Порождающие и соотношения в мономиальных группах над ассоциативным кольцом (часть 2)

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 512.86                                         

Настоящая работа продолжает исследования, начатые в одноименной ее первой части. Поэтому за определениями и обозначениями отсылая читателя в первую часть, и здесь R мы будем считать произвольным ассоциативным кольцом с 1 ≠ 0. Принимаем еще следующие обозначения. Через ( R *) / = [ R *, R * ], как всегда, обозначается коммутант мультипликативной группы R *, т. е. подгруппа в R *, порожденная всеми ее коммутаторами [ x , У ] = x - 1 У ^-1 xy , x , У е R *• Введенная ( R *) / образует в R* даже ее нормальную подгруппу (см. об этом [1], стр.38). Для аргумента s е R * и индексов i, к , 1 <  i <  k <  n, положим также d_t({s) = d_t ( s )d_k ( s ^ч). Далее через EMon_n ( R ) обозначим подгруппу в Mon_n (R) , порожденную всеми ее (элементарными) матрицами d _A( s ) и (( ik )), 1 <  i <  k <  n , . Эту группу EMon_n (R ) мы и назовем элементарной мономиальной группой степени n над кольцом R .

Целью в этой части работы является описание на языке порождающих и соотношений введенной только что группы EMon_n ( R ), n >  2. Пользуясь этим результатом, находим здесь комбинаторное описание также проективного фактора группы EMon_n ( R )• Хотя и группы Mon_n ( R ) и EMon_n ( R) имеют определенную близость и общность, тем не менее (как мы увидим ниже), они имеют и существенные различия. Далее, поскольку для номеров i , 1 <  i <  n , и элементов s , с е R *

d 1^{([ s} , ^{с ])} = d i i ^{( sс -1}) d i i ^{( s} ) d i i ^{( c} ), d i ^{([ s} , ^{с ])} = ^d i i ^{( s} ) d i i ^{( c} ) d i i ^{( s с - 1})

все (одинарные) матрицы dk (x), x е (R*)/, 1 < k < n, содержатся в подгруппе ddq(s); s е R*, 1 < q < j < n,^ (т. е. группе, порожденной всеми указанными парными диагональными матрицами). Желая сохранять симметричность в описании, группу EMon (R) мы будем представлять в следующей порождающей системе d.к (s), s е R*, 1 < i < k < n; dq (с), с е (R*)/, 1 < q < n; ((ik)), 1 < i < k < n. (g)

Стандартные формы в EMon_n ( R )

Метод трансформации, который мы будем применять для этой цели (см. [2] и [3], [4]), использует стандартные (канонические) формы элементов изучаемой группы. В качестве таковых форм в EMonn (R) мы объявляем всевозможные комбинации алфавита (g) вида din (si )••• dn-i,n (sn—1)dn (s)((n -1,.n—1 ))...((2 *2))((1 *i)),                                     (sf)

где . означает номер, для которого k <*_к< n.

Введенные формы описывают элементы изучаемой группы следующим образом.

Теорема 1. Всякий элемент из EMon_n ( R ) представляется в стандартном виде (sf), причем такая запись единственна.

Доказательство. Единственность. Пусть какой-то элемент W из EMonn (R) представлен       в       виде       (sf).       Поскольку       здесь       отрезок w1 = d2n(^2)-dn-1,n(£n—i)dn(£)((n — 1,*n-1))...((2*2)) из (/)имеет клеточно-диагональный вид diag (1,*), (1,*) дает нам позицию ненулевого элемента первой строки матрицы W. Поэтому номер ∗ словом W определен однозначно. Рассматривая теперь вместо W его отрезок W1, мы аналогичным образом приходим к выводу об однозначности ∗ и ε и т. д. Описанный процесс на (n -1)-м шаге приведет нас к заключению об единственности аргумента £.

Что касается части существования теоремы, то она является прямым следствием следующей далее теоремы 3 (см. этап I). Поэтому проведение его здесь является излишним.

Набор определяющих соотношений

Напишем в алфавите (g) следующие (проверяемые напрямую) соотношения группы EMon_n ( R ):

• ^1.    d k^{( £} ) = d n^{( £} ) d n^{( £} Л £ ^{е R} *, к <  п;

• 2.    d i ( а ) = d_n ( а ) d_k ( а ) d_in ( а ), а е (R * ) / 1 <  i <  n ;

• 3.    ^d _m ^{( £ )} d in^{( а} ) = d in^{( £а} ) d n ^{([ £ - 1}, ^{а -1}D, ^{£ , а е R} * ;

• 4.    d_m( ^£ ) d kn ( а ) = d_k n ( а ) d_m ( £ ) d n ([ £^{- 1}, а ']), £ , а е R * , k * i ;

• 5.    d n ( £ ) d n ( а ) = d n £ ), £ , а е ( R * ) / ;

• 6.    d n ( £ ) d in ( а ) = d in ( а ) d n ( аа '), £ е ( R * ) / а е R * ;

• 7.    (( ik )) d in ( £ ) = d^ ( £ )(( ik )), £ е R * , k <  n;

• 8. ^{(( in} )) d in ^{( £} ) = d in^{( £} ^XC in )), ^{£ е R} * ;

• 9.    (( in )) d kn ( £ ) = d in ( £ ^{- 1}) d kn ( £ )(( in ), £ е R * , k * i ;

• 10.    ((ik )) d kn ( £ ) = d_m ( £ )((ik )), £ е R * ;

• 11.    ((ik )) d_jk ( £ ) = d_Jn ( £ )((ik )), £ е R * , k <  n , j * i , k ;

• 12.    (( ik )) d n ( £ ) = d n ( £ )(( ik )), £ е ( R * )', k <  n;

• 13.    ((in )) d n ( £ ) = d i ( £ )(( in )), £ е ( R * ) / ;

• 14.    (( ik ))(( ik )) = (( ii )) ( = e );

• 15.    (( ik )) = (( ki )), k * i ;

• 16.    (( ik ))((J )) = (( kj ))(( ik )), k * j ;

• 17.    ((ij ))(( kJ) = (( kJ))((ik )), i <  k <  j ;

• 18.    (( ik ))(( kj )) = (( kj ))(( ij )), i <  k <  j ;

• 19. ^{(( ik ))(( rj} )) = ^{(( rj ))(( rk} )), i <  ^r , ^k * r , ^j .

И здесь целью является доказательство полноты системы соотношений 1 - 19 для группы EMon_n ( R ). Этот вопрос решаем вновь используя метод трансформации букв [2-4].

Трансформационные преобразования

Этот параграф, как и в первой части, является базовым для наших дальнейших i рассуждений. На множестве всех слов алфавита (g) отношения __ , 1 < i < n , и здесь

i вводятся по правилу W →~ V тогда и только тогда, когда эти слова связаны соотношением

W=XV, где Х-какое-то слово, не содержащее транспозиционные буквы вида ((kq)), k < q, с i индексами k ≤ i . Очевидно, эти отношения →~ рефлексивны и транзитивны.

Имеет место следующее.

Теорема 2. (о трансформации букв). Пусть ^{(( ik} )) — какая-то транспозиционная матрица, ¹ <  i <  к <  n , и х означает либо некоторую букву ^{(( qr} )) с индексами ¹ <  ^q <  ^{r ,} либо же d „( £ ), £ e R *,        d_n ( a ), a e ( R *) / .

диагональные матрицы вида ^qn           или ⁿ              Тогда для них применяя

i

~ соотношения 3-19 можно выполнить преобразование V = ((lk))x  ^ ((j)), где j-некоторый

1 <  i номер, для которого ^{j n}

.

Доказательство состоит из следующего комбинаторного анализа.

• I.    х — диагональная буква.

Если здесь x = d_{q и}( £ ),  то применяя соотношения 7 - 11, мы будем иметь

i

V = (( ik )) d_{q и}( £ ) = dj _n( a )(( ik )) _~ (( ik )), где a , j - некоторые элементы из { £ , £ ~'} и { i , k , q } соответственно. Итак, в этом случае требуемое преобразование имеет место. Если же x = d_k ( a ), то мы используя соотношения 13 и 14, к требуемой форме приходим как

i

V = (( ik )) d_k ( a ) = dj ( a )((ik )) 2^ (( ik )), здесь j - некоторый элемент из { i , n }.

• II.    x = (( qr )), i <  q <  r .

i

В этом случае приводимость при V = ((ik ))(( qr )) 2~. (( ij )) при помощи соотношений 14 - 19 осуществляется как в пункте II из соответствующей теоремы 2 первой части. Эти повторяющиеся детали здесь мы опускаем.

Возьмем теперь в ( g ) диагональный подалфавит

( d )

d in ( £ ), £ e R *, 1 <  i <  n; d_n( a ), a e ( R *) / .

i ~

i ~

На множестве всех слов из (d) вводим отношения — ,1 < i < n, положив W — Vтогда и только тогда, когда эти слова связаны между собой соотношением W=VY, где слово Y не i содержит буквы вида dkп (£), x ^ 1, с индексами к < i. Эти отношения — также будут рефлексивными и транзитивными.

Для наших дальнейших рассуждений потребуется.

Доказательство. Не теряя общности заданное слово можно считать представленным в виде

i

( - )

W — Yd 1 n ( £ ).

Пусть в этой записи Y= Yiy, т. е. у-последняя буква слова Y. Если здесь у= dxn(a), то используя 3, мы будем иметь W = Y[d 1 n (a)d 1 n(£)] = Yd 1 n (d£)dn ([a-1,£ 1 ]) ^ Yi d 1 n (a).

Если же y = d_tп( а ), i >  1, то применяя 4, к требуемой записи приходим так

W = Y [ d i n ( а ) d i n ( s )] = Y i d i n ( s ) d in ( а ) d n № ¹, s ¹ ]) — Y 1 d 1 n ( s ) •

В случае же, когда у= d_n ( а ), мы используя соотношения 6, требуемую запись получаем

i как W = Y[ dn(а)din(£)] = Yidin(s)dn(a  ) — Y1 din (s).

Таким образом, все имеющиеся случаи привели нас к некоторой записи вида W ← Y 1 1

dxn(s) , где S e R*, т. е. мы добились сокращения длины слова Y в ( ^ ). Аналогичным образом удаляя из Y1=Y2 z букву z, будем иметь запись W^ Y2dxи(^)и т. д. Продолжая этот процесс сокращения до тех пор, пока не исчерпается все слово Y, приходим к записи вида W 1 ~ '

^{— d} i n ( ^T l ) .

Последнее по определению отношения <— означает, что W = d _{i n} ( t _i)V_i, где Y i -некоторое слово, не содержащее парные диагональные буквы вида d_пХx ), x A i. Аналогичным образом вытягивая из V 1 букву d _2и( т ₂) , мы приходим к разложению W = d, _п( т ) d _2п( т₂ V , где V 2 не содержит неединичные буквы вида d^ ( x ), k <  2, и т.д. Описанный процесс отщепления парных диагональных букв на ( n -1)-м шаге приводит нас к W = d _{i n} ( t _i)... d_{n - i} , _n( r _{n - i}) V_{n - i}. В последней записи слово V_n- 1 не содержит буква вида d_tп(x ), x A i, i <  n , т.е. оно состоит сплошь, из одинарных букв d_n ( а ) алфавита ( d). Поэтому оно применением соотношений 5 приводится к виду d_n ( т ) очевидным образом. Лемма доказана.

Задание группы EMon_n ( R )

Теперь у нас все готово, чтобы сформулировать основной результат работы.

Теорема 3. Элементарная мономиальная группа EMon_n ( R ) , n >  2, над ассоциативным кольцом R с i A 0, в порождающих (g) задается соотношениями 1 - 19.

Доказательство мы проводим в два этапа.

Этап I.

Здесь мы покажем, что любое слово W алфавита ( g ) используя соотношения 1 - 19 можно преобразовать к его стандартному виду S ( W ). Не теряя общности заданное слово можно считать представленным в виде

i

W 2> ((i z i )) W i , i <  i i ,

(здесь часть из W находящаяся до ((ii)) и не содержащая буквы ((I к)) с номерами k>1, отброшена). Применяя к слову W1 соотношения 1 и 2, его можно считать составленным только из букв вида d;n(s) и dn (а) из (g). Применение к слову ((ii )) W1 трансформационной теоремы 2 (т. е. соотношений 3-19), приводит заданное слово к виду W-^ ((i^)), *j > I, т. е. к представлению

W = Xi((i*i)), где Х1 (по определению ~») не содержит транспозиционные буквы вида ((1*)), *> 1.

Аналогичным образом вытягивая из Х i сомножителей ((2 *₂ )), *₂ >  2, будем иметь

W = X2((2 *2))((1*1)), где Х2 не содержит буквы вида ((k*)), * > k, к < 2, и т.д. Описанный процесс отщепления транспозиционныхбукв на (n-1)-м шаге приводит нас к записи

W = Xn-1((n -1,*n-1))...((1*1)), n-1

где сомножитель Х n- 1 (согласно определению → ) не содержит неединичные транспозиционные матрицы, т. е. состоит только из диагональных букв вида ( d ). А по доказанной выше лемме (т. е. соотношениями 3 - 6) слово Х n- 1 теперь уже можно преобразовать к виду, d_{l я}( т )... d_{n 1й}( Т -1) d_nТ )• Таким образом, слово W соотношениями 1 - 19 действительно        приведено        к        его        стандартному        виду

Этап II.

Пусть теперь W = e - произвольное соотношение группы EMon_n ( R ) в порождающих ( g ) ( W – слово указанного алфавита, записывающее единицу е ). Записывая левую часть (при помощи соотношений 1 - 19) в стандартном виде, приводим его к виду S ( W )= e . По теореме 1 запись в виде    S ( W ) единственна, поэтому последнее равенство влечет за собой

T = ... = T- 1 = т = 1 ^и *к= к при всех к = n - 1,...,1, т. е. равенство S ( W)=e возможно только при единичных буквах из S ( W ). А это уже означает выводимость заданного соотношения из соотношений 1 - 19. Теорема 3 доказана полностью.

Описания проективных факторов

Как и для самих групп G , представляют такой же интерес комбинаторные описания и их факторов G/H по некоторым нормальным подгруппам H . Один из таких вопросов составляют описания проективных факторов G/С групп G по их центрам С =cent G . Сказанное здесь в полной мере относится также к линейным группам. Проективные факторы некоторых линейных групп с помощи порождающих и соотношений изучались, например, в работах [5– 7].

Целью здесь является комбинаторное описание проективной факторгруппы PEMon_n ( R ) = EMon_n ( R ) / C , где С =cent EMon_n ( R ) (относительно алфавита ( g )). Начнем эту задачу (как и в первой части) с вычисления центра С . При R *| = 1 EMon_n ( R ) очевидным образом превращается в симметрическую группу S n . Проективный же фактор последней группы мы подробно разобрали в первой части работы. Поэтому всюду далее будем считать R *| >  1.

Прежде чем начать вычисление центра, вводим к рассмотрению одну вспомогательную группу. Пусть nJ(R*У = {x е R* : xn e (R*)/} (т. е. «корень n-й степени из (R*)/ »). Нетрудно проверить, что пересечение   Gn (R) = centR *n nJ(R*)/ образует в R* коммутативную подгруппу. Ее мы назовем n-й корневой группой кольца R.

Приступаем теперь к вычислению центра. Пусть сначала n > 3 и a = (ak) -некоторая недиагональная матрица, содержащаяся в С с недиагональной позицией aik Ф 0 (i Ф k). Тогда мы для матрицы dt](s), s е R * \{1}, j Ф k, имели бы d^(s) a = ad уXs) ^ saik = aik ^ s = 1-Полученное противоречие (с выбором ε ) показывает, что центр С в рассматриваемом случае будет состоять только из диагональных матриц d = diag(sx,—,S)- Теперь импликации ((1 k))d = d ((1 k)) ^ s = S, 1 < k - n, показывают, что матрица d должна быть еще и скалярной d = d(s) = diag(s,...,s). Далее поскольку dxn(o)d(s) = d(s)dxn(o)^os = so для любого а е R*, аргумент s из d (s) должен принадлежать центру cent R ’. Мы имеем и импликацию

Она показывает, что аргумент s обязан попасть еще и в группу G_n ( R ). Теперь же то, что всякая матрица d (s ) с аргументом s е G_n ( R ) принадлежит центру С , очевидно. Таким образом, при n >  3 мы для центра получили С = { d ( x ): x е G_n (R )}. Здесь проективный фактор может быть описан следующим образом.

Теорема 4. Проективная элементарная мономиальная группа PEMon_n ( R ), n >  3, над ассоциативным кольцом R с 1 Ф 0 и R *|> 1, в порождающих (g) задается соотношениями 1 - 19 и еще следующими центрально-скалярными соотношениями d j „( s )... d_n_ _ln( s ) d_n (sⁿ ) = e , где s пробегает корневую группу G_n ( R ).

Случай, когда n =2, является патологическим (и здесь R *| >  1). Пусть на какое-то время a = ( a_{t Л}) означает недиагональную матрицу из центра

С =cent EMon₂ ( R ). Если здесь |( R * ) /| >  1, то для элемента x е ( R * ) / \{1} импликации d ₂ ( x ) a = ad₂ ( x ) ^ x ^{- 1} a_{2 x}= a₂ j^ x = 1 (т. е. противоречие с выбором х ) показывают на отсутствие в центре C недиагональных матриц. Если же |( R * ) /| = 1 (т. е. когда R* - коммутативна), но в R * найдется не идемпотентный элемент х , x ² Ф 1, то здесь мы имеем d ₂( x ) a = ad_{x 2}( x ) ^ xa ₁₂ = a₁₂x ¹ ^ xa ₁₂ = x⁴a ₁₂ ^ x ² = 1. Полученное противоречие показывает отсутствие недиагональной матрицы в центре С и в этом случае.

Пусть теперь в разобранных случаях d = diag ( x , y ) означает какую-то матрицу из С . Импликация d ₂( s ) d = dd_{1 2}( s ) ^ s x = x s (при любом s е R *) показывает, что и здесь должно быть x е centR * . Импликация же ((12)) d = d ((12)) ^ x = у дает нам, что рассматриваемая матрица должна иметь еще скалярный вид d = d ( x ) = diag ( x , x ), x е centR * . Теперь принадлежность d ( x ) = d^ ₂( x ) d₂ ( x ²) е EMon₂ ( R ) (как и выше) влечет за собой включение x ² е ( R *) / , т. е. x е G₂ ( R ). И здесь матрица d ( x ) с аргументом x е G ₂ ( R ) входит в центр С очевидным образом. Таким образом, и здесь мы имеем С = { d ( x ): x е G₂ ( R )}.

При n=2 в приведенном выше списке 1-19 все соотношения, за исключением 2,3,5,6,13-15, являются неадекватными (т. е. они не укладываются). Поэтому опуская их из определяющего набора 1-19 и присоединяя к остальным соотношения, полученные приравниванием к (единичной) матрице е всех порождающих центра C слов алфавита d 12(^), s e R*; dq(a), a e (R*)/, 1 < q < 2; ((12)), (g2)

мы здесь сможем сформулировать следующий результат.

Теорема 5. Проективная элементарная мономиальная группа PEMon₂ ( R ) над ассоциативным кольцом R с 1 ^ 0, которое еще либо некоммутативно, либо же коммутативно, но в R ^∗ существует не идемпотентным элемент, в порождающих (g 2 ) задается соотношениями 2, 3, 5, 6, 13 - 15 и еще следующими центрально-скалярными соотношениями d ₂( ^ ) d ₂ ( s ²) = e , где s пробегает корневую группу G ₂( R ).

Как хорошо стало видно, единственным неразобранным в наших рассмотрениях остался случай, когда n =2, основное кольцо R коммутативно и группа R ^∗ состоит только из идемпотентов. Очевидно здесь d ₂( s ) = d ( s ) для любого s e R* и EMon₂ ( R ) = dd ( s ), ((12))} как группа, порожденная указанными коммутирующими между собой элементами, сама будет коммутативной. Присоединение же к тривиальным соотношениям 2, 3, 5, 6 и 13 - 15 порождающих центральных соотношений дает нам здесь следующее описание.

Теорема 6. Проективная элементарная мономиальная группа PEMon₂ ( R ) над ассоциативно-коммутативным кольцом R с 1 ^ 0, где еще все элементы из R * идемпотентны, в порождающих d ( s ), s e R *; ((12)) задается соотношениями d ( s ) = e и ((12)) = e .