Построение и исследование полуполевых плоскостей порядка 256

The authors extend the approach to construct and classify semifield projetive planes using linear space and spread set. They show that 124 semifield (nodesarguesian) planes of rank 2 over the field of order 16, that admit baer involution in linear translation complement, do exist. Non-linear isomorphisms of semifield planes of order 256 are constructed; the order of linear autotopisms’ group is calculated; another confirmation of the well-known hypothesis about the solvability of the group of collineations of semifield planes is obtained.

m

e

С

реди проективных плоскостей особое место занимает класс плоскостей транс-

ляций и подкласс полуполевых плоскостей, имеющих не только трансляционную прямую, но и трансляционную точку. Полуполевые плоскости, занимающие промежуточную ступень между плоскостями трансляций и классическими, де-зарговыми проективными плоскостями, обладают большой группой коллинеаций, строение которой изучено еще недостаточно хорошо, описано полностью лишь в некоторых частных случаях.

Существует гипотеза [Hughes, Piper, 1973] о разрешимости полной группы коллинеаций произвольной полуполевой (недезарговой) плоскости. В настоящее время эта гипотеза подтверждена для некоторых полуполевых плоскостей, и нет примеров, ее опровергающих.

Авторы решают вопрос о разрешимости полной группы коллинеаций полуполевой плоскости порядка 256 с ядром, содержащим поле порядка 16. Кроме того, изложенные результаты связаны с проблемой перечисления и классификации полуполевых плоскостей.

В статье уточняются результаты работы [Подуфалов и др., 1993], опубликованной в 1993 году. Получение новых результатов стало возможно главным образом благодаря существенному совершенствованию вычислительной техники за прошедшие годы.

Построение полуполевых плоскостей порядка 256

В 1989 году Н.Л. Джонсоном и другими [Bilioti etal., 1989] построено матричное представление регулярного множества полуполевой плоскости порядка q ² над полем четного порядка q , допускающей бэровскую инволюцию в линейном трансляционном дополнении (коллинеацию, которая стабилизирует подплоскость порядка q ).

Теорема 1. Пусть π – полуполевая плоскость порядка q ² , q = 2 k , с левым ядром, содержащим GF ( q ) , которая допускает бэровскую инволюцию т в линейном трансляционном дополнении. Тогда регулярное множество π состоит из матриц вида

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 10-01-00509-а, и гранта Минобрнауки, тема 1.34.11.

о о и и и m

о о

s

s и

w

к

S к

к

m к и

о s

о

к

ВЕСТНИК

9 (v,u) = 7u+v + m (v) f (v) + m (u )^ ,v,u e GF (q), к v

u 7

где m ( x ) , f ( x ) - аддитивные функции, f взаимно однозначна, m (1) =0 . Бэровская инволюция т задается матрицей

( 110 0 )

	0	1	0	0
τ=
	0	0	1	1
	1 0	0	0	1 7

„ни П= ^"^ ” ⁽ x ⁾ и f ⁽ x ⁾ ”^НЫ, то они имеют вид:

2 ,           4 , .              2 k ^{- 1}

m ( x ) = m₀x + m 1 x + m₂x + ... + m k _- 1 x ,

2_+f,4₊        ,2 k " '

f (x) f0x+f1x + J2x + ••• + fk- 1x , m„f, e GF (q ),i = 0,1.....k -1.

В 1990 году Х. Хуангом и Н.Л. Джонсоном [Huang, Johnson, 1990] были построены первые примеры недезарговых полуполевых плоскостей описанного вида.

в классы попарно изоморфных при помощи изоморфизма ( x, y ) ^ ( x^a, y ), где a - автоморфизм основного поля GF (16), действующий на каждую компоненту вектора.

В 1993 году авторы статьи [Подуфалов и др., 1993], пользуясь тем же методом, построили 480 полуполевых плоскостей порядка 16², допускающих линейную бэровскую инволюцию. Выбор базиса позволил свести перебор значений коэффициентов m, f. е GF (16) к 33 случаям. Проверка условия det 9 ( v, и ) = 0 для всех ненулевых матриц потребовала вычислений в течение 500 часов. Применение автоморфизма поля GF (16) x^a = x² сократило список построенных плоскостей до 285.

В 2012 году полуполевые плоскости порядка 256 вновь оказались в поле нашего зрения при решении более общей задачи. Для уточнения некоторых параметров вновь были произведены все расчеты, необходимые при построении регулярного множества. Для сокращения времени написания программы рассматривалось всего лишь одно из условий на коэффициенты, сокращающее перебор.

Лемма 3. Пусть π – полуполевая плоскость

Таблица 1

Плоскость №	m 0	m ,	m 2	m 3	f ,	f.	f 2	f 3
1		0		0	0	0		0
2	а 4	0	а 4	0	0	0		0
...	...	...	...	...	...	...	...	...
	а 10	0	1	α	— а 3	а 14	а 14	а 4

Теорема 2. Существует ровно 7 попарно неизоморфных полуполевых (недезарговых) плоскостей порядка 8² с ядром порядка 8, допускающих бэровскую инволюцию в линейном трансляционном дополнении.

Такие плоскости были построены с использованием вычислительной техники путем перебора всех возможных значений коэффициентов функций m ( x ) и f ( x ) в поле GF (8). Эти коэффициенты выбирались так, чтобы все матрицы 9 ( v, и ), кроме нулевой, были невырожденные. Для каждой из отобранных таким образом строк коэффициентов существует полуполевая плоскость, удовлетворяющая поставленным требованиям.

Построенные плоскости были объединены ранга 2 над полем GF(16), допускающая линейную бэровскую инволюцию вида (1). Тогда коэффициент f 0 функции f (x) либо равен нулю, либо можно считать, чтоf,= «3

Здесь а - корень многочлена x⁴ +x+1 , неприводимого над GF (2) (порождающий элемент мультипликативной группы поля GF (16)).

В результате компьютерных вычислений, которые заняли около одной минуты, был получен список из 755 наборов коэффициентов функций m ( x ) и f ( x ), т. е. построены 755 полуполевых плоскостей. Укажем значения коэффициентов для некоторых из построенных плоскостей (здесь и далее нумерация плоскостей соответствует лексикографическому порядку коэффициентов).

Изоморфизмы полуполевых плоскостей порядка 256

m(x) = m0x + m1x2 +m2x4 +m3x8, f(x) = f0x + f1x2 + f2x4 + f3x8, m'(x) = m'0x + m'1x2 +m'2x4 +m'3x8, f(x) =f0x + f1x2 +f2x4 +f3x8

Новые результаты об изоморфизмах [Кравцова, Куршакова, 2006] полуполевых плоскостей позволили значительно сократить полученный список. Кроме изоморфизмов, заданных линейными отображениями и автоморфизмом поля σ , мы рассмотрели изоморфизмы, заданные полулинейными отображениями:

соответственно. Плоскости π и π , изоморфны тогда и только тогда, когда существуют такие c, d gFF (16) и такое t = 1,2,4 или 8, что выполнены условия:

m'1

= m‘ 1 c - 1 , f₀ = f ' +d+d²,

( x,y ) ¹ = ( x " ,

y - ) r A 0 )

1 0 D J .

m'2

m'3

m 2 c ³

7 m₃^tc ⁷

Пусть π и π , – две полуполевые плоскости с регулярными множествами R и R , соответственно, построенные на основе одного линейного пространства V . Изоморфизм сохраняет отношение инцидентности, поэтому для любого вектора x и любой матрицы из регулярного множества θ R образ точки ⁽ х, х9 ) лежит на прямой, проходящей через (0,0) в π ,, тогда найдутся такие y и θ , R ,, что

, f'= ( m i ( d+d² ) +f i' У^{- 1} , , f, = ( m 2 (d + d⁴ ) +f 2 ) c ^- 3 , f₃ = ( m 3 ( d+d⁸ ) +f 3 ) c - 7.

( x,x9 ) ^( x ° ,x ° 9 °

( x ° A,x ° 9 ° D ) = ( y.yefy

Таким образом, y = x^σA и yθ , = x^σ Aθ , = xθ^σD для любого x . Отсюда следует, что если π π ,, то существуют такие невырожденные матрицы A и D , что для всех матриц θ R произведение A^–1 _σ

θ D является матрицей из регулярного множества R ,. Здесь θ^σ – матрица регулярного множества R , на каждый элемент которой действует автоморфизм σ поля GF (16), x^σ = x^2t (возведение в степень 1,2,4 или 8).

Кроме того, поскольку все построенные плоскости допускают бэровскую инволюцию (1), то матрицы A и D коммутируют с матрицей

Компьютерные расчеты позволили показать, что 755 построенных полуполевых плоскостей относятся к 125 различным классам попарно изоморфных плоскостей. Одна из этих плоскостей (№ 463) дезаргова. Остальные классы содержат от 1 до 120 плоскостей.

Теорема 5. Существуют ровно 124 неизоморфные полуполевые плоскости ранга 2 над полем GF (16) , допускающие бэровскую инволюцию в линейном трансляционном дополнении.

Группа линейных автотопизмов

m

Г1

¹ ) ,

V 0

1 J , поэтому

A

a

ab ²

V 0 a )

,D=

Г С

V 0

cd ^

c 7

,a,b,c,d е GF ( 16 ) ,

причем достаточно рассматривать a = 1. Умножая матрицы и сравнивая коэффициенты функций, формулируем результат.

Теорема 4. Пусть п и п ^, - полуполевые плоскости ранга 2 над GF (16) , описанные Теоремой 1 и заданные функциями

Компьютерные вычисления позволяют найти для каждой из построенных плоскостей матрицы, образующие правое и среднее ядра. Левое ядро для недезарговых плоскостей образовано всеми скалярными матрицами, для дезарговой – совпадает с регулярным множеством. Результаты вычислений для недезарговых плоскостей следующие: плоскость № 1 имеет правое и среднее ядра порядка 16, плоскости № 2, 465, 33, 43 – порядка 4, для остальных плоскостей, по крайней мере, одно из ядер имеет порядок 2.

Отметим, что плоскость № 1 имеет правое ядро порядка 16. Это означает, что дуальная к ней полуполевая плоскость также имеет ранг 2 над полем GF (16). Так как группы автотопизмов дуальных плоскостей изоморфны, то дуальная плоскость также допускает бэровскую инволюцию, поэтому содержится в найденном перечне. В силу уникальности плоскости № 1 получаем результат.

о u о к и и m

о о и s

s

w

S к

к

m к и

о s

о

c

ВЕСТНИК

Теорема 6. Полуполевая плоскость № 1 изоморфна своей дуальной плоскости.

Найдем централизатор бэровской инволюции т в группе линейных автотопизмов A ₀ . Его строение можно описать для каждой полуполевой плоскости, удовлетворяющей условиям теоремы 1, для поля GF ( q ) произвольного четного порядка.

Теорема 7. Пусть п - полуполевая (недезар-гова) плоскость ранга 2 над GF ( q ) , допускающая бэровскую инволюцию т в линейном трансляционном дополнении. Тогда С Л ( т ) = HH rd (т ^ где H_l – подгруппа ((0,0),[ ])-гомологий, H_rd – подгруппа ((    ),[0,0])-гомологий,

Теорема 8. Полная группа коллинеаций полуполевой плоскости порядка 16² с ядром порядка 16 разрешима.

Обобщим изложенные результаты:

• 1)    существует ровно 124 полуполевые (неде-зарговых) плоскости порядка 256 с ядром порядка 16, допускающие бэровскую инволюцию в линейном трансляционном дополнении;

• 2)    одна из плоскостей такого вида изоморфна своей дуальной плоскости;

• 3)    все бэровские инволюции в группе линейных автотопизмов сопряжены;

• 4)    полная группа коллинеаций разрешима.

  H l =

  
  

  laE е R i

  
  

  R l ,

  
  

  rd

  
  

  ' E 0 ^ . 0 bE )

  
  

  lbE е R r n R l

  
  

  R r n R l .

  
  

Таблица 2

Плоскость №	Лп τ 0	IЛ ol
1	25 —	2 . 53 . 32
465	17	2 . 5 . 32. 17
co 68	15	2 . 52 . 32
33, 43	9	2 . 5 . 33
110	5	2 . 52 . 3
46, 47, 102, 106, 111, 143, 163, 166, 272	3	2 . 5 . 32
Остальные	1	2 . 5 . 3

Если m₁ = m₃ = f₁ = f₃ = 0 (плоскости 1, 2, 465), то , в остальных случаях .

В результате компьютерных вычислений были получены бэровские инволюции в Л ₀ для каждой плоскости, причем показано, что все такие инволюции сопряжены и количество инволюций в Л ₀ нечетно. Порядок группы линейных автотопизмов, таким образом, равен | Л 0 | = | с_Л0 ( т ) | ■ | т^Л ° | . Результаты представлены в табл. 2.

Зная порядок группы линейных автотопиз-мов, по теореме Бернсайда заключаем, что группа разрешима, из чего следует разрешимость полной группы коллинеаций Aut π для всех построенных недезарговых плоскостей. Если же полуполевая плоскость не допускает бэровской инволюции в Л ₀, то порядок Л ₀ нечетный, поэтому Aut п также разрешима.