Построение метода упругой миграции сейсмических данных в приближении Борна

инверсия. Результатом процесса инверсии является пространственное распределение параметров среды, тогда как миграция позволяет лишь установить положения отражающих горизонтов (и, возможно, точечных отражателей – трещин, включений). Таким образом, геометрия месторождения углеводородов может быть успешно определена.

Работы [1, 2] можно отнести к одним из первых, посвящённых миграции и построению сейсмических изображений и положивших начало бурному развитию данной области. В дальнейшем в работах [3, 4] был предложен подход, названный Kirchhoff Summation Approach, в работе [5] - представлена k-f миграция. В работе [6] проблема построения миграционного изображения сопоставлена с пространственной деконволюцией в области пространственных частот.

В последнее время предпринимаются значительные усилия для повышения точности миграционных изображений для сложных геологических сред (например, в условиях соляных куполов [7]). И определённые надежды возлагаются на использование полноволновых подходов к упругой миграции.

В настоящей работе была предложена процедура, позволяющая построить миграционные изображения для упругой среды. Её вывод следует общему подходу, ранее использованному в акустическом случае. Полученный метод упругой миграции основан на приближении Борна и предположении о том, что фоновая модель среды является однородной. Для проверки работоспособности данного подхода были рассчитаны синтетические сейсмограммы, а затем построены миграционные изображения для модели, содержащей структурные границы, схожие с границами модели Marmousi.

• 2.    Математическая постановка задачи миграции

• 3.    Оператор миграции в приближении Борна для упругих слабонеоднородных сред

  • 3.1.    Слабонеоднородное пространство

Прямая задача сейсморазведки может быть представлена в виде d = Lm, где d – наблюдаемые на сейсмоприемниках данные, m – параметры среды, L – оператор прямого моделирования. Миграционное изображение среды задается выражением [8]

mmigr — L d, где присоединенный оператор L* определяется из уравнения

( d , Lm ) — ( L * d , m ), V m , d .

Здесь круглыми скобками обозначено скалярное произведение в соответствующем пространстве данных или параметров модели.

Пусть движение среды задается уравнением Ламе в следующем виде [9]:

d 2 u      1_    . о_

Ли —  ₉ — —F , Л — c_y W • —c_s V x V x .

ot ²       p            ^p

Разложим параметры среды в некоторой области V на фоновые (background) и добавочные (А) составляющие, а поле на первичное (initial) и вторичное (secondary) и условимся обозначать нижним греческим индексом потенциальные (potential) и соленоидальные (solenoidal) компоненты полей, подразумевая, что полная величина поля (без индекса) есть их сумма1 :

^c a = c^ b + А_С 2 , Ac ² \ _r/V = 0, ^л = ^л + Д ^Л , u = u ^- + u ^s , Л ь и ^- - У" = —¹ F ,           Ли -      = - А Л ( u ^- + u ^s ) .

ot ² p                            at²                    '

Для краткости введем медленность среды s = с ¹ и операторы D _р = W- и D _s = —V xVx . Если обозначить

t ga = {x (t‘— t — s«,b |r'— r|) — x (t— t)} 4,T r r, где I - единичный тензор и x(t) = max(0, t), то тензор Грина для полученных уравнений в случае постоянных фоновых скоростей звука са,ь = const примет вид [9]

G^ (r7,t‘|r,t) = Daga = Daga, а первичное и вторичное поля будут задаваться выражениями р   р+^ 1             т ua (rV) =У^ ]    P(r)F (r,t) • Ga (r7,t‘|r,t) dtdV,

u

s a

(r⁷ ,t

⁷ ) - L L

{А Л ( r ) [ u ^- ( r ,t)

+ u ^s ( r , t)]} • G ^ ( r ⁷ , t ⁷ | r , t) dtdV.

В приближении Борна пренебрежем u ^s в правой части последнего выражения, и оператор прямого моделирования примет вид

u

s,B a

+ ∞

( r ^{7 ,t} ‘ ) =JvJ    { ^Дс р ^(r)

V 2u p ( r , t) + Ac 2 ( r ) V 2u S ( r , t)} • G ^ ( r ⁷ , t ⁷ | r , t) dtdV,

где учтены свойства потенциальных и соленоидальных полей D _a u a = V 2u a .

Введем гильбертово пространство данных волнового поля, заданных на множестве точек V' в моменты времени Т , со скалярным произведением

(di • d2) = j j di (r7, t) • d2 (r7, t) dtdV7, и гильбертово пространство моделей, заданных в объеме V, со скалярным произведением

⁽ mi • m2 ) = [ [ ^Дс р, і ^{(r) Дс} р, 2 ^{(r) + Дс} 2 , 1 ^{(r) Дс} 2 , 2 ^(r) ] ^dV , m - = ( ^Дс р,- , ^Ac 2 ,- ) T .

J V

Оператор миграции, сопряженный к оператору прямого моделирования, задается выражением

Ac a, _migr ( r ) = У j j     { V ² u a ( r , t)} • ^L ( r ⁷ , t ⁷ 1 r , t) • d ( r ⁷ , t ⁷ ) dtdt ⁷ dV ⁷ .

• 3.2.    Точечный источник с постоянной поляризацией

Пусть поле возбуждается точечным источником с постоянной поляризацией:

F ( r , t) = 5 ( r — ro ) F(t) f = 5 ( r — ro ) / ⁷⁷ (t) f .

Например, для импульса Рикера

„-^ 2 f 2, t ²

F(t) = (1 — 27 2 f_M t ² ) e- 2 ^f ^ ^{t 2} , /(t) = — ^- 2^ .                 (2)

² J m ⁷

Заметим, что имеет место соотношение

ˆ + ∞

∞

X (‘' ^- t) ^f "^{( t ) dt} =

+ ∞

/    ^f" ( ^{t - - t} ) ^t d ^t = [ ^f ( ^{t - - t} ) + ^{f -} ( ^{t - - t} ) ^t ] | ° =+ ^

0                                        +∞ которое для «хороших» импульсов упрощается до f (t-), а для постоянного вектора f и произвольной функции координат д (r) справедливо f • [Da (д (r) I)] = [Da (д (r) I)] • f = Da (д (r) f) .

С учетом последнего, в соответствии с первой из формул (1), первичное поле задается выражениями f (t - S“’b r - r|) - f (t)

^f a ^(r,t) = ------ д ----. , --------1------ ^f . u a ^(r,t) = D a ^f a ^(r . ^t) -                  ⁽³⁾

4тгр ( ro ) | ro - r |

Используя равенства

{f (t) - f (t - S a,b | ro - r | ) } V 2   ¹ 1 = 0,

| r0 - r |

_V 2 ^{f (t - S} a,b ^|r 0 ^{- r|) - f (t)} = ^{F ( t - S} a,b | ro ^{- r|)}

|ro - r|                       ca,b |ro - r|      , можно упростить комбинации V2Up. V2Ug, входящие в выражения для операторов прямой и обратной задач:

v2 j / ,х -A F (t - Sa,b |ro - r|) f _ 1 Ao F (t - Sa,b |ro - r|) f ua (r, ) a 4rca,bP (ro) |ro - r|     p (ro) a    4rca,b |ro - r|    -

Аналогично выводу формулы (3), получим

+ ∞ ∞

V 2u ^

^(r,t) * a (^rV^|r,t) ^dt =

¹ A' A o ^{f (t}' ^{- S} 3,b ^|r o ^{- r| - S} a,b ^|r ‘ ^{- r|)} _f P ( ro )   ^a ^      Ібг²^ | ro - r | | r ‘ - r |

С учетом этого, выражение для оператора прямого моделирования примет вид

u :^,B ( ^r ' , Л = E p^ r o)⁶ aD° j_v A ^{c 2 (r)}

^{f (t} ‘ ^{- S} ^,b ^|r o ^{- r| - S} a,b ^|r ‘ ^- : rD _f ту 167 Г ² с |;,_ь | ro - r | | r ‘ - r |              ,

а выражение для миграционного оператора – вид

Ac^,migr (r) = £/  / a JV‘ Jt

P ^(r o )

d ( r - .t - ) . d as ° if

- S p,b | ro - r | - S a,b | r ^- - r | ) 16г ² с ² _эь | ro - r | | r ^- - r |

f dt'dV ^- .

• 3.3.    Формулы для полупространства

Пусть фоновые медленности постоянны в полупространстве z >  0 и поверхность z = 0 является свободной, то есть на ней отсутствуют нормальные и касательные напряжения:

_ Эи,              (du _z Эи_ж \     (du _z Эн у \

• 2, .^- ⁺ A ^V- u = Ң^^- ⁺ ^z-j = Ңд^- ⁺ ^Z) =0.

Тогда тензор Грина принимает вид

GG а’^Я ( ^{r -} . ^{t - |r} . ^t ) = D a [ ^g a ^- g a ] .

T ga = {X (t‘ - t - Sa,b |r- - r|) - X (t‘ - t)} 4гг |r- - r| .   I =(X.g. --)  .

Рассуждая аналогично предыдущему, получим выражения для первичного поля – ана- лог (3):

f _{( t)} = / (t ^- S gb | Г0 ^- r | ) ^- / (t) f - / ^{(t -} S gb ^| ro ^- r |) ^- / ^(t ) _f “ ^Г’             4%p ^(r o ) ^|r o - ^r|                  4% p ( ro ) ^| ro - r |

u

г a

( r ,t) = D a f a ( r ,t) = D g

- S g,b | ro - r | ) - / (t) 4%p ( ro ) | ro - r |

f

_D o /^ ^{- S} a,b ^| ro ^{- r|}) ^{-/ (t)} _f ^a      4%p ( ro ) ^| ro - r

где Da получается из Da заменой dz0 на -dz0; выражения для операторов прямой и обрат- ной задач – аналоги формул (4) и (5):

u“ ^B ( ^r ’ ^ ^   £ Р ( ro ) ^{D a} L ^Лс ^ ^(r) £ , ^{k r} 1

p                                r i e{ r , r }

(Do / (t‘ - Sp,b |ro - r| - Sa,b |r‘ - r1 |) - Do / (t_ - Sp,b |ro - r| - Sg,b |r' - r1 |) 1 f ,y p 16^2cp,b |ro - r| |r‘ - ri |            p 16^2cp,b |ro - r| |r‘ - ri | J ’

° P, migr

(r) = Е/ / 77^ d (r‘ ’t) • Dg £ kri a jv‘JTP (ro)                 riG{r, r} f D)o / (t‘ - SP,b |ro - r|- Sa,b |r' - r1 |) - Do / (t‘ - Sg^b |ro - r| - Sa,b |r' - r1 |) 1 f ,., ,y, p 16%2cp,b |ro - r| |r‘ - ri |            p 16%2cp,b |ro - r| |r‘ - ri |                   ’

(7) где k _r = 1’ k r = - 1.

• 4.    Результаты расчетов

Были произведены расчеты прямых задач и задач миграции для модели слабонеоднородной среды (рис. 1) с использованием формул (6), (7). Все расчеты производились с неизменной одной из горизонтальных координат. Модель среды имеет протяженность 10 км, глубину 2.5 км и значения фоновых скоростей волн сжатия и сдвига соответственно 2.5 км/с и 1.25 км/с. Контраст неоднородностей Ac gg /с ^ь имеет значение 1%. Плотность среды на глубине залегания сейсмоисточников принята равной 2.5 т/м ³ .

Рис. 1. Модель среды

Рис. 2. ж-компонента сейсморазреза

Рис. 3. г -компонента сейсморазреза

Рис. 4. p-компонента миграционного изображения

Рис. 5. s-компонента миграционного изображения

Для данной модели по формуле (6) были получены синтетические сейсморазрезы нулевого удаления. Были использованы значения параметров расчета, типичные для практики: вертикально поляризованные источники f = (0, 0,1) ^Т , расположенные на глубине 15 м, отстоящие друг от друга на расстояние 50 м по горизонтали, испускают импульс Рикера (2) с пиковой частотой ^ м = 25 Гц; данные записываются каждые 2 мс в течение 4 с (рис. 2-3). Следует отметить, что при данной постановке задачи р-компонента отраженного поля получается равной нулю.

Миграционные изображения, полученные по формулам (6–7) представлены на рис. 4–5. Шаг расчетной сетки был выбран равным 10 м: дальнейшее уменьшение шага не приводило к улучшению результатов.

• 5.    Заключение

В работе предложена процедура упругой миграции, позволяющая построить миграционное изображение среды по данным сейсмоприёмников, зарегистрированным на дневной поверхности. Она основана на использовании приближения Борна и предположении о том, что фоновая модель среды является однородной. Представлен результат её тестирования на модели среды с границами раздела слоёв сложной формы. Анализ полученных изображений говорит о том, что в целом возможно обнаружение истинных отражающих границ, однако существуют проблемы, связанные в первую очередь с высоким уровнем шума, наличием значительного числа ложных границ и плохой идентификацией границ с большими углами наклона. Таким образом, для обеспечения возможности применения упругой миграции в промышленном масштабе к данным полевых сейсморазведочных работ необходима дополнительная доработка предложенного алгоритма.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта 16-29-02018 «код офи_м».