Поведение решения нелинейной задачи в случае смены устойчивости

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.928                                        

Если функция a ( t ) несколько раз меняет условия устойчивости, то можно выбрать начальную точку из устойчивого интервала. Сложность заключается в том, что точки смены устойчивости, начальная точка, а также критическая точка совпадают. В этом случае мы должны рассматривать несколько областей. А это, свою очередь, добавляют некоторые сложности. Когда точки смены устойчивости, начальная точка, а также критическая точка не совпадают, то эти случаи рассмотрены в [1, 2]. Задача нелинейная, поэтому функцию g ( t , y ( t , s )) разложим в окрестности точки x = 0 в ряд Тейлора. Для простоты ограничиваем нелинейности второго порядка, хотя можно определить нелинейности любого порядка.

Ставим определенное условие на действительную часть функции a ( t ) . Определить область можно будет с достаточно большой время задержкой. Если a ( t ) = ± в ( t ) . то в действительной области неопределенны устойчивые и неустойчивые интервалы [3-6]. Этот случай критический. Цель исследования. Доказать асимптотическую близость решений возмущенной и невозмущенной задач.

Материалы и методы исследования

Рассмотрим задачу:

s y ' ( t , s ) = a ( t ) y ( t , s ) + f ( t , y (t , s )) + s g ( t , y ( t , s ))                                      (1)

У ⁽ t o , ^{s )} = y °                                                         ⁽²⁾

где | y ⁰| = O ( s ), 0 <  s < s₀ — малый параметр, y ( t , s ) - искомая функция, t eQ , [ t ₀, T ] — отрезок действительной оси, t ₀<  T . Определим область

Q2 ={(t, y)t e[to,T11 y| < ^}, где 0 < S - некоторая постоянная, не зависящая от s .

Задача. Доказать существование, ограниченность и единственность решения y ( t , s ) на промежутке [ t ₀, T ] .

От правых частей (1) потребуем выполнения следующих условий:

• 3 : Re a ( t ) <  0 при t ₀<  t <  T _o, Re a ( t ) >  0 при T _o<  t <  T , Re a ( T _o) = 0.

• 3 2 :    F ( t ) = Re j a ( s ) ds , V t e [ t ₀, T ] , F ( t ) <  0, F ( 1 ₀) = F (T ) = 0, F ( T ₀) = Re a ( T ₀) .

t 0

• ³ з ^:    g ⁽ t , y ⁽ t , ^{s ))} = ⁰, ^{V( t} , y ^{)eQ 2}, f ⁽ t , y ⁽ t , ^s )) = ⁰; f ⁽ t ^,y) ^- f ⁽ t ,y ) <  M 0|~ ^{- y x}

x max { ^y|,|^y |} , где 0 <  M_o — некоторая постоянная, не зависящая от s .

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №7. 2022

Учитывая условие ^ , функцию g ( t , y ) разложим в окрестности точки y = 0 по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

g ( t , y ) = g ( t ,0) + ^{d g} ^^,0) y + ... + ^—gy ^ y)y ^{n + 1}, где 0 <  0 <  1.

d y                д y ^{n + 1}

Тогда получим sy,(t,£) = a(t)y(t,£) + f(t,y(t,£)) + £ g(t,0) + dg(‘,0) +... + d (t0) yn+1 _          dy           dyn

.

По условию 0₃ имеем g ( t ,0) = 0 . Введя следующие обозначения

мда = „(,)   ММ® = „ (/ v)

~         g 0⁽ t ) , "•,        о и+1           g n +1 ⁽ t , y ) .

d y                       д y n ^{+ 1}

Имеем,

S y ' ( t , ^£ ) = ( a ( t ) + £ g ₀ ( t )) y ( t , ^£ ) + f ( t , y ( t , £ )) + ... + £ g_{n + 1} ( t , y ( t , £ ))

y^(T , ^£ ) = y °^- | y ⁰| = C 0 ^£ .

Докажем следующую лемму:

Лемма. Пусть выполняется 0₃ . Тогда

^((t-У)л (t-У )е q2 ): |gn+1(t-У) - gn+1(t-~)| < MУ - ~max{~I, |~|}, где 0 < M — некоторая постоянная.

Доказательство. Возьмем разность  gn+1( t ,у )yn+1 - gn+1( t ,у )yn+1 . Этот разность преобразуем следующим образом:

n + 1                 ^у n + 1                 ^у n + 1             ^{у у} n + 1                    n + 1    ^у n + 1

g n + 1 ⁽ t ^-У )у    ^- g n + 1 ⁽ t ,у)у    + g n + 1 ⁽ t ^-У)у    ^- g n + 1 ^{( t} ,у)у    = g n + 1 ⁽ t ^-У) ( у    ^- у    ) +

+ y^{n + 1} ( g n + 1 ( t ,У ) - g n + 1 ( t ,У ) ) .

К разности g_{n +1} ( t , у ) - g_{n +1} ( t , у) можно применить теорему о конечных приращениях по переменной y .

(t у 0 Гу_у

Функции gn+1(t, y) , —n+1— -----1------ непрерывны в области Q2, следовательно, дy они ограничены.

Учитывая, все сказанное имеем:

I g n + 1 ( t,У)у " ⁺¹ - g n + 1 ( t,y)у " +| <  Mу - у|max | ?|, y } .

Лемма доказано.

При s = 0 согласно 0₃ невозмущенное уравнение a ( t ) y ( t ) + f ( t , y ( t )) = 0 имеет решение y ( t ) = 0, которое для присоединенного уравнения будет точки покоя. Точка покоя неустойчива при t ^ \ t₀ , T _o) и устойчива при t g ( T _o, T ].

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть выполнены условия ^ - ^ . Тогда V t е [ t ₀, T ] решение задачи (3)-(4) существует, единственно и для нее справедлива оценка

I y ( t , £ )| ^ | У 1 ( t , £ )| q о                                                                    ⁽⁵⁾

где 1 <  q₀ — некоторая постоянная, зависящая от £ .

Доказательство. Задачи (3)-(4) заменим следующим эквивалентным интегральным уравнением:

с

А

y ⁽ t , ^£ ) = y ^оехр ¹ j F ⁽ s ) ds + j f ( г , y ) + ^n + 1 0 , y ^{) ]} exp ¹ j F ⁽ s ) ds d r

V ^£ 1 0          J    1 0                                V ^£ t         J

t

t

t

V

J

где F ( s ) = a (s ) + £ g ₀ ( s ).

Для доказательства существования решения уравнения (6) применим метод последовательных приближений.

Последовательные приближения определим следующим образом:

yo(t,£) - 0, ym (t, £ ) = y 1( t , £ ) +

j [ f ^{( T} , y m - 1 ) ⁺ £ g n + 1 ^{( T} , y m - 1 ^{) ] eX}P J J ^{F (} s ) ^{ds d T}

t

t

' 0

V

t

' 0              J

t

Проведем оценку последовательных приближений (7).

y 0 ⁽ t , ^£ ) ^{- 0},

t

^y 1 ⁽ t , ^£ ) = ^{y exp} - J ^{F ( s} ) ^ds ,

V

?0

J

t

I y 1 ( t , £ )| = C 0 £ exp -Re J F ( s ) ds .

t

1                 1

ym (t, £) ^ y1(t, £) +- J^ -£ t 0       V

V

t

J F

T

t 0

J

I n +1

+ £

J

T .

где F ( s ) = a ( s ) + £ g₀ ( s ). При m = 2, n = 1 имеем

t

1 t, y 2( t,£) ^ y 1( t,£) +- fexP-

££

t

r 0

V

t

\

x exp — Re J F ( s ) ds d r = y ( t , £ )| +

V £    r        J

Re J f ( s )

T

M (1 + £ )

£

M

J

? )| +

t

\

t

1                                                                  1

^exp - ^Re j ^{F (} s ) ds J C 0 ^{£ exp} -

V

if

' 0

t jiy 1(T,£)2 x t0

M (1 + £ ) £ e e j F ( s ) a t 0

0 V

J

x

J

A

= y ( t , £ )| + MC₀ '(1 + £ ) £ exp —Re J F ( s ) ds J exp —Re J F ( s ) ds d r = y ( t , £ )|x ( 1 + C₀M

t

t

T

V

t 0

J

t 0

V

t 0

t

x(1+£ )J

t 0

V

T

J t 0

J

A

J

Тогда получим

I y 2 ⁽ t , £ )| < | y 1 ( t , ^{s )}|⁽¹ + C 0 M ⁽¹ + ^{s )} M 0 ^s ) .

Верно оценка

I y 2 ⁽ t , ^s )| <  ^y i ⁽ t , ^s ) q 0 .

При m = 3 , n = 1 справедлива следующая оценка

t

/

У з ⁽ t , ^s ) <  У i ⁽ t , ^s ) +- fexP -Re si     £

t

t

t

r 0

V

x exp — Re J F ( s ) ds d r = y ( t, s )|

V s T       7

z

M (1 + s ) s

7

t

t

1 Г             r 2

^exp £ ^Re J ^{F (} s ) ds JI y J q 2 exp

.   M (1 + s )

s

Л z

t

Ji у2(z,s)2 x t 0

X

V        t 0           7

t 0              7

V

t

t

■ 0

X

= | y 1 ( t , s )| + MC ₀ ²(1 + s ) s q ₀ ²exp 1Re J F ( s ) ds J exp 1Re J F ( s ) ds d z = | y i ( t , s )| x ( 1 + C ₀ M

t

\

t

z

x

V

t 0

t

t 0

V

( 1 z

t 0

X

x

t 0

V        t 0           7

К последнему интегралу применяя лемму, получим

|У 3 ⁽ t , ^s )| <  ^yi ⁽ t , ^s ) ^{( 1 +} C 0 ^{M (1 + s )} q 0^{2 M} 0 ^s ).

Получается оценка

I y з ⁽ t , ^{s )}| < | y 1 ⁽ t , ^s ) q 0 .

Пусть имеет место оценка

||ym ⁽ t , ^s' ⁾|| ^|| У 1 ⁽ t , ^{s )}| q 0

Учитывая (8), докажем справедливость оценки для ( m + 1 ) .

t

if ym+1(t, ') < У 1(t, ') +- Jexp -Re 'I V'

t

z         7

t

X

x exp —ReJ F ( s ) ds d z = | y j( t , s )| +

V s    z        )

M (1 + s )

s

t

t

1 f             f 2

^exp s ^Re J ^{F ( s} ) ^ds JI y 11 q 0^{2 e}xp

t

\

t

V

t 0              7

t

t

z

' 0

X

M (1 + s )

s

7 z

t

J|ym (z, s)2 x t 0

X

V        t 0           7

= | y j ( t , s )| + MC₀ 2 (1 + s ) sq₀ ² exp —Re J F ( s ) ds J exp —Re J F ( s ) ds d z = У ( t , s )| x ( 1 + CM x

x

V

X

V

t 0

t 0

t 0

q 0 ² ( 1 + s ) J exp 1Re J F ( s ) ds d z = | y 1 ( t , s )| ( 1 + C ₀ M (1 + s ₀ ) q 2 M _o s ) .

t

t 0

V

z

t 0

Так как 1 + C_QM (1 + s ₀) M s q f 2 <  q₀ , следовательно, | y_{m + 1}( t , s )| < | y 1 ( t , s )| q ₀ . Таким образом, оценка (8) верна V m g N . Из (8) вытекает, что { y_m ( t , s ) } ограничена.

Теперь докажем сходимости последовательных приближений { y_m ( t , s ) } , применяя метод мажорант. Для этого последовательность { y_m ( t , s ) } представим в виде:

y m ⁽ t , ^s ) = У х ⁽ t , ^s ) ^{+ (} у 2 ⁽ t , ^s ) - у 1 ⁽ t , ^s ) ) ^{+ (} у 3 ⁽ t , ^s ) - у 2 ⁽ t , ^s ) ) ⁺ - ^{+ (} y m ⁽ t , ^s ) ^- y m - 1 ⁽ t , ^s' ^ .

Оценим || y . ( t , s ) — y . — i ( t , s )||. Имеем

|y. ⁽ t , ^s ) - y_m - 1 ⁽ ‘ , ^s )| <

M M (1 + ^s ) exp -Ue j F ^{( s} ) d j exp Ue j F ( s ) ds |^y . — ( r , ^s )

t

к

t

T

к

-

—

к

‘ 0

‘ 0

к

‘ 0

y . — 2 ^{( T} , ^s ) max { у . — i ^{( T} , ^s ) J у . — 2 ^{( T} , ^s )|^{} d}

t .

Учитывая (8), имеем max { y . — i ( t , s )|,| y . — 2 ( t , s )| } = | y i ( t , s )| q,

0 ^.

Тогда получим

t

t

Л T      \

|y. ⁽ ‘ , ^{s ) —} y . — 1 ⁽ ‘ , ^s )| <

■. — i ^— y . —2I | y i q 0 d ^T .

к         ‘ 0

‘ 0

к        ‘ 0           7

При m = 2,

|y 2 ⁽ t , ^s ) ^— y 1 ⁽ ‘ , ^s )| <

M S (1 ₊ ^s^ S ^Re j F ⁽ _s ) _ds j exp S j F ⁽ _s ) _ds |y J _x| y 1 q 0 d ^T =

t

к

t

T

к

t

к

‘ 0

‘ 0

к

‘ 0

T

M                 t     1 T

= T^{(1 + S} ) C 0 ^S q ⁰ < j exp 7-1 F ⁽ s ) ds d T < | y 1 ⁽ ‘ ^{, s} ) ^{MM 0} C0 ^s q ^{0 (1 +} S ^o) •

' 0       к

t

t

' 0              7

Пусть

I y 2 ⁽ ‘ , ^s ) ^— y i ⁽ ‘ , ^s ) < | y i ⁽ ‘ , ^{s )}| q i , где q i = ^MM 0 C0 S 0 ^{2 (1 + s} 0 ) •

Пусть

I y . ⁽ ‘ , ^s ) ^— y . — i ⁽ ‘ , ^s ) <  ^{y (} ‘ , ^s )l q . ^—i

Докажем, справедливость оценки (9) для ( . + 1 ) •

X

t

I y . +i ⁽ ‘ , ^s ) ^— y . ( ‘ , ^s )| <

M

<—

s

t

M s (i₊ ^{s )exp} Ue j F ₍ s ) ds j exp Ue j F ₍ s ) ds |_x

/

t

k

t

с

t

k

.

y . — i| ^X| y i q 0 ^{d T} <

t

к

T

‘ 0              7

t

‘ 0        к

t

! 0             7

t

t

i t-      t.     i ;....._,...                       i ‘

⁽ⁱ + £ ^)exp -j F ( ^s ) ^ds j ^exp -j F ^{( s} ) ^ds |y i \q i  | y i q 0 ^{d T} = ^{M (i} + ^{s )} q 0 q i   C0 ^s exp -j F ^{( s} ) d

к

if

‘ 0              7

^t 0        к

if

' 0              7

к

X

i t j exp - j F(s)ds IdT < |yi(‘, £)|q. •

T

‘ 0        к

t

t

' 0             7

Оценка (9) верна V . е N . Таким образом

|y i ⁽ ‘ , ^{s )} + y 2 ( ‘ , ^s ) + ■•■ + y . ⁽ ‘ , ^s ) ⁺ -| < | y i ⁽ ‘ , ^{s )}| ⁺ | y 2 ⁽ ‘ , ^s ) ^— y i ⁽ ‘ , ^s ) ⁺ | y . ⁽ ‘ , ^s ) ^— y . — I ⁽ ‘ , ^{s )}| ⁺ •■• <   ⁽¹⁰⁾

(

< | y i ⁽ ‘ , ^s )|ⁱ + Z q i

к     k = i

= | y i ⁽ ‘ , ^s )|^X 7

^{i — q} i

Из (10) следует, что последовательность { y_m ( t , s ) } , V t е [ t ₀, T ] и при 0 <  q_x <  i сходится к некоторой функции y ( t , s ), которая является решением задачи (1) и для нее справедлива оценка | y ( t , s )| < | y _i( t , s )| q ₀. Оценка (5) доказана. Докажем единственность решения методом от противного. Допустим, что существует другое решение x ( t , s ) задачи (3)-(4).

г

t

\

t

t

x ( t, s ) : x ( t , £ ) = y ⁰ exp ¹ j F ( s ) ds + ¹ j [ f ( r , y ) - £ g ( t , y ) ] exp ¹ j F ( s ) ds d r . I ^£ t о           J ^£ t о                               V ^£ r           J

V

t 0

)

t 0

Учитывая (7), получим

t

t

|ym - x|

t                                                                                                                   I t

I ^ - j ^{[ ( f ( T} , У т - 1 ) — ^{f ( T} , У )) ^{+ £} ( g n + 1 ^{( T} , У т - 1 ) — g n + 1 ^{( T} , У ^{) )] eX}P J ^Re J a ^{( S} ) ^{dS d T}

t 0

V

r

J

Далее, учитывая (11)

t

t

\

I y 1 - x

' <1 j exp 1Re j F(s)ds [f(r, y)+^^ y)]d

t 0

V

r

J

r < M-£

t

t 0

t

V r

J

< M 0 C 0 ^{(1 + £} ) q 0 ²1 y 1 ⁽ t , ^£ )| ^{( t -} t 0 ) ,

Предположим, что:

|ym ⁽ t , ^£ ) - x ( t , ^{£ )}| < | y 1 ⁽ t , ^£ )|

ms~,m        m m + 1          m

M 0 C 0 ^{( 1 + £} ) q 0   ⁽ t ^- t 0 )

m !

Докажем оценку (12)

|ym + 1 ( t , ^{£ )} - x ⁽ t , ^£ )| < | y 1 ( t , ^£ )|

M_o ^{m + 1} C ^{m + 1} ( 1 + £ ) ^{m + 1} q ^{m + 2} ( t - 1 ₀ ) ^{m + 1} ( m + 1)!

Тогда V m g N верна (12). Отсюда вытекает || y ( t , £ ) - x ( t , £ )|| <  0   ^ y ( t , £ ) = x ( t , £ ) .

Единственность решения доказана. Теорема полностью доказано.

Пример. Пусть a ( t ) = A₃ ( t ) = t ³ - 1 + i(2t ² - 1) . Действительная часть отрицательна в интервалах t е ( -ад ; - 1 ) и ( 0,1 ) — то это устойчивый интервал, при t g ( - 1;0 ) и ( 1; +да ) — неустойчивый интервал, а t = ± 1 — точки перехода от устойчивого к неустойчивому интервалу, t = 0 — точка перехода от неустойчивого к устойчивому интервалу.

t

Действительная часть характеристической функции равна Re j t 0

t4

t2

Отсюда имеем: t_x = - 42 , t₂ = t₃ = 0 , t₄

42 . При t g ( -w ; - 42 ) u (\ 2; +z ) —

сингулярная область, а при t g

( - V2;0 ) o ( 0;V2) — регулярная область. Если за начальную

точку возьмем t = - 42 , то точка t = 0 одновременно является и точкой смены устойчивости,

и начальной и критической. Поэтому начальную точку выберем иначе, с дополнительным

условиям. Если - 42 <  t <  42

имеем действительные корни,

t g

(- да;-42 )и (42;+^)

уравнения имеет две действительные две комплексные корни. Появиться возможность с максимальной время задержкой. Если начальную точку выберем от бесконечности. т. е.

y ( -да , £ ) = y ₀, то имеем [7] сингулярную задачу.

Результаты и обсуждения

Если взять начальную точку бесконечно удаленную точку, то по определению [7] также имеем сингулярную задачу. Такой случай вполне возможен в данной работе. Можем сказать, что последовательность {ym(t,£} равномерно сходится к некоторой функции y(t, £) , являющейся решением уравнения (3). Когда время задержка бесконечно большая, то задача рассматривается на всей числовой оси, т. е. вся числовая прямая представляет собой регулярной областью. Точнее, нет необходимости изучать сингулярную область.

Пограничные слои появится бесконечно удаленной точке. Время задержка достаточно большая. Бесконечно удаленная точка не представляет интереса для изучения пограничных явлений. В приведенном выше примере функция a ( t ) трижды меняет условия устойчивости. В общем случае такая функция может несколько раз меняет условия устойчивости.

Выводы

Решение (3), (4) зависят от выбора a ( t ). Если в качестве начальной точки выбрана точка на бесконечности, то такая задача является сингулярной[7]. Доказанная теорема показывает, что асимптотическая близость решений возмущенной и невозмущенной задач.