Повышение эффективности параллельного численного решения жестких задач на основе неявных блочных одношаговых методов

IMPROVING THE EFFICIENCY OF PARALLEL NUMERICAL SOLUTION OF STIFF PROBLEMS BASED ON IMPLICIT BLOCK ONE-STEP METHODS

Bakhriddinov Akbar

Assistant

Karshi branch Tashkent University

Information Technology named after Muhammad al-Khwarizmi

Введение. Исследование методов решения динамических задач с сосредоточенными параметрами показало, что параллельные свойства таких методов во многом определяются видом лежащей в их основе численной схемы. Наименее трудоемкими являются явные методы, однако присущие этим схемам недостатки, в частности условная устойчивость, существенно ограничивают область их применения. В этой связи значительный интерес представляют неявные схемы, которые, несмотря на большую вычислительную сложность, не имеют альтернативы среди одношаговых методов при решении жестких задач. Данная статья посвящена разработке, обоснованию параллельных алгоритмов решения задачи Коши с встроенными способами оценки локальной погрешности на основе неявных одношаговых блочных многоточечных методов, а также построению и исследованию эффективности их отображений на реальные параллельные системы SIMD, MIMD-архитектуры и кластерные системы с распределенной памятью.

Таким образом, наилучшие характеристики параллелизма при решении нелинейной задачи Коши для одного уравнения блочными методами с контролем локальной погрешности по правилу Рунге достигаются для любых параллельных архитектур, большой размерности задачи, сложной правой части и высокоскоростных сетей передачи информации.

Коэффициенты потенциальных ускорения и эффективности параллельного алгоритма локальной экстраполяции в случае, если время обращения к правой части ОДУ доминирует над другими вычислениями, близки к идеальным. Аналогичный результат имеем для тривиальной правой части, то есть потенциально метод локальной экстраполяции для многоточечных блочных методов обладает высокой степенью внутреннего параллелизма. Анализ коммуникационной составляющей дает основание утверждать, что наилучшей для рассмотренного метода по-прежнему является топология гиперкуб, однако обмены являются трудоемкими. Параллельный алгоритм технологии локальной экстраполяции имеет худшие характеристики параллелизма, областью его применения попрежнему остаются высокоточные решения.

Заключение. Предложены и теоретически обоснованы новые параллельные методы оценки локальной апостериорной погрешности численного решения жестких задач Коши для одного дифференциального уравнения на основе блочных неявных одношаговых разностных схем: блочный k -точечный метод с правилом дублирования шага и локальная экстраполяция с блочным опорным методом. Построены итерационные параллельные алгоритмы численного решения нелинейной разностной задачи Коши, позволяющие получать результаты с заданной степенью точности. Приведены сравнительные характеристики численного решения тестовых задач и оценки параллелизма. Решение тестовых задач показало, что экспериментальные оценки ускорения и эффективности близки к потенциальным. Исследована эффективность полученных вычислительных схем отображения параллельных алгоритмов на структуры ВС в зависимости от размерности СОДУ, количества процессоров, типа параллельной ВС (SIMD, MIMD и кластерные системы), латентности и времени передачи данных в сетях различных топологий. Перспективным направлением исследований является проведение сравнительного анализа эффективности неявных одношаговых методов решения общей задачи Коши на основе блочных k -точечных методов и традиционных методов интегрирования жестких задач одного и того же порядка точности и требований к устойивости.