Научные статьи \ Математика. Естественные науки \ Физика \ Механика \ Колебания. Акустика

Поведение гибкой сетчатой пластины, находящейся в электростатическом поле

Поведение гибкой сетчатой пластины, находящейся в электростатическом поле

Автор: Крылова Е.Ю.

Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm

Статья в выпуске: 3 т.16, 2023 года.

Бесплатный доступ

Объектом исследования является гибкая пластина сетчатой структуры с защемленными краями. На некотором расстоянии от пластины параллельно ей расположен неподвижный электрод. За счет внешнего источника между пластиной и электродом создается электрическое поле с заданной разностью потенциалов. Пластина притягивается (прогибается) в нормальном к электроду направлении и при достижении баланса между электрическими силами (силой Кулона) и силами упругости приходит в равновесное состояние. При увеличении разности потенциалов пластина перемещается в новое равновесное положение. Уравнения состояния элемента геометрически нелинейной пластины и граничные условия получены в рамках гипотез Кирхгофа из вариационного принципа Остроградского-Гамильтона. Рассматривается изотропный однородный материал. Масштабные эффекты приняты во внимание посредством применения модифицированной моментной теории упругости. При этом предполагается, что поля перемещений и вращений не являются независимыми. Геометрическая нелинейность учтена согласно теории Кармана. Сетчатая структура пластины моделировалась в рамках континуальной теории Г.И. Пшеничного, что позволило заменить регулярную систему ребер сплошным слоем. Исходя из условий равновесия прямоугольного элемента записаны соотношения, связывающие механические напряжения в эквивалентной гладкой пластине и в ребрах пластины сетчатой структуры. Для определения физических соотношений сетчатой пластины использован метод множителей Лагранжа. Для численного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих нелинейные колебания сетчатой пластины, применен метод Бубнова-Галеркина. Математическая модель, алгоритм решения и программный комплекс верифицированы путем сравнения авторских результатов расчета с данными натурного эксперимента и результатами других авторов. Исследовано влияние геометрии сетчатой структуры пластины, величины постоянного электрического напряжения, геометрической нелинейности на частоту собственных колебаний жестко защемленной пластины. Численные результаты приведены для пластины из графена.

Еще

Углеродная нанопластина, сетчатая пластина, модифицированная моментная теория, электростатика, нелинейные колебания, собственные частоты колебаний

Короткий адрес: https://sciup.org/143180529

IDR: 143180529   |   УДК: 534-16   |   DOI: 10.7242/1999-6691/2023.16.3.33

Behavior of a flexible mesh plate placed in an electrostatic field

The object of study is a flexible mesh plate with clamped edges. A stationary electrode is arranged in parallel with the plate at some distance from it. The electric field between the plate and electrode with a given potential difference is created by an external source. The plate is attracted (deflected) towards the electrode and comes in equilibrium when a balance between the electric (Coulomb force) and elastic forces is reached. When the potential difference increases, the plate moves to a new equilibrium position. The state equations of a geometrically nonlinear plate and boundary conditions based on the Kirchhoff hypotheses are derived from the Ostrogradsky-Hamilton variational principle. An isotropic, homogeneous material is considered. The scale effects are taken into account by means of the couple stress theory. It is assumed that the fields of displacement and rotation are not independent. Geometric nonlinearity is taken into account according to Von Karman's theory. The mesh structure of the plate was modeled using the continuum theory developed by G. I. Pshenichny, which made it possible to replace the system of regular ribs by a continuous layer. Based on equilibrium conditions for a rectangular element, the relations between stresses arising in an equivalent smooth plate and stresses in the ribs were derived. The Lagrange multiplier method was used to determine the mesh plate physical ratios. The Bubnov-Galerkin method was applied to numerically solve a system of differential equations describing the nonlinear oscillations of the mesh plate under consideration. The mathematical model, solution algorithm and software package were verified by comparing the author's calculation results with the full-scale experiment data and with the results obtained by other authors. The paper investigates the influence of plate mesh structure geometry, constant voltage value, and geometric non-linearity on the natural frequency of the clamped plate. Numerical results are given for the graphene plate.

Еще

Список литературы Поведение гибкой сетчатой пластины, находящейся в электростатическом поле

  • Zaporotskova I.V., Boroznina N.P., Parkhomenko Y.N., Kozhitov L.V. Carbon nanotubes: Sensor properties. A review // Mod. Electron. Mater. 2016. Vol. 2. P. 95-105. https://doi.org/10.1016/j.moem.2017.02.002
  • Meyyappan M. Carbon nanotube-based chemical sensor // Small. 2016. Vol. 12. P. 2118-2129. https://doi.org/10.1002/smll.201502555
  • Ionete E.I., Spiridon S.-I., Monea B.F., Ebrasu-Ion D., Vaseashta A. SWCNT-Pt-P2O5-based sensor for humidity measurements // IEEE Sensor J. 2016. Vol. 16. P. 7593-7599. https://doi.org/10.1109/JSEN.2016.2603478
  • Ionete E.I., Spiridon S.-I., Monea B.F., Stratulat E. A room temperature gas sensor based on sulfonated SWCNTs for the detection of NO and NO2 // Sensors. 2019. Vol. 19. 1116. https://doi.org/10.3390/s19051116
  • Sinha N., Ma J., Yeow J.T.W. Carbon nanotube-based sensors // JNN. 2006. Vol. 6. P. 573-590. https://doi.org/10.1166/jnn.2006.121
  • Yu C., Liu Q., He Z., Gao X., Wu E., Guo J., Zhou C., Feng Z. Epitaxial graphene gas sensors on SiC substrate with high sensitivity // J. Semicond. 2020. Vol. 41. 032101. https://doi.org/10.1088/1674-4926/41/3/032101
  • Dong Q., Xiao M., Li G., Zhang Y. Recent progress of toxic gas sensors based on 3d graphene frameworks // Sensors. 2021. Vol. 21. 3386. https://doi.org/10.3390/s21103386
  • Wei L., Kuai X., Bao Y., Wei J., Yang L., Song P., Zhang M., Yang F., Wang X. The recent progress of MEMS/NEMS resonators // Micromachines. 2021. Vol. 12. 724. https://doi.org/10.3390/mi12060724
  • Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphen // Nature Mater. 2007. Vol. 6. P. 183-191. https://doi.org/10.1038/nmat1849
  • Bernholc J., Brenner D., Buongiorno Nardelli M., Meunier V., Roland C. Mechanical and electrical properties of nanotubes // Annu. Rev. Mater. Res. 2002. Vol. 32. P. 347-375. https://doi.org/10.1146/annurev.matsci.32.112601.134925
  • Fukuda T., Arai F., Dong L. Assembly of nanodevices with carbon nanotubes through nanorobotic manipulations // Proc. IEEE. 2003. Vol. 91. P. 1803-1818. https://doi.org/10.1109/JPROC.2003.818334
  • De Volder M.F.L., Tawfick S.H., Baughman R.H., Hart A.J. Carbon nanotubes: Present and future commercial applications // Science. 2013. Vol. 339. P. 535-539. https://doi.org/10.1126/science.1222453
  • Verbiest G.J., Kirchhof J.N., Sonntag J., Goldsche M., Khodkov T., Stampfer C. Detecting ultrasound vibrations with graphene resonators // Nano Lett. 2018. Vol. 18. P. 5132-5137. https://doi.org/10.1021/acs.nanolett.8b02036
  • Monea B.F., Ionete E.I., Spiridon S.I., Ion-Ebrasu D., Petre E. Carbon nanotubes and carbon nanotube structures used for temperature measurement // Sensors. 2019. Vol. 19. 2464. https://doi.org/10.3390/s19112464
  • Lam D.C.C., Yang F., Chong A.C.M., Wang J., Tong P. Experiments and theory in strain gradient elasticity // J. Mech. Phys. Solid. 2003. Vol. 51. P. 1477-1508. https://doi.org/10.1016/S0022-5096(03)00053-X
  • Chong A.C.M., Yang F., Lam D.C.C., Tong P. Torsion and bending of micron-scaled structures // J. Mater. Res. 2001. Vol. 16. P. 1052-1058. https://doi.org/10.1557/JMR.2001.0146
  • Stolken J.S., Evans A.G. A microbend test method for measuring the plasticity length scale // Acta Mater. 1998. Vol. 46. P. 5109-5115. https://doi.org/10.1016/S1359-6454(98)00153-0
  • Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: A. Herman Sons, 1909. 250 p.
  • Mindlin R.D., Tiersten H.F. Effects of couple-stresses in linear elasticity // Arch. Ration. Mech. Anal. 1962. Vol. 11. P. 415 448.
  • Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses // Arch. Ration. Mech. Anal. 1962. Vol. 11. P. 385-414.
  • Koiter W.T. Couples-stress in the theory of elasticity // Proc. K. Ned. Akad. Wet. 1964. Vol. 67. P. 17-44.
  • Eringen A.C. Linear theory of nonlocal elasticity and dispersion of plane waves // Int. J. Eng. Sci. 1972. Vol. 10. P. 425-435.
  • Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. М.: Наука, 2008. 286 с.
  • Altenbach H., Eremeyev V.A. On the linear theory of micropolar plates // ZAMM. 2009. Vol. 89. P. 242-256. https://doi.org/10.1002/zamm.200800207
  • Nuhu A.A., Safaei B. A comprehensive review on the vibration analyses of small-scaled plate-based structures by utilizing the nonclassical continuum elasticity theories // Thin-Walled Structures. 2022. Vol. 179. 109622. https://doi.org/10.1016/j.tws.2022.109622
  • Mozhgova N., Lukin A., Popov I. Model of a micromechanical modal-localized accelerometer with an initially curvedmicrobeam as a sensitive element // Microactuators, Microsensors and Micromechanisms / Ed. A.K. Pandey, P. Pal, Nagahanumaiah, L. Zentner. Springer Cham, 2022. P. 94-118. https://doi.org/10.1007/978-3-031-20353-4_7
  • Morozov N.F., Indeitsev D.A., Igumnova V.S., Lukin A.V., Popov I.A., Shtukin L.V. Nonlinear dynamics of mode-localized MEMS accelerometer with two electrostatically coupled microbeam sensing elements // Int. J. Non Lin. Mech. 2022. Vol. 138. 103852. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2021.103852
  • Ilyas S., Younis M.I. Theoretical and experimental investigation of mode localization in electrostatically and mechanically coupled microbeam resonators // Int. J. Non Lin. Mech. 2020. Vol. 125. 103516. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2020.103516
  • Indeitsev D.A., Igumnova V.S., Lukin A.V., Popov I.A., Shtukin L.V., Belyaev Ya.V. Differential resonant MEMS accelerometer: Synchronization characteristics of weakly coupled microbeam sensing elements. http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.36579.84004
  • Karimipour I., Beni Y.T., Akbarzadeh A.H. Size-dependent nonlinear forced vibration and dynamic stability of electrically actuated micro-plates // Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2019. Vol. 78. 104856. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2019.104856
  • Karimipour I., Tadi Beni Y., Zeighampour H. Vibration and dynamic behavior of electrostatic size-dependent micro-plates // J. Braz. Soc. Mech. Sci. Eng. 2020. Vol. 42. P. 1-22. https://doi.org/10.1007/s40430-020-02490-4
  • Karami M., Kazemi A., Vatankhah R., Khosravifard A. Adaptive fractional-order backstepping sliding mode controller design for an electrostatically actuated size-dependent microplate // J. Vib. Contr. 2021. Vol. 27. P. 1353-1369. https://doi.org/10.1177/1077546320940916
  • Ghayesh M.H., Farokhi H. Nonlinear behaviour of electrically actuated microplate-based MEMS resonators // MSSP. 2018. Vol. 109 P. 220-234. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2017.11.043
  • Saghir S., Younis M.I. An investigation of the mechanical behavior of initially curved microplates under electrostatic actuation // Acta Mech. 2018. Vol. 229. P. 2909-2922. https://doi.org/10.1007/s00707-018-2141-3
  • Saghir S., Younis M.I. An investigation of the mechanical behavior of initially curved microplates under electrostatic actuation // Acta Mech. 2018. Vol. 229. P. 2909-2922. https://doi.org/10.1007/s00707-018-2141-3
  • Ghayesh M.H., Farokhi H. Nonlinear behaviour of electrically actuated microplate-based MEMS resonators // MSSP. 2018. Vol. 109. P. 220-234. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2017.11.043
  • Chen X., Chen L., Huang S., Li M., Li X. Nonlinear forced vibration of in-plane bi-directional functionally graded materials rectangular plate with global and localized geometrical imperfections // Appl. Math. Model. 2021. Vol. 93. P. 443-466. https://doi.org/10.1016/j.apm.2020.12.033
  • Li C., Chou T.W. Single-walled carbon nanotubes as ultrahigh frequency nanomechanical resonators // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. 073405. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.073405
  • Chen C., Rosenblatt S., Bolotin K.I., Kalb W., Kim P., Kymissis I., Stormer H.L., Heinz T.F., Hone J. Performance of monolayer graphene nanomechanical resonators with electrical readout // Nature Nanotech. 2009. Vol. 4. P. 861-867. https://doi.org/10.1038/nnano.2009.267
  • Sadeghi M., Naghdabadi R. Nonlinear vibrational analysis of single-layer graphene sheets // Nanotechnology. 2010. Vol. 21. 105705. https://doi.org/10.1088/0957-4484/21/10/105705
  • Kang J.W., Kim H.-W., Kim K.-S., Lee J.H. Molecular dynamics modeling and simulation of a graphene-based nanoelectromechanical resonator // Curr. Appl. Phys. 2013. Vol. 13. P. 789-794. https://doi.org/10.1016/j.cap.2012.12.007
  • Eriksson A.M., Midtvedt D., Croy A., Isacsson A. Frequency tuning, nonlinearities and mode coupling in circular mechanical graphene resonators // Nanotechnology. 2013. Vol. 24. 395702. https://doi.org/10.1088/0957-4484/24/39/395702
  • Lee H.-L., Hsu J.-C., Lin S.-Y., Chang W.-J. Sensitivity analysis of single-layer graphene resonators using atomic finite element method // J. Appl. Phys. 2013. Vol. 114. 123506. https://doi.org/10.1063/1.4823735
  • Jiang S., Gong X., Guo X., Wang X. Potential application of graphene nanomechanical resonator as pressure sensor // Solid State Comm. 2014. Vol. 193. P. 30-33. https://doi.org/10.1016/j.ssc.2014.05.020
  • Ansari R., Sahmani S., Arash B. Nonlocal plate model for free vibrations of single-layered graphene sheets // Phys. Lett. 2010. Vol. 375. P. 53-62. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2010.10.028
  • Zhang L.W., Zhang Y., Liew K.M. Modeling of nonlinear vibration of graphene sheets using a meshfree method based on nonlocal elasticity theory // Appl. Math. Model. 2017. Vol. 49. P. 691-704. https://doi.org/10.1016/j.apm.2017.02.053
  • Shen Z.-B., Tang H.-L., Li D.-K., Tang G.-J. Vibration of single-layered graphene sheet-based nanomechanical sensor via nonlocal Kirchhoff plate theory // Comput. Mater. Sci. 2012. Vol. 61. P. 200-205. https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2012.04.003
  • Nematollahi M.S., Mohammadi H., Nematollahi M.A. Thermal vibration analysis of nanoplates based on the higher-order nonlocal strain gradient theory by an analytical approach // Superlattices Microst. 2017. Vol. 111. P. 944-959. https://doi.org/10.1016/j.spmi.2017.07.055
  • Ebrahimi F., Barati M.R. Vibration analysis of nonlocal strain gradient embedded single-layer graphene sheets under nonuniform in-plane loads // J. Vib. Contr. 2018. Vol. 24. P. 4751-4763. https://doi.org/10.1177/1077546317734083
  • Fazelzadeh S.A., Ghavanloo E. Nanoscale mass sensing based on vibration of single-layered graphene sheet in thermal environments // Acta Mech. Sin. 2014. Vol. 30. P. 84-91. https://doi.org/10.1007/s10409-013-0102-6
  • Ebrahimi F., Barati M.R. Damping vibration analysis of graphene sheets on viscoelastic medium incorporating hygro-thermal effects employing nonlocal strain gradient theory // Compos. Struct. 2018. Vol. 185. P. 241-253. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2017.10.021
  • Shahsavari D., Karami B., Li L. Damped vibration of a graphene sheet using a higher-order nonlocal strain-gradient Kirchhoff plate model // Compt. Rendus Méc. 2018. Vol. 346. P. 1216-1232. https://doi.org/10.1016/j.crme.2018.08.011
  • Ebrahimi F., Barati M.R. A nonlocal strain gradient mass sensor based on vibrating hygro-thermally affected graphene nanosheets // Iran. J. Sci. Technol. Trans. Mech. Eng. 2019. Vol. 43. P. 205-220. https://doi.org/10.1007/s40997-017-0131-z
  • Desai S.H., Pandya A.A., Panchal M.B. Vibration characteristics of graphene nano resonator as mass sensor // J. Phys.: Conf. Ser. 2021. Vol. 1854. 012029. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1854/1/012029
  • dell'Isola F., Steigman D. A Two-dimensional gradient-elasticity theory for woven fabrics // J. Elast. 2015. Vol. 118. P. 113 125. https://doi.org/10.1007/s10659-014-9478-1
  • Еремеев В.А. Об одной нелинейной модели сетчатой оболочки // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 4. С. 127-133. https://doi.org/10.31857/S057232990000704-4
  • Крылова Е.Ю., Папкова И.В., Салтыкова О.А., Крысько В.А. Особенности сложных колебаний гибких микрополярных сетчатых панелей // Изв. Сарат. ун-та. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, № 1. С. 48-59. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2021-21-1-48-59
  • Крылова Е.Ю., Папкова И.В., Яковлева Т.В., Крысько В.А. Теория колебаний углеродных нанотрубок как гибких микрополярных сетчатых цилиндрических оболочек с учетом сдвига // Изв. Сарат. ун-та. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, № 3. С 305-316. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-3-305-316
  • Karman Th. Festigkeits probleme in Maschinenbau // Encykle. D. Math. Wiss. 1910. Vol. 4. P. 311-385.
  • Yang F., Chong A.C.M., Lam D.C.C., Tong P. Couple stress based strain gradient theory for elasticity // Int. J. Solids Struct. 2002. Vol. 39. P. 2731-2743. https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00152-X
  • Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. М.: Наука, 1982. 352 с.
  • Hamilton W. Report of the Fourth Meeting British Association for the Advancement of Science. 1835. P. 513-518.
  • Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М: Наука, 1972. 432 с.
  • Francais O., Dufour I. Normalized abacus for the global behavior of diaphragm: pneumatic, electrostatic, piezoelectric or electromagnetic actuation // J. Model Simul. Microsyst. 1999. Vol. 2. P. 149-160.
  • Papkova I.V., Yakovleva T.V. Nonlinear eigen frequencies of a functionally graded porous nano-beam with respect to the coulomb and Casimir forces // E3S Web of Conf. 2023. Vol. 389. 01029. https://doi.org/10.1051/e3sconf/202338901029
  • Talebian S., Rezazadeh G., Fathalilou M., Toosi B. Effect of temperature on pull-in voltage and natural frequency of an electrostatically actuated microplate // Mechatronics. 2010. Vol. 20. P. 666-673. https://doi.org/10.1016/j.mechatronics.2010.07.009
  • Lee K.B. Closed-form solutions of the parallel plate problem // Sensors and Actuators A: Physical. 2007. Vol. 133. P. 518 525. https://doi.org/10.1016/j.sna.2006.04.049
Еще
QR-код для установки приложения SciUp Наведите камеру и скачайте бесплатное приложение SciUp