs pk меньше величины =1,41. Применительно к некогерентному ПРУ вероятности pь и ps меньше 1 при hspk, не превышающих =2,6 для ФМП и ≈2,41 для ГП. Следовательно, для достижения порогового эффекта в некогерентном ПРУ требуемая мощность ФМП оказывается в 3,4 меньше, чем для когерентного ПРУ, а мощность ГП

– в 2,9 раза.

При отношениях сигнал-помеха по пиковым напряжениям нижеуказанных пороговых значений гауссовская помеха менее неблагоприятна по сравнению с фазоманипулированной и гармонической помехами для обоих рассматриваемых ПРУ.

Анализ приведенных на рис. 1 зависимостей показывает, что для когерентного ПРУ из соизмеримых по эффективности гармонической и фазоманипулированной помех при всех h_{s pk}более неблагоприятна ФМП. Для некогерентного ПРУ такая однозначность отсутствует. Действительно, для значений pь и p_s меньше 1 более неблагоприятной оказывается ГП при hs_pkот 0 до 1 и от =1,7 до =2,37, а при остальных значениях hs_pk-ФМП.

Для представляющих практический интерес пороговых значений вероятности искажения двоичного элемента pьд = 0,2 и вероятности его правильного приема pьд = 1 - pьд = 0,8, при достижении которых полностью разрушается информационное содержание передаваемого сообщения [7], наиболее неблагоприятной для некогерентного ПРУ является ФМП. Поскольку требуемое для достижения этого эффекта значение hs_pk= 1,3, то проигрыш ГП фазоманипу-лированной помехе по мощности составляет 1,7 раза. Проигрыш гауссовской помехи ФМП по пиковой мощности – 4,9 раза.

Достижение порогового значения вероятности pь th = 0,8 в когерентном ПРУ ДФРМ сигнала требует в 2,2 раза большей пиковой мощности гауссовской помехи, чем в оптимальном некогерентном ПРУ.

При указанном hs pk = 1,3 из зависимости вероятности ps от hs_pkдля ФМП следует пороговое значение этой вероятности p& _{s th} = 0,6. Для достижения этого значения вероятности в некогерентном и когерентном ПРУ требуется практически одинаковая мощность ФМП. Аналогично при воздействии ГП более помехоустойчивым оказывается некогерентное ПРУ, так как для достижения p_{s th} не хуже 0,6 в этом приемнике требуемая мощность помехи оказывается в 1,5 раза больше, чем в когерентном ПРУ.

Заключение

На основе метода индикаторов решений о переданных элементах получены вероятностные показатели помехоустойчивости оптимального некогерентного ПРУ простого незамирающего ДФРМ-сигнала, а также результаты их сравнения с аналогичными показателями когерентного ПРУ при воздействии фазоманипулированной, гармонической или гауссовской помех. Указанные результаты могут быть использованы для оценки помехоустойчивости ДФРМ-сигнала в условиях воздействия станционных или преднамеренных помех, а также для выбора помех приемно-решающим устройством этого сигнала.