Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре

Хо^ошо известно классическое п^едставление Альманси для полига^монической функции Q ( x ):

Q(x ) = H ₀( x ) + I x I ² H 1 ( x ) + - + I x I ² s H s (x ),                            (1)

где H_k ( x ) – некото^ые га^монические функции, кото^ые успешно п^именяются п^и пост^оении ^ешений модельных задач для га^монического, бига^монического и полига^монического у^ав-нений. На основании ^езультатов по пост^оению но^ми^ованных систем функций для опе^ато^а Лапласа [1] в ^аботах авто^а [2, 3] конечное п^едставление Альманси ^асп^ост^анено на аналитические функции действительных пе^еменных. Имеются также многочисленные ^аботы, посвященные обобщению п^едставления Альманси на диффе^енциальные опе^ато^ы, отличные от опе^ато^а Лапласа, нап^име^ [4, 5].

В настоящей ^аботе п^едставления Альманси сначала п^именяются для пост^оения ^ешения одно^одной задачи Ди^ихле для неодно^одного бига^монического у^авнения (^аздел 2), а затем и для пост^оения ^ешения общей задачи Ди^ихле для неодно^одного бига^монического у^авне-ния в единичном ша^е (^аздел 3). В [6] с помощью фо^мулы Альманси были пост^оены полиномиальные решения уравнения Пуассона A u ( x ) = Q ( x ) и полигармонического уравнения A m u ( x ) = Q ( x ), где Q ( x ) - произвольный полином. Найденные решения отличаются от полиномиальных ^ешений диффе^енциальных у^авнений в частных п^оизводных общего вида [7,8]. В ^аботе [9] было пост^оено полиномиальное ^ешение задачи Ди^ихле для у^авнения Пуассона, а также т^етьей к^аевой задачи. Настоящая ^абота является п^одолжением этих исследований на задачу Ди^ихле для бига^монического у^авнения.

В ^азделе 2 настоящей ^аботы, с помощью исследования свойств п^едставлений Альманси, описанных в леммах 1–5 и тео^еме 1, в тео^емах 2 и 3 будут даны фо^мулы (17) и (20), позволяющие легко вычислять полиномиальное ^ешение одно^одной задачи Ди^ихле для неодно^од-ного бига^монического у^авнения. В ^азделе 3, в тео^еме 6, на основании тео^ем 4 и 5 получена фо^мула (30) для п^едставления полиномиального ^ешения общей задачи Ди^ихле для бига^мо-нического у^авнения с полиномиальными данными. К сожалению, полученные полиномиальные ^ешения для записи их в обычном виде т^ебуют вычисления степеней опе^ато^а Лапласа от не-кото^ых многочленов, оп^еделяемых данными к^аевой задачи. Этот недостаток легко уст^аняет-ся с помощью п^именения пакета Mathematica (см. п^име^ы 1 и 6).

2.    Полиномиальное решение однородной задачи Дирихле для неоднородного бигармониче-ского уравнения

Сначала ^ассмот^им следующую одно^одную к^аевую задачу для неодно^одного бига^мо-нического уравнения в единичном шаре Q = { x е R n :I x I < 1}:

Математика

A ² u ( x ) = Q ( x ), x eQ ;

d u uIdQ=0 у =0 on IdQ

с полиномиальной правой частью Q ( x ) и при n >  2 . В работе [6] установлено, что некоторое полиномиальное решение бигармонического уравнения (2) можно записать в виде

. . I x I⁴ u ( x ) = —- Z

4 _{k = 0}

I x I ^{2 k}

I" ¹ (1 - а ) ^{k + 1} а (2 k )!!(2 k + 4)!!^J o

•^{k +} n ^{/2 - 1} ( -A ) ^k Q ( a x ) d a .

Предположим сначала, что Q(x) = Qm (x) - однородный полином степени m . В [6] показано, что в этом случае решение (4) может быть записано также в виде то u (x) = Z (-1)5

5 =0

( 5 + 1)I x I ^{2 5 + 4} A ⁵ Q m ( x)

.

(2,2) 5 +2 (2 m - 2 5 + n ,2) 5 +2

Здесь ( a , b ) k = a ( a + b )••• ( a + ( k - 1) b ) - обобщенный символ Похгаммера с соглашением ( a , b )₀ = 1. Например, (2,2) _k = (2 k )!!. Заметим, что в знаменателе дроби под знаком суммы стоит выражение (2 m - 2 5 + n ,2) _{5 + 2} = (2 m - 2 5 + n ) • (2 m + n + 2), которое не обращается в нуль, поскольку 2 5 <  m . В [6] установлено, что некоторое полиномиальное решение уравнение Пуассона A v = Q ( x ) имеет вид

I x I               I x I 1 k k + n / 2-1       k vx” 2 2(2k)!!(2k + 2)J°( a a             ax a-

Кроме этого показано [6], что при Q(x) = Qm (x) решение (6) может быть записано в ином виде то v (x) = Z (-1)5

5 =0

I x I ^{2 5 + 2} A ⁵ Q m ( x )

.

(2,2) 5 +1 (2 m - 2 5 + n ,2) 5 +1

Установим связь между формулами (7) и (5).

Лемма 1. Пусть полином v ( x ) определяется из (7), а полином u ( x ) определяется тоже по формуле (7), но при Q_{m + 2}( x ) = v ( x ), тогда полином u ( x ) имеет вид (5).

Доказательство. По условию леммы то v (x) = Z (-1)

5 =0

5 I x I ^{2 5 + 2} A ⁵ Q m ( x )

(2,2) , ₊ i (2 m - 2 5 + n ,2) , _{+ 1}

и поскольку deg v(x) = m + 2 , то то u (x) = Z (-1)5

I x I ^{2 5 + 2} A ⁵ v ( x )

5 =0

Преобразуем полином u ( x ). Имеем

, ,      I x I ² v ( x )

u ( x ) =------------- 2(2 m + n + 2)

(2,2) _{5 + 1}(2 m + 2 - 2 5 + n , 2) _{5 + 1}

.

то

+ Z ( - 1) ⁵

5 =1

I x I ^{2 5 + 2} A ⁵ v ( x )

.

(2,2) _{5 + 1}(2 m + 2 - 2 5 + n ,2) _{5 + 1}

Подставим в первый член значение v ( x ), а во второй сумме учтем, что A v = Q_m ( x ). Кроме этого при преобразовании первого члена заметим, что (2 m + n + 2)(2 m - 2 5 + n ,2) _{5 + 1} = (2 m - 2 5 + n ,2) _{5 + 2}

и (2 5 + 4)(2,2) 5 +1 = (2,2) 5 +2

то

u ( x ) = Z ( - 1) ⁵

5 =0

. Имеем

( 5 + 2) I x I ^{2 5 + 4} A ⁵ Q m ( x )

(2,2) 5 +2 (2 m - 2 5 + n ,2) 5 +2

то

+ Z ( - 1) ⁵

5 =1

I x I ^{2 5 + 2} A ^{5 - 1} Q m ( x )

(2,2) _{5 + 1} (2 m + 2 - 2 5 + n , 2) _{5 + 1}

.

Сдвинем индекс суммирования во второй сумме 5 ^ 5 +1 и тогда области суммирования обоих сумм будут одинаковы. Объединим эти суммы то u (x) = Z (-1)5

5 =0

I x I ^{2 5 + 4} A ⁵ Q m ( x )

(2,2) 5 +2 (2 m - 2 5 + n ,2) 5 +2

(( 5 + 2) - 1).

Отсюда сразу следует формула (5).

Рассмотрим бигармоническое уравнение со специальной правой частью

А ² и = I x I ² m • P s ( x ), x e D ,                                       (8)

где P s ( x ) - однородный гармонический полином степени s , а D с R n - звездная область с центром в начале координат. Из результатов работы [6] следует, что решение уравнения А v = I x I ² m • P s ( x ), записанное в форме (7), имеет вид

I x | ² m ^{+ 2} р ( x ) и ( x ) =---------------- s ---------.

(2 m + 2)(2 m + 2 s + n )

Установим аналогичный результат и для бигармонического уравнения.

Теорема 1. Решение уравнения (8), записанное в форме (4) или (5), имеет вид и(x) = Cm,s I x I2m+4-Ps (x), где 1/Cm s = (2m + 2)(2m + 4)(2m + 2s + n)(2m + 2s + n + 2).

Доказательство. Обозначим v ( x ) = А и . Тогда А v = I x I ^{2 m} P s ( x ). Будем последовательно применять формулу (7) для нахождения сначала полинома v ( x ) при Q _{2 m + s} ( x ) = I x I ^{2 m} P s ( x ), а затем и и ( x ) при Q _{2 m + s + 2}( x ) = v ( x ). Согласно лемме 1 мы должны получить при этом формулу (5). С другой стороны, полином v ( x ) будет записан в виде (9)

v ( x ) = I x I ² m ^{+ 2}

P s ( x )

(2 m + 2)(2 m + 2 s + n )

„ I x I ² m +² P s ( x ).

А, значит, опять используя этот результат, получим, что полином и ( x ) будет записан в виде

/ \ I 12 m +4 и ( x ) = I x I

P s ( x )

(2 m + 4)(2 m + 2 s + n + 2)

.

Подставляя сюда значение P^x ), получим (10). Таким образом, формула (5) при Q _{2 m + s} ( x ) = I x I ² m P s ( x ) имеет вид (10). Согласно [6] формула (5) может быть переписана в виде (4) и значит (4) при Q ( x ) = I x I ^{2 m} P_s ( x ) имеет вид (10).

Разложим Q_m ( x ) с помощью формулы Альманси (1) на слагаемые вида I x I ^{2 s} R_{m — 2 s} ( x ):

Q m ( x ) = R m ( x ) + 1 x I ² R m —2 ( x ) + -+ 1 x I ^{2 s} R m —2 s ( x ), m — 2 s >  0.                (11)

Применим к обеим частям формулу (5). Тогда по теореме 1 решение уравнения А ² v ( x ) = Q_m ( x ), задаваемое формулой (5) имеет вид

[ m /2] v ( x ) = £ s =0

I x I ^{2 s + 4} R m —2 s ( x )

(2 s + 2)(2 s + 4)(2 m — 2 s + n )(2 m — 2 s + n + 2)

где [ a ] - целая часть числа a , а однородные гармонические полиномы R k ( x ) определяются

формулой Альманси (11). Из явного вида полиномов R k ( x ), найденного в [2], аналогично формуле (7), верно утверждение.

Лемма 2 [9]. Гармонические полиномы R_{m — 2} k ( x ) в разложении однородного полинома

Q_m ( x ) по формуле Альманси (11) имеют вид

^R m —2 k ^{( x} ) =

2 m — 4 k + n — 2 у       ( — 1) ^s I x I ^{2 s} А ^{s + k} Q m ( x )

(2,2) k     ^ (2,2) s (2 m — 4 k — 2 s + n — 2,2) s ₊ k ₊ 1 ^.

Рассмотрим задачу Дирихле (2)-(3) при Q ( x ) = I x I ^{2 s} R_{m — 2 s} ( x ).

Лемма 3. Решение v_s ( x ) однородной задачи Дирихле (2)-(3) при Q ( x ) = I x I ^{2 s} R m _{— 2 s} ( x ) имеет

вид vs (x) = Cm,s (I x I2s+4 +(s +1) — (s + 2) I x I2) Rm—2s (x),                        (13)

где 1/ C m , _s = (2 s + 2)(2 s + 4)(2 m — 2 s + n )(2 m — 2 s + n + 2).

Доказательство. Пусть полином us (x) определяется формулой vs (x) = Cm,s (I x I2s+4 Rm—2s (x) + Hm—2s (x)— I x I2 Hm—2s (x) ) ,

Математика

где H m _{- 2 5} ( х ) и H m _{- 2 5} ( х ) - однородные гармонические полиномы степени m - 2 5 . Легко видеть, что C m ₅ = C_{5 m - 2 5} , где C_{m 5} определен в теореме 1. Используя теорему 1, получим равенство A ² V 5 ( х ) = l х l ^{2 5} R m _._{2 5} ( х ). Будем подбирать полиномы H m _{- 2 5} ^{( х} ) ^{и H} m -2 5 ( х ) так, чтобы выполнялись однородные граничные условия (3). Тогда будем иметь

R m -2 5 ( х ) - H m -2 5 ( х ) - H m -2 5 ( х ) = 0 ^ V .dQ = 0,

( m + 4) R m -2 5 ( х ) - ( m - 2 5 ) H m -2 5 ( х ) - ( m - 2 5 + 2) H m -2 5 ( х ) = 0 ^      = 0

дn Ian и поэтому необходимо решить систему уравнений

H m -2 5 ^{( х} ) ⁺ H mm -2 5 ^{( х} ) = R m -2 5 ^{( х} )

( m - 2 5 ) H m -2 5 ( х ) + ( m - 2 5 + 2) H m -2 5 ( х ) = ( m + 4) R m -2 5 ( х ).

Решение этой системы относительно

^H m -2 5 ( х ) и H m ²-2 5 ( х ) методом Крамера имеет вид

H m -2 5 ^{( х} ) = R m -2 5 ^{( х} )

m + 4

m — 2 5 + 2

/

m — 2 5

m — 2 5 + 2

- ( 5 + 1) R m -2 5 ( х ),

^H m -2 5 ^{( х} ) = R m -2 5 ^{( х} )

m — 2 5

m + 4

/

m — 2 5

m - 2 5 + 2

= ( 5 + 2) R m _ ₂ , ( X ).

Подставляя полученные значения в формулу для v₅ ( х ), получим (13).

Теперь можно построить полином и ₀( х )

решение задачи Дирихле (2)-(3) при

Q ( х ) = Q_m ( х ). Раскладывая однородный полином Q_m ( х ) по формуле (11), а затем применяя к каждому слагаемому лемму 3 ( 5 заменяется на k ), получим решение нашей задачи в виде

[ m /2]

[ m /2]

и 0 ( х ) = I V k ( х ) = I c m , k

k 0

k =0

( l х I ^{2 k + 4} + ( k + 1) - ( k + 2) I х I ² ) R_{m - 2 k} ( х ),

где C m _k определены как и в лемме 3. Как было доказано выше полином

[ m /2]

I C m , k I х I ^{2 k + 4} R m -2 k ( х )

k =0

равный полиному из (12), записывается в виде (5). Поэтому

[ m /2]

^

и 0 ( х ) = I V k ( х ) = I ( - 1) ^k

( k + 1)I х I ^{2 k + 4} A ^k Q m ( X )

k =0

k =0

(2,2) k ₊ 2 (2 m - 2 k + n ,2) _k +2

[ m /2]

+ I C m , k ( ( k + 1) - ( k + 2)^ I ² ) R m -2 k ( х ).(14)

k =0

Преобразуем решение и ₀( х ).

Лемма 4. Пусть A = m + n /2 и

A₅ , _k = k ( A - 2 5 + 2 k - 3)( A - 5 + k + 1) + ( 5 - k + 1)( A - 2 5 + 2 k - 1)( A - 2 5 + k - 2), тогда справедливо равенство

и 0 ( х ) = I Д" I

5 =0 ⁴       k =0

( - 1) ^k A 5 , k I х I ^{2 k}

k !( 5 - k + 2)!( A - 2 5 + k - 2) _{5 +4}’

где ( a ) ₅ = a ( a + 1) • — ( a + 5 — 1).

Доказательство. Воспользуемся леммой 2 для преобразования многочлена и ₀( х )

Учитывая

что

1/ C m ₅ = (2 5 + 2)(2 5 + 4)(2 m - 2 5 + n )(2 m - 2 5 + n + 2),

а

из (14).

также

(2,2) _{k + 2} = (2 k + 2)(2 k + 4)(2,2) _k и

(2 m + n - 4 k - 2 5 - 2,2) _{5 + k} +3 = (2 m - 2 k + n )(2 m - 2 k + n + 2)(2 m + n - 4 k - 2 5 - 2,2) _{5 + k +} 1 , перепишем это решение в виде

( x ) = y (    s ^{( s} + L x ^{s + 4 A s Q} m ⁽ x ) +

^{0 l}     (2.2) s +2 (2 m - 2 s + n ,2) , +2

[ m /2]

+ L

( k + 1) - ( k + 2)I x I ²

k =0

Обозначим s + k = a

(2,2) к +2

у   ( - 1) ' (2 m + n - 4 k - 2)I x I ² ' A ' ^{+ k} Q_m ( x )

2 s ^L . m (2,2) s (2 m + n - 4 k - 2 s - 2,2) s + _k +3

■

и учтем при этом, что   (2,2) _{k + 2}(2,2) _s = 2 “ ^{+ 2} ( a - s + 2)! s !   и

(2 m + n - 4 k - 2 s - 2,2) _{s + k + 3} = 2 ^{a + 3} ( A - 2 a + s - 1) _{a + 3}, где A = m + n /2. Тогда повторное суммирование преобразуется к виду

У С    ( s + Wx^ s+4 AQm ( x) + u o( x) = l ( 11                       + s=0       4 (s + 2)!( A - s ) s+2

+ LAX< x ) L ( - 1) - ( A - 2 a + 2 s - 1) ⁽ “ "  ^{s +}    x ^s “ "  ^{s +} 2 x ^s '

.

a =0   4 ^{a + 2}   Й                     ( a ^- s + 2)! s ^! ( A ^{- 2 a} + s ^- 1) a +3

Заменим в двукратной сумме a на s , s на a и разделим эту сумму на два слагаемых u0(x)=L^((-1)s,(s+1vs'; + L(-1)“х s=0 4'+2          (s + 2)!(A - s)s+2 “=0

( s - a + 1)( A - 2 s + 2 a - 1) I x I ^{2 a} у ( 1 “ ( s - a + 2)( A - 2 s + 2 a - 1) I x I ^{2 a + 2})

( s - a + 2)! a !( A - 2 s + a - 1) _{s + 3} " ^L₀   )   ( s - a + 2)! a !( A - 2 s + a - 1) _{s + 3}⁷"

Преобразуем выражение в больших круглых скобках, которое обозначим J 1 . Если в последней сумме сдвинуть индекс суммирования a ^ a - 1 и выделить отдельно первый член (при a = 0) у второй суммы, то получим

( s + 1)I x I ^{2 s + 4}     Й, .2«г ( s - a + 1)( A - 2 s + 2 a - 1)

J = ( - 1) ------------------+ > ( - 1) I x I I---------------------------------- +

¹         ( s + 2)!( A - s ) _{s + 2} a =1              ( s - a + 2)! a !( A - 2 s + a - 1) _{s + 3}

( s - a + 3)( A - 2 s + 2 a - 3)     ]     ( s + 1)( A - 2 s - 1)

⁺ ( s - a + 3)!( a - 1)!( A - 2 s + a - 2) _{s +3} ^{J +} ( s + 2)!( A - 2 s - 1) _{s + 3}

или r    (-1)s (s + 1)I x I2s+4   s+             (-1)“ I x I2a

J =-+ L                         х

( s + 2)!( A - s )_i+2        a !( s - a + 2)!( A - 2 s + a - 1)_$+2

r ( s - a + 1)( A - 2 s + 2 a - 1)   a ( A - 2 s + 2 a - 3) ]     ( s + 1)( A - 2 s - 1)

A - s + a + 1           A - 2 s + a - 2     ( s + 2)!( A - 2 s - 1) _s +3

Суммирование во внутренней сумме можно продолжить и на значение a = 0 и при этом под знаком суммы мы получим значение выражения, равное последнему члену в формуле. Поэтому можно записать

/ 1x5+2/ . 1\ I |2^+4    5+1               / I |2бУ

( - 1)    ( s + 1)I x I ₊ 1^-____________ ( - 1) I x I _______________ _х

( s + 2)!( A - s ) _{s + 2}     , ^+ ₀ a !( s - a + 2)!( A - 2 s + a - 1) _{s + 2}

■ ( s - a + 1)( A - 2 s + 2 a - 1) ₊ a ( A - 2 s + 2 a - 3) A - s + a + 1          A - 2 s + a - 2

Вычислим значение выражения под знаком суммы при a = s + 2. Имеем

( - 1) ^{s + 2} I x I ^{2 s + 4} [ - 1 ₊ ( s + 2)( A + 1) ] = ( - 1) ^{s + 2} I x I ^{2 s + 4} ( sA + 2 s + A + 2)

( s + 2)!( A - s + 1) s ₊ 2^{L +} A - s               ( s + 2)!( A - s ) s +3

( - 1) ^{s + 2} ( s + 1)I x I ^{2 s + 4} ( A + 2) = ( - 1) ^{s + 2} ( s + 1)I x I ^{2 s + 4} ( s + 2)!        ( A - s ) s ₊ 3~ ( s + 2)!( A - s ) s ₊ 2

Поэтому можно записать s+2

J1 = L a=0

__________ ( - 1) “ I x I ^{2 a} __________[ ( s - a + 1)( A - 2 s + 2 a - 1) a !( s - a + 2)!( A - 2 s + a - 1) _{s + 2}        A - s + a + 1

a ( A - 2 s + 2 a - 3) ]

A - 2 s + a - 2   '

Математика

Если привести дроби к общему знаменателю и учесть значение A_{5 а} , то получим

( - 1) ^а A 5 , а I x I ^{2 а}

5 +2

J1 = z а=0

а !( 5 - а + 2)!( A - 2 5 + а - 2) _{5 + 4}

.

Подставляя вычисленное значение J 1 в (16), получим (15).

Из полученной формулы (15) сразу не видно, что полином u ₀( x ), находимый из (15), удовле-

_/ X n duo(x)       п творяет однородным условиям (3) u0 (x)IxI=1 = 0 , —0—   = 0.

d n I x I=1

Теорема 2. Решение u ₀( x ) задачи (2)-(3) при Q ( x ) = Q_m ( x ) можно записать в виде

₍ x 12 li² V ^{( 5 + 1) A 5} Q^{m (} x ) V ( n k u o ⁽ x ) = ^(I x ^{I - 1)} Z ■ 5 +2.   ” , Z ^{( - 1)}

5 =0 ^{4   ( 5 + 2)!} k =0

< 5

I x I ^{2 k}

I k J ( A - 2 5 + k ) , +2’

где, как и в лемме 4, для краткости обозначено A = m + n / 2.

Доказательство. Обозначим полином из (17) через v ( x ) и разобьем внутреннюю сумму на три слагаемых. Заменяя k ^ k - 1 во второй сумме и k ^ k - 2 в третьей сумме, получим оо а / \ £           I |2^ I i2^+2 . I |2^+4

v ₍ x ) = у ^{A Q} m ^{( x} ) У _{( - 1)} k ^{I x I} - ^{2I x I + I x I} = ^Z 4 ^{5 +2} ( 5 + 2) ^Z   ’ k !( 5 - k )!( A - 2 5 + k ) 5 +2

у A ⁵ Q m ( x ) (

( - 1) ^k I x I ^{2 k}

+

^Z 4 ^{5 + 2} ( 5 + 2)^V k ^Z k !( 5 - k )!( A - 2 5 + k ) 5 ₊ 2

5 +1

+z k=1

2( - 1) ^k I x I ^{2 k}

( k - 1)!( 5 - k + 1)!( A - 2 5 + k - 1) _{5 + 2}

5 +2

+z k=2

( - 1) ^k I x I ^{2 k}

( k + 2)!( 5 - k + 2)!( A - 2 5 + k - 2) _{5 + 2}

)

или v (x) = f A5Qm (x) ( У (-1) k ( 5 - k + 2)( 5 - k + 1)I x I2 k + Z45+2(5 + 2) \Z k!(5 - k + 2)!( A - 25 + k)5+2

+ y¹ 2( - 1) k k ( 5 - k + 2)I x I ^{2 k}    + 5 +2

^+Z k !( 5 - k + 2)!( A - 2 5 + k - 1) _{5 + 2} ^{+ Z}

( - 1) k k ( k - 1) I x I ^{2 k}

k !( 5 - k + 2)!( A - 2 5 + k - 2) _{5 + 2}

) .

Учитывая специфику членов у трех рассматриваемых сумм в круглых скобках, суммирование можно взять в общих пределах от 0 до 5 + 2 :

. .        A5Qm (x) 5Л2 (-1)k I x I2k v v (x) = > —-ym---> ----------x

5 ^Z 0 4 ^{5 + 2} ( 5 + 2) ^Z 0 k !( 5 - k + 2)!

( ( 5 - k + 2)( 5 - k + 1)     2 k ( 5 - k + 2)           k ( k - 1)      )

^V ( A - 2 5 + k ) _{5 + 2}     ( A - 2 5 + k - 1) _{5 + 2} ( A - 2 5 + k - 2) _{5 +2}

Если обозначить

B₅ , k = ( 5 - k + 2)( 5 - k + 1)( A - 2 5 + k - 2)( A - 2 5 + k - 1) +

+ 2 k ( 5 - k + 2)( A - 2 5 + k - 2)( A - 5 + k + 1) + k ( k - 1)( A - 5 + k )( A - 5 + k + 1), то получим

( - 1) ^kB_;

' 5 , k ^I x 1

12 k

V ( x ) = g ^{A 5 Q} m ^{( x} ) g

₅ 10 4 ^{5 +2} ( 5 + 2)^Z k !( 5 - k + 2)!( A - 2 5 + k - 2) 5 +4

.

Разложим коэффициент B_{5 k} по степеням 5 + 2. Для этого можно воспользоваться пакетом Mathematica . Имеем

B₅ , k = ( - 6 - 10 k - 2 k ² - 5 A - 4 kA - A ² )( 5 + 2) +

+ (16 + 16 k + 4 k ² + 9 A + 4 kA + A ² )( 5 + 2) ² + ( - 14 - 8 k - 4 A )( 5 + 2) ³ + 4( 5 + 2)⁴.

Если же разложить коэффициент A_{5 k} по степеням 5 + 2, то получим

A_s , k =- 6 - 10 k - 2 k ² - 5 A - 4 kA - A ² +

+ (16 + 16 k + 4 k ² + 9 A + 4 kA + A ² )( s + 2) + ( - 14 - 8 k - 4 A )( s + 2) ² + 4( s + 2) ³ .

Видно, что B_sk = A_sk ( s + 2). Подставляя это значение в (18) и сокращая на ( s + 2) получаем (15).

Значит v ( x ) = и ₀( x ).

Теперь легко непосредственно видеть, что многочлен u ₀( x ), удовлетворяющий неоднородному бигармоническому уравнению (2) c Q ( x ) = Q m ( x ), удовлетворяет и однородным условиям Дирихле (3).

Замечание 1. Формулы, задающие решение однородной задачи Дирихле для гармонического уравнения u 1 ( x ) [9] и бигармонического уравнения u ₂( x ) (17), очень похожи:

Г \     12   nV ^{A 5Qm ( x} ) V (

(

k

s ^            I x | ^{2 2}

k ) ( m - 2 s + k + n /2) _{s + 1}

u 1 ⁽ x ) = ⁽ i x । ^{- 1)} ^ s+1,”_M L ^{( - 1)} s =0 ^{4   ( s + 1)!} k =0

и

< x /112 1\2 V^ ^{( s + 1) A} Qm ^{( x} ) 57/ 1Д Г ^s ^         ^| x ^{| 2} k

U ₂( x ) = (| x | - 1) > ---- -;-----m---- > ( - 1) I-------------------------- .

Z0 4 ^{s 2} ( s + 2)! k =0      k ^k ) ^{( m - 2 s +} k ⁺ n ^/2) s +2

Пример 1. Решение задачи Дирихле (2)-(3) при Q6(x) = x3x2x2, записанное в виде (17), легко вычисляется с помощью пакета Mathematica и имеет вид и (x1, x 2, x3)

x 1 x ₂ ( x 1² + x ² + x 2 - 1) ²

( - 255 + 245 x *

- 63 x 2 - 1190 x ₃ ² + 861 x ₃ ⁴ +

+ 14 x 1² ( - 17 + 13 x 2 - 350 x ₃ ² ) + 14 x 2 (17 + 57 x 2 ) ) .

Еще немного преобразуем многочлен и ₀( x ), являющийся решением задачи Дирихле (2)-(3) при

Q ( x ) = Q m ( x ), чтобы затем иметь возможность получить формулу для произвольного Q ( x ).

Лемма 5. Имеет место равенство

(| x | 2 - 1) ²     Г1 (1 - t | x | 2 ) ^s (1 - t ) ^{s +1}                /2-1 .

Un (x) =-----------7   ---------------------AQm (tx) t     dt.(19)

0          4    L J0 (2 s )!!(2 s + 4)!!

Доказательство. Пользуясь формулой (17), запишем

2 i\2 ^            ssi2

U ( x ) = ^{(| x | - 1)} f ^{( s + 1) A Q} m ⁽ x ) f ( - 1) ^{k s} | ,

⁰          4 ^L 2 ^s (2 s + 4)!! ^L 0      k k ) ( A - 2 s + k ) , +2

где A = m + n / 2. Преобразуем внутреннюю сумму в полученном выражении. Используя определение символа Похгаммера ( a ) _k , свойство гамма функции Г ( x + 1) = x Г ( x ) и связь гамма Г ( x ) и бета B ( x ) функций Эйлера, можем записать

1                     1                Г ( m + n /2 - 2 s + k )

( A - 2 s + k ) _s +2   ( A - 2 s + k ) ^ ( A - s + k + 1) Г ( m + n /2 - s + k + 2)

B ^{( s + 2} , ^{m +} n / ^{2 - 2 s + k} ) =    ¹         - t ) s +1 t m + n /2+ k -2 s -1

Г ( s + 2)           ( s + 1)! J^

Используя это равенство, внутреннюю сумму, умноженную на s + 1, запишем в виде

¹            s +1 m + n / 2-2 s -1           k          2 k k ¹            s +1          2 s m -2 s n / 2-1

— L (1 -1) t            L (-1) , 11 x | t dt = — (1 -1) (1 -11 x | ) t tdt s!                            k=0       k k)

Следовательно, многочлен и ₀( x ) можно записать в форме

. . (| x | ² - 1) и 0 ( x ) =---- 4---

^ V"1 Г1 (1 - t)s + (1 -11 x |2)sи/2-1

-У  ----— -------—A ^sQ_m ( tx ) t n ^{/2 1} dt ,

L J0   (2 s + 4)!!(2 s)!!

что совпадает с формулой (19).

Получим решение задачи Дирихле (2)-(3) с неоднородным многочленом Q ( x ).

Теорема 3. Решение задачи Дирихле (2)-(3) можно записать в виде