Порождение группы G2(Z+iZ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны
Автор: Казакова А.В., Нужин Я.Н.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.27, 2025 года.
Бесплатный доступ
В 2002 г. второй автор данной статьи записал в Коуровской тетради следующую задачу (вопрос 15.67). А) Какие присоединенные группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны? К настоящему времени эта задача решена только для групп Шевалле типа An (случай PSLn+1), En и G2. Конечно, задачу А) можно рассматривать и для других однопорожденных колец, и не только для присоединенных групп Шевалле. Так, аналог задачи А) решен для групп PSLn(Z+iZ) и SLn(Z+iZ) над кольцом целых гауссовых чисел Z+iZ, причем для некоторых малых размерностей n≤6 ответ оказался отрицательный. В данной статье доказывается, что группа Шевалле G2(Z+iZ) над кольцом целых гауссовых чисел порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны. В качестве следствия получается, что для нее минимальное число порождающих инволюций, произведение которых равно 1, совпадает с 5.
Группа Шевалле, кольцо целых гауссовых чисел, порождающие тройки инволюций
Короткий адрес: https://sciup.org/143184864
IDR: 143184864 | УДК: 512.54, 512.55 | DOI: 10.46698/d7840-8893-1360-c
Generation of the Group G2(Z + iZ) by Three Involutions, Two of Which Commute
In 2002, the second author of this paper wrote down the following problem in the Kourovka notebook (question 15.67). A) What adjoint Chevalley groups (of normal type) over the ring of integers are generated by three involutions, two of which commute? This problem solved only for the Chevalley groups of type An (the case PSLn+1), En, and G2. Of course, problem A) can be consider for other one-generated rings, and not only for the adjoint Chevalley groups. The analogue of problem A) is solved for the groups PSLn(Z+ iZ) and SLn(Z+ iZ) over the ring of the Gaussian integers Z+ iZ, and for some small dimensions n 6 6 the answer is negative. In this article we prove that the Chevalley group G2(Z+iZ) over the ring of the Gaussian integers is generated by three involutions, two of which commute. As a consequence, the minimal number of generating involutions, whose product is equal to 1, coincides with 5.
