Построение модели изгиба микрополярных упругих тонких стержней с круговой осью и ее реализация методом конечных элементов
Автор: Саркисян Самвел Оганесович, Хачатрян Мелине Вардановна
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 3 т.13, 2020 года.
Бесплатный доступ
Обсуждается проблема перехода от системы двумерных уравнений микрополярной (моментной) теории упругости в тонкой криволинейной области к одномерной системе уравнений деформирования микрополярного упругого тонкого стержня с круговой осью (имеется в виду изогнутый стержень, со срединной поверхностью в виде дуги окружности). При осуществлении этого перехода применяются так называемые обобщенные на микрополярный случай гипотезы Тимошенко. Исходя из них, построена прикладная модель, описывающая напряженно-деформированное состояние при изгибе микрополярного (с независимыми полями перемещений и вращений) упругого тонкого стержня с круговой осью. Показано, что модель включает закон сохранения энергии, энергетические теоремы, вариационные принципы. Все основные функционалы построенной модели получены из функционала двумерной микрополярной теории упругости, содержащего производные перемещений и поворотов только первого порядка. Для решения граничных задач статики и динамики на основе прикладной модели изгиба микрополярного упругого тонкого стержня с круговой осью разрабатывается соответствующий вариант метода конечных элементов (МКЭ). Сформулированы основные понятия и этапы реализации модифицированного МКЭ: дискретизация, выбор основных узловых неизвестных, аппроксимация искомого решения и построение основных разрешающих уравнений. Приведены примеры конечно-элементных решений задач статического деформирования и задач о собственных колебаниях стержней с круговой осью в рамках как микрополярной, так и классической теории упругости. Выполнен сравнительный анализ решений, в результате которого установлены некоторые эффективные свойства стержней с круговой осью при рассмотрении их деформаций согласно микрополярной теории упругости.
Микрополярная теория упругости, стержень с круговой осью, плоский изгиб, одномерная модель, метод конечных элементов
Короткий адрес: https://sciup.org/143172494
IDR: 143172494 | УДК: 539.3 | DOI: 10.7242/1999-6691/2020.13.3.20
Construction of the bending model of micropolar elastic thin beams with a circular axis and its implementation using finite element method
This paper considers the problem of transition from the system of two-dimensional equations of the micropolar (moment) theory of elasticity in a thin curved area to the one-dimensional system of equations describing deformation of the micropolar elastic thin beam with a circular axis. During the transition process, Timoshenko's hypotheses generalized to the micropolar case are applied. As a result, the applied model (with independent fields of displacements and rotation) of a micropolar elastic thin beam with a circular axis has been constructed. It is shown that the model includes the law of conservation of energy, energy theorems and variation principles. All main functionals for the model of the micropolar elastic thin beam with a circular axis are obtained from the functional of the two-dimensional micropolar theory of elasticity, containing only the first derivatives of displacements and rotations. The finite element method (FEM) is taken to study the boundary problems of statics and dynamics of applied model of the micropolar elastic thin beam with a circular axis. The basic concepts and stages of the FEM are formulated: the discretization, the selection of basic nodal unknowns, the approximation of the solution, and the construction of the basic FEM equations. The finite-element solutions of some problems of statics and problems on natural vibrations of beams with a circular axis are considered according to the micropolar theory of elasticity. A comparative analysis with similar problems of beams with a circular axis according to the classical theory of elasticity is carried out. Based on the results, some effective properties of beams with a circular axis have been established when considering their deformations in the context of the micropolar theory of elasticity.
Список литературы Построение модели изгиба микрополярных упругих тонких стержней с круговой осью и ее реализация методом конечных элементов
- Пономарев С.Д., Бидерман В.Л., Лихарев К.К., Макушин В.М., Малинин Н.Н., Феодосьев В.И. Расчеты на прочность в машиностроении. Т. 1. Теоретические основы и экспериментальные методы. Расчеты стержневых элементов конструкций при статической нагрузке. М.: Машгиз, 1956. 884 с.
- Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник / Под общ. ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. Т. 1. М.: Машиностроение, 1968. 832 с.
- Кузьмин М.А., Лебедев Д.Л., Попов Б.Г. Расчеты на прочность элементов многослойных композитных конструкций. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. 341 с.
- Саркисян С.О., Хачатрян М.В. Математическая модель плоского кривого (кругового) упругого стержня по классической теории упругости с учетом поперечных сдвиговых деформаций // Доклады НАН Армении. 2016. Т. 116. № 1. С. 34-42.
- Lakes R.S., Drugan W.J. Bending of a Cosserat elastic bar of square cross section: Theory and experiment // J. Appl. Mech. 2015. Vol. 82. 091002.
- Саркисян С.О., Хачатрян М.В. Математическая модель статической деформации микрополярного упругого стержня с круговой осью по теории со стесненным вращением и метод конечных элементов // Изв. НАН РА. Механика. 2019. Т. 72, № 3.С. 39-55
- Nakamura S., Benedict R.L., Lakes R.S. Finite element method for orthotropic micropolar elasticity // Int. J. Eng. Sci. 1984. Vol. 22. P. 319-330.
- Корепанов В.В., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Численное исследование двумерных задач несимметричной теории упругости // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 2. С. 63-70.
- Корепанов В.В., Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Аналитические и численные решения в рамках континуума Коссера как основа для постановки экспериментов по обнаружению моментных эффектов в материалах // Вычисл. мех. сплош. сред. 2009. Т. 2, № 4. С. 76-91.
- Sargsyan S.H., Zhamakochyan K.A. Finite element method for solving boundary value problems of bending of micropolar elastic thin bars // Proc. of the XLII Summer school-conference "Advanced Problems in Mechanics". APM-2014, St.-Petersburg, Russia, June 30-July 5, 2014. P. 427-434.
- Жамакочян К.А., Саркисян С.О. Метод конечных элементов в расчетах на изгиб микрополярных упругих тонких пластин // Вычисл. мех. сплош. сред. 2016. Т. 9, № 3. С. 375-383.
- Sargsyan S.H. Effective manifestations of characteristics of strength and rigidity of micropolar elastic thin bars // Journal of Materials Science and Engineering. 2012. Vol. 2. № 1. P. 100-110.
- Саркисян С.О. Математическая модель микрополярных упругих тонких пластин и особенности их прочностных и жесткостных характеристик // ПМТФ. 2012. Т. 53, № 2. С. 148-156.
- Саркисян С.О. Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек // Физ. мезомех. 2011. Т. 14, № 1. С. 55-66.
- Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. Pergamon Press, 1986. 383 p.
