Построение индекса благосостояния некоторых регионов РФ

Введение. В процессе деятельности различных субъектов, предприятий, организаций, возникает задача оценить деятельность, и попытаться сделать выводы о «успешности» или «уровне развития» выбранного объекта. И, как показывает практика, большой объем учитываемых критериев и их многообразие приводит к необходимости построения сводной оценки, которая, с учетом значимости отдельных характеристик, позволяет построить обобщенный показатель качества, отражающий состояние определенного объекта.

В данной работе производится попытка построения индекса благосостояния некоторых регионов РФ. Для описания регионов используются различные показатели. В качестве таких индикаторов рассматриваются: 1) среднедушевые доходы населения; 2) добыча полезных ископаемых; 3) обрабатывающие производства; 4) производство и распределение электроэнергии, газа и воды; 5) продукция сельского хозяйства; 6) затраты на технологические инновации. Все показатели берутся в рублях в год на душу населения [1]. Задача заключается в построении агрегированных индексов «качества» с помощью метода Томсона на основе этих данных. После решения этой задачи рассматриваемые регионы сравниваются по найденному индексу.

Метод оценки Томсона. Идея применения факторного анализа для определения весовых коэффициентов аддитивной функции полезности основана на том, чтобы рассматривать функцию полезности как некий обобщенный фактор. В этом случае, частными показателями являются частные функции полезности.

Итак, запишем основное предположение факторного анализадля одного фактора:

X i = l i f + e_t                                                              (1)

где X t - частный показатель; f - обобщенный показатель; Ц - вес обобщенного показателя f на частный показатель X t ; e t - остаток, определяющий ту часть показателя X t , изменение которой вызвано действием случайной величины.

Фактор f в данном случае является генеральным, т.е. имеет нагрузки всех переменных, опираясь на [2].

Для того чтобы n параметров выражались через один генеральный и n характерных факторов необходимо и достаточно, чтобы все тетрады равнялись нулю:

2jk2lm   2lm2jm   0, j,k,l,m = l.,Ti,j tktltm.

где Y j _k - коэффициент корреляции между показателями X t и X j .

Получим условия, которым должны удовлетворять исходные данные для того, чтобы их можно было описать одним обобщенным фактором.

£ 1^23 ₌ ^ 12 ^ 14

Г23      Г24

Т 12 Г 1П ₌ Г 13 Г 14

Т 2п      2 34

ПзПн        Г1,П-1Г1П

23п

2n-1,n

Учтём, что возможна такая ситуация, что наши условия не выполнены или что несколько переменных невозможно будет описать одним общим фактором. В таком случае можно разбить данные на кластеры и добиться выполнения данных условий внутри них [3].

Вернемся к (1) и определим значения нагрузок - l_i . Они дают основные оценки для численных значений обобщенного показателя .

,2    ^ y^rij^rik

I f = -=--------, I = const; j,k ^ I.

L j< _k =i^rjk

В данном выражении знаменатель есть сумма всех элементов корреляционной матрицы, за исключением коэффициентов корреляции рассматриваемого параметра i, а числитель - сумма парных произведений коэффициентов корреляции параметра i с каждым из остальных параметров.

Значения обобщенного показателя можно найти, используя регрессионный метод, предложенный Томпсоном. Суть этого метода заключается в том, что коэффициенты a_i модели

/ = a 1 x 1 + a₂x₂ + —+ a_nx_n                          (2)

оценки значения f , определяются из следующей системы уравнений:

al + a 2 r12 + ... + anrl n = li, al r2i + a 2 + ... + anr2 n = 12, ar. + ar. + ... + a„r„ = L • l n l      2 n 2             n nn     n

Имея в виду решение системы, рассматривается матрица:

1     l 1             l

n

r_{n 1}

состоящая из матрицы R коэффициентов корреляции и окаймляющих ее коэффициентов корреляции параметра с фактором (обобщенный показатель). Тогда неизвестные используя [4] можно определить так:

aj H^ll ’   (j 1, n), где константа в знаменателе есть определитель матрицы коэффициентов

A

корреляции, a и j n - алгебраическое дополнение элемента L j матрицы ^A .

Согласно [5] подставим полученные коэффициенты в (2) и получим искомый индекс.

Применение метода Томсона для оценки уровня благосостояния регионов. Для расчетов используется информация о некоторых регионах РФ, обозначим их как (^1, ^2, ^3, ^4, ^5, ^б), Х1  - среднедушевые доходы населения; Х2 - добыча полезных ископаемых; Х3 - обрабатывающие производства; Х4 - производство и распределение электроэнергии, газа и воды; Х5 - продукция сельского хозяйства; Хб - затраты на технологические инновации, за период с 2011 по 2016 гг. Выборка, использованная для расчетов, состоит из 6 субъектов (Московская область, Ленинградская область, Краснодарский край, Свердловская область и Пермский край) и 6 факторов. По этой выборке и была составлена исходная таблица данных.

Проверим выполнение критерия тетрад Спирмена:

г 12г 13 г 23	^ 12 ^ 14 г24	Т 12 Г 15 г25	Г 12 Т 16 г26	Г 13 Г 14 Г3 4
0,12553	-0,2686	1,6498	-0,0499	0,19509

г13г15 г35	Г 13 Г 16 г36	Т 14 Т 15 г35	г 14г 16 ^ 46	^ 15 ^ 16 ^ 56
-1,7512	-0,81	-1,063	-0,777	0,3905

Видно, что ни на одной из общностей критерий тетрад не выполнен.

Попробуем решить проблему путем разбиения данных на 2 кластера, по средствам пакета программы STATISTICA 7.0, с помощью метода k-средних.

В составе 1 -го кластера: производство и распределение электроэнергии, газа и воды на душу населения, продукция сельского хозяйства на душунаселения, затраты на технологические инновации на душу населения.

В составе 2-го кластера: среднедушевые доходы населения, обрабатывающие производства на душу населения, добыча полезных ископаемых на душу населения.

Критерий Спирмена нам проверять не придется, потому что мы разбили 6 наших факторов на 2 кластера по 3. Напомним, что из критерия третрад Спирмена известно, что 3 показателя можно описать одним генеральным фактором, а для 4 и более показателей необходимо выполнение определенных условий.

Теперь для каждого запишем равенство / = 0 1 x 1 + 0 2 x 2 + —+ a_nx_n с полученными коэффициентами: / 1 = 0,201857x 4 + 0,728827x₅ + 0,672163x 6 ,

/2 = 0,110478x1 + 0,102484x3 + 0,050347x2.

Представим полученные результаты на рисунке:

Обобщенные показатели 1го кластера

Обобщенные показатели 2го кластера

0	2011            2012            2013            2014            2015            2016 Московская обл    ^^^^^Ленинградская обл ^^^^^в Краснодарский край ^^^^^ Респ.Татарстан     ^^^^^еСвердловская обл  ^^^^^вПермский край

Рис.1 – Обобщенные показатели 1го кластера за 2011-2016гг.

2011           2012           2013           2014           2015           2016

г    Московская обл    ^^^^^Ленинградская обл ^^^^^в Краснодарский край

Респ.Татарстан     ^^^^^™ Свердловская обл ^^^^^вПермский край

Рис.2 – Обобщенные показатели 2го кластера за 2011-2016гг.

Анализируя графики, можно придти к выводу о том, что Республика Татарстан является лидером по уровню благополучия, относительно других регионов. Если обратиться к сводке об основных экономических показателях, то данные выводы подтверждаются.

Заключение

В статье изложен подход совместного использования кластерного анализа и метода Томсона для определения группы показателей, наиболее полно характеризующих уровень благосостояния субъекта. Первое позволяет нам группировать определенное количество предполагаемых факторов, для соблюдения выполнения условий, второе определить их. Также из исследования видно с какой силой каждая из характеристик влияет на общий фактор. Основной результат заключается в построении кластеров, внутри которых оцениваются состояние выбранных регионов. Это позволяет провести сравнение, в результате которого выяснилось, что наиболее развитым и перспективным регионом является Республика Татарстан.