Построение приближенного решения одного класса нелинейных уравнений методом осциллирующей функции

Рассмотрим дифференциальное уравнение

,     (1)

с начальными условиями

x ( t 0 ) = c , x ' ( t 0 ) = b .             ⁽²⁾

Модель таких уравнений рассматривалась в работе Jack Wacki [1], она описывает реакции, происходящие в атомных реакторах.

Предполагается, что известны оценки для точного решения и производной

, b — В <: x'(t) < b + B.

Функции                непрерывно

- дифференцируемые в области ( D ) :

t0 < t < Г , c — A — E < x(t) < C + A + f, b — В — Ег < x'(f) < b + В + Elr где ε1 – наперед заданные оценки погрешности построения приближенного решения.

Предполагаем, что в области ( D ) имеют место оценки:

,                                         ,,

,                                  ,,

,                                       ,.

Приближенное решение xN (t) уравнения (1) с условиями (2) будем строить на отрезке [t0, T], разбив его на N частей точками tk, k = 0,1,2,3,...,N -1, где tо < ti < ... < tN—1 = T.

Приближенное решение на каждом промежутке [tk, tk+1 ] находим в виде xN (t ) =

. "2*^  ^k)² + ^(t tfc) + Cj,tE [tfe/tk+i

.   0                             j t £ [t* j tfc+11

Коэффициенты b ₀ и с ₀ находим из начальных условий: c ₀ = c , b ₀ = b ; коэффициенты c_k и b_k находим из условия непрерывности ^дг(Ои^\(О в точках t = t_k , получим формулы:

,

^* — a*-M + ^k-i к — 1л27 ... tN — 1; h — tfc+i — tk

Коэффициенты a_k находим из условия осциллируемости невязки

( k = 0,1,2,..., N -1).

(Метод осциллирующих функций, см.[2]).

Введем обозначения

9\ = J'4^+ ^ - Vv)) = = f_x& i ^C* х^х^Ю),

,

0 < ^1; ^2 , ^3 ^ 1 1

Из условия (3), применяя первую теорему о среднем интегральном исчислении, получим ^t =

-^^S^ljrl^c^-f^^-t^^^^^^ iiT^^+TXb-tjtW^

t_k-1 <  ^_k <  tk , ( k = 0,1,2,..., N -1)

Постоянные a_k ( k = 0,1,2,..., N - 1 ) могут быть определены, если

1 + K^Y^+ fAh-tb) 4-+“(<^ «^/^ * °> что можно получить путем разбивки основного промежутка [t0, T ] на частичные.

Если получим несколько значений a_k , возьмем наименьшее по абсолютному значению [2].

Для a_k имеет оценку в ранее введенных обозначениях

ад +«! +ms l-lMzy + Mah + A^y

= ^

где подбирается так, чтобы

.

Приближенное решение xN (t) удовлетворяет уравнению x"N 4- fan Aw) + аЮдСхл) = r(t) +

(4) c начальными условиями

Обозначив u хСО-д^и и учитывая (1), (2), (4), (5) для погрешности получим уравнение и” + f{x, x ) - f(xn .x'^ + a(t)(fiG) - д(хц)) ~ = -^Mto*)

с начальными условиями.

Применяя теорему Лагранжа дифференциального исчисления для функциии

g(x) получим u`+((6)

с условиями

Проинтегрировав это уравнение от t ₀ до t дважды, вычислив двойные интегралы по частям и применив лемму Беллмана:

если                               , где

, то

(см. [3]) окончательно получим оценку для          . В оценку входит Л D Л* ’/’Ar(t1)dt1dt, который оценивается следующим образом

^fftta^adti ^^

Гв Jrt

[ l^(tj)|dt2dti << max |^(t)|fi(t-tf)

Так как Cwt)* то существует такая точка                , в которой

^|^(t+?(t-^))|lt-’?

Оценки погрешности будут a` pesteriori.

Окончательная оценка для            имеет fo

max U (t) < t о < t < T

Texp f^^dx^h+Щ^ +ЛД+y₃w 4- ед+У₄

1-(М1+4#1р['ф[{№2

при условии, что

(.Mi+AMexpl^tOdtjTh²<1,

£

где

+1г,|+moi+!/>!)

Разбивку подбираем так, чтобы h удовлетворяло условию (8).

Оценку погрешности можно получить и "пошаговую", если вначале оценить u₀(t) t e\t₀, t1 ], затем u1(t) t e\t1,12 ] и т.д. оценка погрешности для t e(t_k, t_k+1) будет выражаться через оценку на промежутке ^[tk-1, tk^].

Построив приближенное решение и оценив разность u (t ) = x(t)- x_n(t) можем получить область расположения точного решения

Xn (t)-s< x (t )< Xn (t)+ s , где ε – погрешность.

Замечание об априорной оценке погрешности

Если уравнение имеет вид с начальными условиями S'ii'c)::: fJ> Kyit) ,'Де где Pi (t) — не— прерывно-дифференцируемые функции, то в этом случае решения                       будут огра- ничены (см. [2], с. 10) так:

,                                                                              , где

,

M У max In—

.

Для этого уравнения на каждом частичном промежутке будем иметь относительно a_k уравнения порядка 2n +1, причем коэффициент при akⁿ⁺¹ будет h в степени 4n + 2 и при условии ограниченности a_k можно будет члены ch в степени > 2 сбросить и получится уравнение 2-й степени относительно a_k (за a_k берем наименьший по абсолютному значению).

Все задачи методом осциллирующих функций хорошо решаются с использованием вычислительного пакета Mathematica.

Пример

Уравнение x" + ta + x3 = 0

с начальными условиями

x(D) = 1, х (D) == О t E [0, l],h = 0,01.

Решено методом осциллирующих функций, погрешность |u(t)| < 0,016..