Порядковая непрерывность одного класса неаддитивных операторов

Линейные операторы, заданные на архимедовых векторных решетках, традиционно были объектами внимания для участников семинара Б. З. Вулиха по полуупорядоченным пространствам при ЛГУ. Одним из ведущих специалистов в этой области был Г. Я. Лоза-новский (см., например, [1–3]). Интересно, что при обсуждении (на заседаниях семинара) чисто аддитивного случая Г. Я. Лозановский отмечал возможности использования тех или иных подходов для случая неаддитивных операторов.

Действительно, с точки зрения порядковых свойств линейный функционал Ф 1 :

Ф ₁ (f) = J f (x) dx , заданный на векторной решетке C [0,1] , мало чем отличается от неад- 0₃

дитивного функционала Ф 2 : Ф 2 (f) = f f f 2 ( x ) dx^ .

В статье будут рассматриваться неаддитивные операторы T: C[K] ^ C^(Q), дей ствующие из векторной решетки C(K) в дедекиндово полную векторную решетку C^(Q) всех расширенных непрерывных функций на экстремально несвязном компакте Q. Будет введен один класс операторов, причем все они обладают свойствами S1 , S2, S3, определенными в п. 2. Предложение 2.3 показывает, что в этот класс входят как аддитивные операторы, так и операторы, не обладающие хорошими алгебраическими свойствами.

Для анализа строения такого рода операторов были введены величины in(G, m ) и ex(F, m ) (по существу они использовались еще в [4], а в [5] рассматривались для нормы). Заметим, что для пояснения конкретного смысла получаемых результатов будут обсуждаться два конкретных функционала Ф 1 и Ф ₂ , упомянутых ранее.

В качестве примера использования развитой в п. 3 техники будут описаны (в терминах величин in(G, m) и ex(F, m) ) условия порядковой и секвенциальной порядковой непрерывности операторов изучаемого класса; для монотонных операторов эти условия оказываются необходимыми и достаточными (см. теорему 4.2. и предложение 4.3.).

Кроме того, рассматривается вопрос о продолжении этих операторов на элементы дедекиндова пополнения векторной решетки C ( K ) ) (см. предложение 5.1. и теорему 5.3.).

Будем использовать следующие обозначения. Буквой K обозначается произвольный компакт, а буквой Q — экстремально несвязный компакт. Как обычно, C ( K ) есть векторная решетка всех непрерывных на компакте K функций. Причем e K обозначает тождественную единицу. Элементы исходной векторной решетки C ( K ) будем обозначать обычно x , y , v ; а также a , b . Решеточные операции будут записываться как x ∨ y , x ∧ y , а для случая бесконечных семейств — sup(x _a : а Е Г) , inf(x _a : а Е Г) .

Буквы G , W используются для открытых множеств, а F , H — для замкнутых множеств. Пусть X(Q) есть булева алгебра всех открыто-замкнутых множеств в Q . Если E С K и x Е C ( K ) , то P e x обозначает сужение функции x Е C ( K ) на E .

Порядковая сходимость направления (x _a ) С C ( K ) к элементу у Е C ( K ) (т. е. x _a —G у ) означает, что | x _a — у | 6 v e ^ 0 при а >  а ( в) и а Е Г((х _а )) , в Е r((v e )) (т. е. Г((х _а )) это упорядоченное семейство индексов для направления (x _a ) ).

Наконец, полагаем для x Е C ( K ) нуль-множество z(x) = { t Е K : x(t) = 0 } и конуль-множество cZ = K \ Z (x) .

• 2.    Ограничения на изучаемые операторы

Всегда предполагается, что оператор T : C (B) ^ C ^ (Q) порядково ограничен и T (0) = 0 . Кроме того, для T выполнены свойства S i , S 2 , S 3 , которые будут введены в этой части.

Первое свойство S 1 оператора T (обозначается T ∈ S 1 ) состоит в следующем: для любого т Е N существует направление U m ^ 0 в C ^ (Q) такое, что для любого индекса а Е Г((и т )) существует 5 = 5 ( а,т ) > 0 , если | x i | , | x ₂ | 6 те к и | x 1 — x ₂ | 6 бе к , то | T(x i ) — T (x 2 ) | 6 U m [4].

Лемма 2.1. Предположим, что оператор T обладает свойством S 1 .

• (1)    Пусть x Е C ( K ) и x(n) = (x + — П ек) + — (x(n) — ¹ ек) + . Тогда | x(n) 6 | x || , clcz(x(n)) С cz(x) и | x(n) — x | 6 П е к .

• (2)    Пусть G С K и p Е N.

Тогда sup [ | T(x) | : | x | 6 ре к , cz(x) С G] = sup [ | T(y) | : у 6 ре к , clcz(y) С G].

• (3)    Пусть clcz(y) С G 1 U G 2 . Тогда существуют x 1 , x ₂ Е C ( K ), для которых | x _i | 6 | y | ,

  clcz(x i ) С G i ( i = 1, 2) и у = x 1 + x ₂ .

  
  

• (4)    Пусть V e ^ 0 в C ( K ) и p Е N. Если, кроме того, G D F _p (( V e )) = T(V s ) 1

  ([ p - ⁺“] )•

  
  

то найдется индекс в Е Г((V e ))• для которого P B\G V e 6 p •

C (1) Проверяется непосредственно.

• (2)    Пусть | x | 6 ре к и cz(x) С G . Пусть x(n) Е C ( K ) из 1). Тогда | x — x(n) | 6 П е к . Берем n Е N , так чтобы П 6 5(а,р) . Получаем У Г (x) — T (x(n)) | 6 U p . Таким образом, | T (x(n)) | —> | T(x) | и clcz(x(n)) С G .

• (3)    Пусть у Е C ( K ) и clcz(y) C G 1 U G 2 . Полагаем H = clcz(y) \ G 2 С G 1 . Найдем G С K такой, что H С G С cl G С G i . Строим такую у 1 Е C ( K ) , что 0 6 у 1 6 у + , P cl G У ₁ = у + и cz(y ₁ ) С G 1 . Аналогично, строим такую у ₂ Е C ( K ) , что 0 6 у ₂ 6 у - и

• PclGУ2 = y-, cz(y2) C G1. Пусть X1 = yi - У2. Тогда PclGX1 = y, |xi| 6 |y| и cz(xi) C G1. Полагаем x2 = y — xi. Тогда |x2| 6 |y| и cz(x2) C G2.

• (4)    Проверяется непосредственно. B

Теперь введем свойство S 2 для оператора T (обозначается T G S 2 ) : для любого т G N существует к ( т ) G N , такое что если | x | , | y | 6 те к , то

| T(x + y ) — T (x) | 6 sup [ | T(v) | : | v | 6 к ( т ) е к , cz(v) C cz(y)] .

Лемма 2.2. Пусть для оператора T выполнены свойства S 1 и S 2 .

• (1)    Пусть | x | , | y | 6 те к • Тогда | T(x + y) | 6 | T(x) | + sup[ | T(v) | : | v | 6 K ( т ) е к , cz(v) C cz( y )] .

• (2)    Пусть cz(y) C cz(x _i ) U cz(x ₂ ), причем | y | 6 те к • Тогда | T(y) | 6 sup[ | T(v) | : | v | 6 K ( т ) е к , cz(v) C cz(x _i )] + sup[ | T(u) | : | u | 6 K ( т ) е к , cz(u) C cz(x ₂ )].

• (3)    Пусть D ( T ) = { x G C ( K ), если y G C ( K ), cz(y) C cz(x), то T (y) = 0 } . Тогда D ( T ) есть векторной решетки идеал.

• (4)    Пусть G ( T ) = S(cz(x) : x G D(T))• Если y i , y 2 G C ( K ) и Р к \ g ( t ) (y i ) = Р к\G(T ) (y 2 ), то T (y i ) = T (y ₂ ).

C (1) К неравенству | T(x + y) | 6 | T(x) | + | T(x + y) — T (x) | применяем T G S ₂ .

• (2)    Пусть сначала clcz(y) C cz(x i ) U cz(x 2 ) . В силу 3) из леммы 2.1 имеем y = y i + y 2 , где | y i | , | y 2 | 6 | y | 6 те к и clcz(y i ) C cz(x i ) , i = 1,2 . Остается применить 1). Если теперь cz(y) C cz(x _i ) U cz(x ₂ ) , то ввиду 1) из леммы 2.1 вводим y(n) G C ( K ) так, что | y(n) — y | 6 n е к | y(n) | 6 | y | и clcz(y(n)) C cz(y) . Поскольку T G S i , то T (y(n)) —— T (y) . Было доказано, что для y(n) требуемое неравенство выполнено. Значит, оно выполнено и для y G C ( K ) .

• (3)    Следует из (2).

• (4)    Докажем, что y _i — y ₂ G D ( T ) . Пусть v G C ( K ) и cz(v) C cz(y _i — y ₂ ) . Пусть v(n) G C ( K ) из леммы 2.1(1). Тогда clcz(v(n)) C G ( T ) и по (3) v(n) G D ( T ) . Поэтому T (v(n)) = 0 . Опять используем T G S _i и | v — v(n) | 6 П е к • Тогда T (v) = 0 . Таким образом, y i — y 2 G D(T) . Получаем | T(y i ) — T (y ₂ ) | = | T(y ₂ + (y i — y ₂ )) — T ( y 2 ) | 6 sup[ | T(x) | : | x | 6 к(т), cz(x) C cz(y i — y 2 )] = 0 . B

Лемма 2.2(4) дает основание ввести для оператора T следующее свойство S 3 (T G S 3 ) : если x G C ( K ) и x = 0 , то существует y G C ( K ) , для которого cz(y) C cz(x) и T (y) = 0 .

Выполнение свойств S 1 , S 2 , S 3 задает класс операторов, рассматриваемых в этой статье. Очевидно, что любой линейный регулярной оператор T : C ( K ) ^ C ^ (Q) удовлетворяет этим свойствам. Следующий результат показывает, что рассматриваемый класс включает в себя операторы, далекие, например, от аддитивных.

Предложение 2.3. Пусть ^, ^ : R ^ R непрерывно дифференцируемые функции, у которых lim ^(t) = lim ^(t) = го. Кроме того, считаем, что ^(0) = 0 и из |ti | > |t21 t→∞      t→∞ следует |^(ti)| > ^(t2)|• Наконец, предположим |^(rt)| > |r|-|^(t)|. Пусть функционал Ф : C([0, 1]) —> R задан следующим образом: Ф(f) — ^ Rj ^(f (t)) dt^ . Тогда Ф G Si, S2, S3.

C Пусть | f | , | g | 6 те . Для t G [0,1] имеем | ^((f + g)(t)) — ^(f(t)) | = | ^ 0 (c(t)) • g(t) | 6

M i (^) | g(t) | , где | c(t) | 6 2т . Тогда

J (^(f + g)(t) — Wf(t))) dt

6 M i (^)

g(t) dt

. Это

дает

J W + g^{)(t) dt} I - V I у W ^{(t)) dt} I о                   /        \ о              /

= v;r> j ⁺ g^{)(t) dt} _о

-

j ^ ( f (t)) dt 6 Mi ( v ) Mi^ j g(t)dt .

Из этого неравенства следует, что Ф G S i . Теперь проверим, что Ф £ S ₂ .

Для этого оценим J | g(t) | dt 6 M (g)^(cz(g)) 6 m^(cz(g)) , где ^(A) есть мера Лебега 0

множества A . Обозначим d = M i (v)M i (^)m . Найдем r £ R + с условием: | v(t) | >  d при | t | > r . Пусть | ^(t) | > 2r при | t | > q . Покажем, что любое k(m) >  q искомое.

Выберем F C cz(f) так, чтобы pF >  4 ^(cz(g)) . Строим h £ C + ([0,1]) та-

кую, что P F h ₁

q , ^P [0 , 1] \ cz( g ) h

0 , 0 6 h 6 qe . Тогда | P f ^(h) | = | ^(q) |

и

J ^ ( h ) d^ ) >  J P cz(g)\F ^ ( h ) d^

-

J P cz(_g)\ F^ ( h ) d^ . Получаем J P f ^ ( h ) dp.

| ^(q) | ^F , f P cz(g)\F Wh dp 6 | ^(q)^(cz(g) \ F) | . Это дает результат _о

| ^(q) | (^F — ^(cz(g) \ F)) >  | ^(q) | 2 ^(cz(g)) > r^(cz(g)) . Таким образом,

J ^ ( h ) dt

>

V J ^(h) dt >  о

| v(r^(cz(g))) | > ^(cz(g)) | v(r) | > d^(cz(g)) . Это и требовалось получить. Доказано, что Ф £ S 2 .

Установим, что Ф £ S 3 . Пусть g £ C ([0,1]) , g = 0 . Считаем, что [a, b] C cz(g) , a 6 c — n i 6 c < d 6 d + П 6 b . Найдем r £ R ₊ , для которого | v(t) | > 1 при | t | > r . Найдем q £ R + , такой что | ^(q) | >  d - rc . Зададим функцию h на [0,1], так что h([c, d]) = q и

h[[0,1] \ [c, d]] = 0 . Тогда J^(h) dp = | ^(q) | (d — c) > 2r и v _о

J ^(h) dp\ >  1 . Для больших

n £ N выполнено v J ^ ( h _n ) d^ >  2 , где h _n £ C ₊ ([0,1]) , 0 6 h _n 6 qe , h _n ([c, d]) = q , h _n = 0

^на [^{0 ,c —} 1] ^u d ⁺ i ,¹ . B

Замечание. Функционалы Ф 1 = J f dx и Ф 2 = I J f ² dx I удовлетворяют свойствам 0 0

S 1 , S ₂ , S 3 . Рассмотрим функционал Ф 3 = n J | f | dx . Для него не выполнены условия предложения 2.3. Проверим, что, тем не менее, Ф 3 обладает свойствами S i , S 2 , S 3 . Имеем | Ф з (f + h) — Ф з (f) | 6 | Ф з (h) | . Поэтому Ф 3 £ S 1 , S 2 . Очевидно, что Ф 3 £ S 3 .

3. Величины in(G, m) и ex(F, m)

В дальнейшем полагаем, что T ∈ S 1 , S 2 , S 3 .

Пусть G открыто в K и m ∈ N. Полагаем in(G,m) = sup[|T(g)| : |g| 6 тек, cz(g) C G] £ C^(Q).

Заметим, что если Ф 1 (f) = J f (x) dx, то in(G, m) = mpG (где, как и раньше, р есть мера 0₃

Лебега). Если Ф ₂ (f) = R f ² (x) dx , то in(G, m) = m ⁶ pG.

Лемма 3.1. Справедливы следующие утверждения:

• (1)    если G _i D G 2 , то in(G _i ,m) > in(G ₂ ,m);

• (2)    in(G i U G 2 ,m ) 6 in(G _i , m) + in(G ₂ , k(m)).

C (1) Очевидно. (2) Пусть | x | 6 me p и cz(x) C G i U G 2 . Надо доказать, что | T(x) | 6 in(G,m) + in(G ₂ , k(m)) . По лемме 2.1(2) можно считать, что clcz(x) C G _i U G 2 . По лемме 2.1(3) полагаем, что x = y _i + y ₂ , где | y i | 6 | x | и clcz(y _i ) C G _i ( i = 1,2) . Остается применить лемму 2.2(1). B

Замечание. Последовательно применяя лемму 3.1(2), получаем in(G i U G 2 U G 3 , m) 6 in(G i , m) + in(G 2 , k(m)) + in(G 3 , k(k(m))) .

Лемма 3.2. Пусть выполнены следующие условия: | x 1 | , | x 2 | 6 me K , G ⊂ K и | x 1 - x ₂ | 6 5 ( a,m + 1)е к на K \ G , причем 5 ( a,m + 1) 6 1. Тогда | T(x i ) — T (x ₂ ) | 6 U am+1 + in(G, k(2m + 1)) .

C Полагаем y = (x _i + 5 ( a,m + 1)е к ) Л ((x i — 5 ( a,m + 1)е к ) V x ₂ ) . Заметим, что | x _i - y | 6 5 ( a, m + 1) и | y | 6 (m + 1)e K . Поскольку T G S _i , то | T(x _i ) — T (y) | 6 U m⁺ⁱ . Далее заметим, что y = x 2 на K \ G. Это означает, что y = x 2 + a , где cz(a) C G и | a | 6 | y | + | x ₂ | 6 (2m+1)e K . Поскольку T G S ₂ , то | T(x ₂ ) — T(y) | 6 sup[ | T(b) | : cz(b) C cz(a) и | b | 6 k(2m + 1)] = in(G, k(2m + 1)) . Поэтому | T(x _i ) — T (x ₂ ) | 6 U m⁺ⁱ +in(G, k(2m + 1)) . B

Пусть множество F замкнуто в K и пусть m ∈ N. Обозначим ex(F, m) = inf[in(G, m) : G D F].

Заметим, что в случае функционала Ф 1 имеем ex(F, m) = mpF , а в случае функционала Ф ₂ верно ex(F, m) = m ⁶ pF .

Обозначим через J ( T ) семейство таких F C K , что ex(F, m) = 0 для любого m G N . Очевидно, что J(Ф 1 ) и J(Ф 2 ) состоят из всех замкнутых множеств меры Лебега нуль.

Лемма 3.3. (1) Пусть F i , F 2 C K и m G N. Тогда ex(F i U F 2 ,m) 6 ex(F i ,m) + ex(F 2 , K(m)).

• (2)    Семейство J (G) является идеалом, состоящим из замкнутых нигде не плотных множеств.

C (1) Пусть G i D F i (i = 1, 2) . Тогда F i U F 2 C G i U G 2 и по лемме 3.1(2) выполнено in(G i U G 2 , m) 6 in(G i , m) + in(G ₂ , k(m)) . Из этого следует требуемое неравенство.

• (2)    По (1) J(T) является идеалом замкнутых множеств. Пусть F G J(G) и int F = 0 . Поскольку T G S 2 , найдем x G C ( K ) , такую что | x | 6 me K , cz(x) C F и T (x) = 0 . Если G D F , то in(G,m) >  | T(x) | = 0 . B

Замечание. Условие T G S 3 нужно только для того, чтобы элементы J ( T ) были нигде не плотными.

Предложение 3.4. Идеал J ( T ) обладает следующим свойством: если F C K и

F C U F n , где F n G J ( T ) для всех n G N, то F G J(T).

n =1

C Надо установить, что ex(F, m) = 0 для любого m G N . Для этого фиксируем m G N , Е >  0 и W G S(Q) . По индукции строим G n D F n и W n G S(Q) со свойствами: W n +i C W n C W , P w n [in(G n , k(k ... k(m)))] 6 3 П . Тогда F C G i U ... U G s и

P w s in(G i U ... U G s ,m) 6 P w s in(G i ,m)+ P w s in(G 2 ,k(m)) + P w s in(G 3 , k(k(m))) +... 6 |.

Таким образом, нашлось открытое множество G = G i U ... U G s D F , для которого in(G, m) 6 e на множестве W s C W . Это означает, что inf[in(G, m), G D F ] = 0 . B

Возьмем направление ( x j ) C C ( K ) , где j E r((x j )) , и обозначим

H ^(j,n) = \ {|x j ^— x j i I - ¹ f^0, 1] ^{: j} i > j’} •

Предложение 3.5. Пусть ( x j ) C C ( K ), | x j | 6 те к • Имеют место следующие утверждения:

• (1)    Пусть для любого n E N выполнено in(K \ H (j, n), k(2m + 1)) 1 0 в C ^ ( Q ). Тогда направление ( T ( x j )) является о -сходящимся в C ^ (Q).

• (2)    Пусть y E C ( K )• Пусть для любого n E N и для множества E ( j,n ) = T( | x j — y | ^-1 [0, n ] : j i >  j ) выполнено in(K \ E ( j,n ), k (2 m + 1)) 1 0 в C ( Q). Тогда ^T( x j ) ^—+ T⁽y).

• 4.    Порядковая непрерывность оператора T

C 1) Обозначим a j = sup[ | T ( x j ) — T ( x j 1 ) | : j ₁ >  j ] . Тогда | T ( x j ) — T ( x j 1 ) | 6 a j 1 . Осталось проверить, что a j 1 0 . Пусть W E X(Q) и e > 0 . Поскольку T E S i , то найдутся W ₁ E S(Q) и индекс a o E r((U m ⁺¹ ) , для которых P w 1 U m 0 ⁺¹ 6 j и W ₁ C W . Возьмем p E N с условием: p 6 5 ( a o ,m + 1) . Полагаем, что 5 ( a o ,m + 1) 6 1 .

Поскольку in(K \ H ( j,p), k (2 m + 1)) 1 0 , то существуют W ₂ E S(Q) и j o E r((x j )) , такие, что W ₂ C W ₁ и P w₂ in(K \ H (j o ,_p ), k(2m + 1)) 6 j .

Пусть j 1 >  j o . Тогда I x j 1 — x j o | 6 p 6 d ( a o ,m + 1) на множестве H (j o ,p) (по заданию H (j o ,p) ). Применим лемму 3.2: | T(x j ₀) — T ( x j 1 ) | 6 U m^¹ + in(K \ H ( j o ,p~ ) ,k (2 m + 1)) . По выбору W ₂ E S(Q) имеем P w ₂ ( | T ( x j 1 ) — T ( x j ₀ ) | ) 6 у < e . Это означает, что g j 1 0 в C ^ (Q) . Таким образом, | T ( x j ) — T ( x j 1 ) | 6 g j при j 1 >  j , т. е. (T ( x j )) о -сходится.

Утверждение (2) доказывается по той же схеме, что и (1). Берется h j = sup[ | T ( x j ₀ ) — T (y) I : j 1 >  j] и проверяется, что h j 1 0 и тем самым | T ( x j ) — T (y) | 6 h j 1 0 . B

Замечание. Предложение 3.5(2) показывает, что оператор T ∈ S 1 , S 2 , S 3 обладает некоторой порядковой непрерывностью. В случае, когда рассматривается функционал Ф 1 , условие из (1) означает, что ц ( Н ( j, n )) j 1 . Проверяется, что (Ф 1 ( x j )) является фундаментальным числовым направлением. Условие (2) означает, что x j → y по мере. Поэтому Tx j ^ Ty . Аналогичная ситуация и для функционала Ф 2 .

Обозначим через n(T) семейство всевозможных направлений ( V j ) C C ( K ) , таких что V j 1 и для любого n E N выполнено F _n (( V j )) = T V j ^-1 ([ П , + ^ ]) E J ( T ) . По лемме 3.3(2) направление V j 1 0 . А по лемме 3.3(1) семейство n(T) замкнуто относительно сложения.

Предложение 4.1. Если в C ( K ) направление ( y j ) порядково сходится к элементу у с регулятором ( v p ) E H(T) (т. е. | y — y j | 6 v e 1 0 при j >  j(e)), то T ( y j ) —^ T ( y ).

C Применим предложение 3.5(2) для любого n E N . Если G D F _n (( v j )) , то существует j E r((v j )) , для которого V j 6 n на K \ G . Поэтому E ( j,n ) D K \ G и выполнено условие из предложения 3.5(2). B

Замечание. Пусть на C(K) задан оператор T : C(K) ^ C^(Q) со следующими свойствами: T порядково ограничен, T монотонен (т. е. из |x11 > |x2| следует |T(x1)| > |T(x2)|), из xa 1 0 следует T(xa) —^ 0 (выполнение T E S1,S2,Sa в этом замечании не предполагается). Тогда для T выполняется следующее условие (*): если F замкнутое нигде не плотное множество в K, то F E J(T). Действительно, пусть n E N. Рассмотрим всевозможные пары а = (Gi,G2), такие, что F С Gi С clGi С G2. Пусть ha Е C(K) обладает свойствами: 0 6 ha 6 тек, ha = тек на Gi и ha = 0 на K\G2. Тогда ha ^ 0, Tha —G 0 и |Tha| > in(Gi,m), где а = (Gi,G2).

Теорема 4.2. Пусть T ∈ S 1 , S 2 , S 3 и монотонен. Эквивалентны утверждения:

• (1)    T порядково непрерывен (т е. из x _a —G у следует T ( х _а ) —G T ( у ));

• (2)    для K выполнено условие ( * ).

C Импликация (1) ⇒ (2) доказана в замечании к предложению 4.1. Если выполнено (2), то любое направление ( v j ) с условием: ( v j ) ^ 0 , принадлежит П(Т) . Остается использовать предложение 4.1, чтобы получить (2) ⇒ (1). B

Предложение 4.3. (1) Пусть для K выполнено условие (*) _ст : если 9 нигде не плотное нуль-множество, то 9 Е J ( T ). Тогда оператор T секвенциально порядково непрерывен.

• (2)    Пусть оператор T монотонен. Эквивалентны следующие утверждения: a) T секвенциально порядково непрерывен; б) для K выполнено условие (*) _ст .

C (1) Пусть | x _n — у | 6 v n ^ 0 . Из условия (*) _ст следует, что (V n ) Е J(T) . Остается применить предложение 4.1.

• (2)    Импликация а) ⇒ б) установлена в замечании к приложению 4.1. Импликация б) ⇒ а) установлена в 1). B

• 5.    Продолжение оператора T на элементы дедекиндова пополнения C ( K )

Замечание. Поскольку в C ([0,1]) существуют замкнутые нигде не плотные множества ненулевой меры, то функционалы Ф 1 и Ф 2 не могут быть порядково непрерывными (то же верно и для секвенциальной порядковой непрерывности).

Для решения указанной задачи будет использоваться предложения 3.5(1) и 4.1.

Пусть h принадлежит дедекиндову пополнению k(C(K)) векторной решетки C ( K ) ( п : C ( K ) ^ kC ( K ) каноническое вложение). Пусть

U (h) = ( х Е C ( K ) : п(х) > h),  L(h) = (у Е C ( K ) : п(у) 6 h).

Обозначим плотное X = X(h) = |t Е K : sup(y(t) : у Е L (h')')

U (h)) = h(t) J-. Тогда функция h : X ^ R непрерывна и ограничена.

Пусть G ⊂ K и выполнено следующее условие: если t 1 , t 2 ∈ G ∩ X , т о Возьмем t Е G П X и найдем два числа: r i = h(t) + nn и Г 2 = h(t) — nn . на прообразе G . Обозначим

= inf(x(t) : x _ _

| h(t i ) — h(t 2 ) | 6

Тогда r 1 6 h 6

∈

1 n ^. r 2

H (h,n) = K \ J {G : если t _i , t ₂ Е G П X, то h(t _i ) — h(t ₂ ) 6 1/n} ,

Rim(T) = { h Е k ( C ( K )) : | h — nx j | 6 nV e ( при j >  j ( в )), где ( V e ) Е П(Т) } .

Предложение 5.1. (1) Пусть h Е k ( C ( K )). Эквивалентны следующие утверждения: а) h Е Rim(T); б) для любого n Е N множество H ( h,n ) Е J ( T ); в) направление ( х — у : x Е U (h),y Е L(h)) принадлежит П(Т).

• (2)    Rim(T) является r -полной векторной решетки.

• (3)    Для того, чтобы Rim(T) была дедекиндово полной векторной решеткой, необходимо и достаточно, чтобы для любого регулярного замкнутого F ⊂ K было выполнено Fr(F) Е J ( T ).

C (1) Импликации в) ^ a) ^ b) очевидны. Чтобы доказать б) ^ в), рассмотрим F n = П ((x — у) ^-1 [П;+ ^]). Тогда по заданию H (h, n) выполнено F n C H ( h,n ) G J (T) .

• (2)    Следует из предложения 3.4 и из того, что П(Т) замкнуто относительно сложения.

• (3)    Если каждое Fr(F) G J ( T ) для регулярного замкнутого F , то любая проекция п ( е к ) G Rim(T) и по 2) Rim(T) = k ( C ( K )) .

Пусть Rim(T) = k(C(K)) и пусть F регулярное замкнутое в K . Тогда для соответствующей проекции h элемента п(е к ) выполнено | h — nx j | 6 пу - и ( у в ) G П(Т) . Тогда Fr F C п(у ^-1 £ 2 ;+Ч) G J(T) . B

Замечание. В случае функционалов Ф 1 и Ф 2 векторная решетка Rim(Ф 1 ) = Rim(Ф 2 ) совпадает с интегрируемыми по Риману элементами из k(C([0,1])) .

Лемма 5.2. Пусть | h — nx j | 6 пу - , где ( у - ) G П(Т). Тогда Tx j —^ T (h); причем T не зависит от выбора направлений ( x j ) и ( у в ). Это означает, что задается продолжение T : Rim(T) ^ C ^ (Q).

C Для произвольного n G N . Обозначим F n = П yУ^-1 £ ₂ n ;+^то]) G J ( T ) . Пусть G D F n . Найдется 7 G Г((у - )) , для которого у - 6 ^ на K \ G . Поэтому

H⁽Y^,n) = \ £^|x Y ^{— x} Y i ^{| -1 [0,1] :} Y 1 > Y] ^D К \ G.

По предложению 3.5(1) выполнено T ( x y ) — -^ T (h) . Пусть | h — na g | 6 nb Y , где (b Y ) G H(T) . По предложению 3.5(1) T ( a g ) —^ g 1 G C ^ (Q) . Устраиваем новое направление (c a ) , в котором попеременно появляются члены из ( a g ) и ( x y ) и | h — nc a | 6 п(у - + b Y ) . Опять по предложению 3.5(1) Tc _a —^ g 2 . Но тогда g 2 = T = g 1 . B

Теорема 5.3. (1) Существует продолжение T оператора T на Rim(T), причем T G S 1 , S 2 , S 3 .

• (2)    Оператор T является единственным продолжением T с условием: если (у - ) G n(T), h, h _Y G Rim(T) и | h _Y — h | 6 пу - , то T (h _Y ) ^ T (h).

C Сначала проверим, что T G S 1 . Пусть h 1 , h ₂ G Rim(T) , | h 1 | , | h ₂ | 6 тп(е к ) и | h 1 — h ₂ | 6 б(т + 1,а)пе к . Докажем, что | T(h 1 ) — T (h ₂ ) | 6 U m ⁺¹ , где (U m ⁺¹ ) из условия T G S 1 . Имеем | h 1 — nx ( j ) | 6 п(а - ) . И | h ₂ — п ( y g ) | 6 п(а - ) . Тогда п ( x x y g ) —U h 1 — h ₂ . Обозначим c _Yg = (x _Y — y g ) V ( — п ( бе к )) л (п(бе к )) . По условию nc _Yg —^ h 1 — h ₂ и | c _Yg | 6 бе к • Тогда ^g + y g | 6 (m + 1)е к и | T ^g + y g ) — T ( y g ) | 6 U m ⁺¹ . Остается перейти к пределу в неравенстве: | T(h 1 ) — T (^ 2 ) 6 | T(h 1 ) — T ^g + y g ) ^| + | T ( c jg + y g ) | + | T(y g ) — T (h 2 ) | .

Теперь проверим, что T G S 2 . Пусть | h 1 1 , | h 2 1 6 тп ( е к ) . Тогда | h 1 — n(x Y ) | 6 п ( а в ) , | h 2 — п ( y g ) | 6 п ( а в ) . Всегда можно считать, что | h 1 | >  | n(x Y ) | , | h 2 | >  | п(y g ) | . Получаем ^| T ^(h 1 ⁺ h 2 ) ^— T ^(h 2 ) ^{| 6 | T(h} 1 ^{+ h} 2 ) ^{— T (x} Y ^{+ y} g ) ^{| + |T(x} Y ^{+ y} g ) ^{— T (x} Y ) | ^{+ | T(x} Y ) ^{— T (h} 1 ) ^| . Первое и третье выражения в правой части стремятся к нулю. Для второго выражения имеет место оценка: [T(x _Y + y g ) — T (x _Y )] 6 sup [ | T(g) | : cz(g) C cz(y в )m | g | 6 к(т)е к ] 6 sup £T(f) : czf C_ cz(h 2 ), | f | 6 к(т)п(е к )] .

Выполнение T ∈ S 3 непосредственно следует из T ∈ S 3 .

• (2)    Достаточно установить, что если | h _Y — h | 6 пу - в Rim(T) и ( у - ) G H(T) , то T ( h Y ) ^ T (h) . В (1) было установлено, что для T выполнены свойства S 1 , S 2 , S 3 . Тогда для Rim(T) и оператора T можем применить предложение 4.1 и получить требуемый результат. B